黎新龍, 冉 琰, 張根保,2,3, 何 彥,2

(1. 重慶大學 機械與運載工程學院, 重慶 400044; 2. 重慶大學 機械傳動國家重點實驗室, 重慶 400044; 3. 重慶文理學院 智能制造工程學院, 重慶 402160)

預防性維修在一定程度上能夠降低設(shè)備發(fā)生故障的概率,減少停機損失,在工程中被廣泛應用[1-2].通常,預防性維修可以分為基于時間的預防性維修和基于狀態(tài)的預防性維修.隨著傳感技術(shù)的發(fā)展,基于狀態(tài)的預防性維修受到了廣泛關(guān)注.但狀態(tài)維修較高的成本投入和相關(guān)技術(shù)要求[3],對一些不便于狀態(tài)監(jiān)測和維修預算較少的重要設(shè)備,基于時間的預防性維修依然是當前維修策略中不可或缺的一種重要手段.基于時間的預防性維修可進一步分為等周期預防性維修和非等周期預防性維修(順序維修).相比等周期預防性維修,順序預防性維修更能節(jié)省維修成本[4].因此,不少學者對順序預防性維修展開了研究.Nakagawa[4]最早提出了順序預防性維修,指出順序預防性維修比定期預防性維修更具實用性;Zhu等[5]針對系統(tǒng)在不確定非周期變化應力下的設(shè)計和維修問題,提出了一種集系統(tǒng)設(shè)計和順序預防性維修計劃于一體的兩階段隨機規(guī)劃模型,能有效降低設(shè)備的維修成本;Zhou等[6]提出了一種順序不完全預防性維修模型來量化城市公交車的維修效率,對城市公交維修管理決策與優(yōu)化具有重要意義.順序預防性維修策略[7-8]受到了極大的重視并取得了不錯的效果,有效減少了設(shè)備維護成本,但還存在一些問題值得進一步研究.首先,上述模型通常假設(shè)預防性維修對可修設(shè)備所有類型的故障都起作用,它能夠降低設(shè)備的總體故障率或者有效役齡.但實際上,由于預防性維修都是一些比較固定的操作(清洗、更換機油等),其對磨損等損傷類故障能起到較好的作用,但對疲勞斷裂等本質(zhì)疲勞類故障卻影響甚微[9],沒考慮到這點制定的維修策略可能產(chǎn)生不必要的維修費用.其次,在以往的維修策略中,維修決策對象通常選擇的是一個部件或者系統(tǒng).部件或者系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復雜包含的零件數(shù)過多,粒度過大,制定的維修決策不夠精準,容易造成過維修而浪費維修資源.同時,也不便于故障的診斷和定位.例如,傳統(tǒng)的故障定位到了齒輪箱,然而齒輪箱包含很多個零部件并不能明確齒輪箱發(fā)生故障的部位,還需要進行進一步的診斷與檢測,花費的時間較多.張根保等[10-11]提出了元動作理論.Yu等[12-13]和Zhang等[14]將設(shè)備通過“功能-運動-動作”結(jié)構(gòu)化分解方法得到元動作單元,相比部件或者系統(tǒng),元動作單元擁有更少的零件和更簡單的結(jié)構(gòu),便于故障診斷與定位;Yu等[15]基于元動作找出了機械系統(tǒng)所有的潛在故障模式,避免了故障模式和故障原因的混淆,便于故障分析;Zhang等[16]研究了基于元動作的故障診斷方法.這些難點問題的解決為研究基于元動作單元的維修奠定了基礎(chǔ).以元動作單元為維修決策對象制定的維修策略更加精準,一定程度上能避免過維修,充分利用設(shè)備的使用壽命.

基于以上考慮,以元動作單元為預防性維修決策對象,考慮預防性維修的不完美性及其對不同類型故障維修效果的差異,基于廣義幾何過程(GGP)[17-18]建立了元動作單元的順序預防性維修模型,確定了元動作單元在給定最大預防性維修次數(shù)下的最優(yōu)維修策略.最后,分析了維修成本等因數(shù)對最優(yōu)維修成本率以及最優(yōu)維修策略的影響.

1 模型假設(shè)

(1) 對元動作單元采用順序預防性維修(N,x1,…,xN)和修復性維修相結(jié)合的維修策略.以x1,x2,…,xN為維修時間間隔對元動作單元進行預防性維修,在第N次預防性維修時對元動作單元進行更換,使其修復如新.當元動作單元出現(xiàn)故障時,對元動作單元進行修復性維修(最小維修),使其恢復到故障之前的狀態(tài).

(2) 元動作單元中存在兩類故障:損傷類故障和本質(zhì)疲勞類故障.預防性維修對可以降低損傷類故障的故障率,但對本質(zhì)的疲勞類故障不起作用.

(4) 元動作單元初始時刻處于全新狀態(tài),故障率為0.

(5) 各類型維修操作時間相對元動作單元壽命很短,因此忽略不計.

2 元動作單元故障率描述

考慮元動作單元中存在損傷類故障和本質(zhì)疲勞類故障[9],假設(shè)元動作單元總的故障率函數(shù)為

λ(t)=u(t)+v(t)

(1)

式中:t表示時間;u(t)表示元動作單元損傷類故障的故障率函數(shù);v(t)表示元動作單元本質(zhì)疲勞類故障的故障率函數(shù).

一般情況下機電產(chǎn)品初始故障率服從韋布爾分布,則元動作單元總的初始故障率函數(shù)為

λ0(t)=αβtβ-1

(2)

式中:α和β分別為形狀參數(shù)和尺度參數(shù).

損傷類故障的初始故障率函數(shù)u(t)和本質(zhì)疲勞故障的初始故障率函數(shù)v(t)可表示為

(3)

式中:e和f分別為元動作單元損傷類故障和本質(zhì)疲勞故障的比例因子,滿足e+f=1.

3 GGP及GGP預防性維修

GGP是基于幾何過程(GP)的擴展,在設(shè)備運行時間建模方面更靈活,它維修能夠反映預防性維修對系統(tǒng)維修效果的變化[17-18].同時,它能很好地描述預防性維修的不完美性以及維修效果隨著預防性維修次數(shù)的增加而減弱的現(xiàn)象.因此,采用GGP建立元動作單元的順序預防性維修模型.

定義1GGP

設(shè){Zk,k≥1}為非負隨機變量序列,k=1,2,3,…時,如果Zk+1/Zk=ak,則當{Zk,k≥1}滿足以下條件時,其服從GGP[17-18].

(1) 隨機變量之間相互獨立.

(2) 對任意整數(shù)k≥1,ak>0.

(3) 當k≥1時,存在Fk(t)=F(a0,a1,…,ak-1t),a0=1,F(t)是Z1的累積分布函數(shù),Fk(t)是Zk的累積分布函數(shù).

當ak恒等于1時,Z1=Z2=…=Zk,{Zk,k≥1}是一個更新過程;當ak恒小于1時,Z1Z2>…>Zk,{Zk,k≥1}是一個遞減GGP.

定義2GGP預防性維修

設(shè){Zk,k≥1}表示元動作單元預防性維修的時間間隔序列,如果{Zk,k≥1}滿足GGP的條件,那么,預防性維修被稱為“GGP預防性維修”.考慮現(xiàn)實中預防性維修效果隨其維修次數(shù)的增加而減弱,因此,本文“GGP預防性維修”的參數(shù)ak遞增,1≤a1≤a2≤…≤ak.同時,考慮預防性維修僅對損傷類故障起作用,故本文GGP預防性維修只能調(diào)整損傷類故障的故障率.當α=0.01,β=2.5,a1=1,a2=1.2,e=0.9,f=0.1時,預防性維修前后元動作單元各故障率函數(shù)的變化如圖1所示.其中,PM表示預防性維修,uk(t)表示損傷類故障在第k個預防性維修周期的故障率函數(shù).vk(t)表示本質(zhì)疲勞類故障在第k個預防性維修周期的故障率函數(shù).由于預防性維修對本質(zhì)疲勞類故障不起作用,因此vk(t)在整個時間段內(nèi)都是同一個函數(shù).λk(t)表示元動作單元在第k個預防性維修周期總的故障率函數(shù),k=1,2.

圖1 預防性維修前后元動作單元故障率的變化情況

根據(jù)Wang等[17-18]研究,可推得元動作單元損傷類故障在第k個預防性維修周期上的故障率函數(shù)uk(t)為

(4)

假設(shè)元動作單元第k個預防性維修周期為xk,那么在第k個預防性維修周期內(nèi)期望故障的總次數(shù)為

(5)

4 順序預防性維修建模

元動作單元經(jīng)歷N-1個周期長度分別為x1,x2,…,xN-1的不完全預防性維修,再經(jīng)歷xN進行第N次預防性維修時對元動作單元進行更換,使其修復如新.則在整個更新周期內(nèi),其維修成本率可以表示為

C(N,x1,…,xN)=

(6)

(7)

(8)

用式(6)對xk求偏導,并令其等于0,可得:

C(N,x1,x2,…,xN)

(9)

用式(6)分別對x1,x2,…,xk求偏導,并令其等于0,則可得:

(10)

由式(10)推出:

u1(x1)=u2(x2)=…=uN(xN)

(11)

令u1(x1)=u2(x2)=…=uN(xN)=D, 推出:

(12)

將式(12)代入式(10)中任意一個方程,從而可推出:

(13)

(14)

利用搜索方法,可以找出元動作單元的最優(yōu)維修策略(N*,x1, …,xN*),求解算法流程如圖2所示.

圖2 求解算法流程圖

5 算例分析

預防性維修效果主要體現(xiàn)在比率ak上.ak越大,預防性維修效果越差,反之維修效果越好.Wang等[17]考慮實際中預防性維修效果隨著維修次數(shù)的增加呈現(xiàn)減弱的趨勢,預防性維修效果參數(shù)ak的取值為

ak=eνk

(15)

式中:k=0,1,2,…,N;ak>1表示預防性維修效果隨著預防性維修次數(shù)的增多而減弱;ν為調(diào)整因子,ν>0,ν越大預防性維修效果相對越差.

當模型取上述值時,通過對本文模型進行求解可知, 最優(yōu)維修成本率C*隨最優(yōu)維修次數(shù)N*的變化如圖3所示,最優(yōu)維修成本率C*隨最優(yōu)維修次數(shù)N*的增加先增加而后減小.最優(yōu)維修次數(shù)N*=5時,維修成本率取最小值,C*=9.67 (元/h),此時對應的最優(yōu)預防性維修周期依次為x1=248.68 h,x2=168.11 h,x3=133.17 h,x4=110.46 h,x5=92.69 h.若對元動作單元采用完美更換策略,其他參數(shù)同上,得到最優(yōu)維修成本率為C*=12.06 元/h,最優(yōu)維修周期為248.68 h.由此可見,在一個更新周期內(nèi),采用完美更換策略的成本率更高,本研究的維修策略更優(yōu).若不考慮預防性維修對本質(zhì)疲勞類和損傷類故障影響的差異,即取e=1,f=0,其他參數(shù)不變.求得最優(yōu)維修成本率C*=8.70 元/h, 最優(yōu)維修次數(shù)N*=8.70,對應的最優(yōu)預防性維修周期依次為x1=251.98 h,x2=175.69 h,x3=142.23 h,x4=119.93 h,x5=101.94 h,x6=86.10 h,x5=71.72 h.由此看出,若沒有考慮元動作單元存在的本質(zhì)疲勞類故障,預防性維修效果被高估,得到的最優(yōu)維修策略的預防性維修次數(shù)偏高,維修成本率偏小.

圖3 最優(yōu)維修成本率隨最優(yōu)維修次數(shù)的變化

維修成本是制定維修策略的一個重要影響因數(shù),不同類型維修成本的變化可能會導致最優(yōu)維修策略的改變.下面討論各類型維修成本的變化對最優(yōu)維修策略及最優(yōu)維修成本率的影響.

表1 損傷類故障最小維修成本對最優(yōu)維修策略的影響

表2 本質(zhì)疲勞類故障最小維修成本對最優(yōu)維修策略的影響

表3結(jié)果表明,隨著cp的增加,C*逐漸增加.但當cp接近更換成本cr時,這時直接采取更換策略(N*=1),C*保持在12.06 元/h;N*隨著cp的增加而減小.通過減小預防性維修次數(shù),節(jié)省維修成本從而降低維修成本率.當cp接近更換成本cr時,直接采取更換策略,N*=1保持不變;更新周期長度隨著cp的增加而呈現(xiàn)減小的趨勢.這是因為cp較高時,最小維修成本就相對越低,可適當縮短更新周期降低總體的維修成本率.但當cp接近更換成本cr時,直接采取更換策略(N*=1),更新周期長度保持不變.

表3 預防性維修成本cp對最優(yōu)維修策略的影響

表4 更換成本cr對最優(yōu)維修策略的影響

不同元動作單元損傷類故障與疲勞類故障比例不盡一致,下面討論故障比例因子變化對最優(yōu)維修策略的影響.在其他參數(shù)不變的情況下,調(diào)整故障比例因子e和f,得到的結(jié)果如表5所示.

表5 故障比例因子對最優(yōu)維修策略的影響

預防性維修效果參數(shù)ak對最優(yōu)維修成本率和最優(yōu)維修策略可能存在影響,在本算例中,ak是由調(diào)整因子ν決定的.因此,下面討論調(diào)整因子ν的變化對最優(yōu)維修策略的影響.在其他參數(shù)不變的情況下,變動調(diào)整因子ν,得到的結(jié)果如表6所示.

表6 調(diào)整因子ν的變化對最優(yōu)維修策略的影響

表6結(jié)果表明,隨著ν的增加,C*逐漸增加,但當ν增加到一定值后,C*保持不變.這是因為,預防性維修效果隨著ν的增加而變差,在相同條件下故障發(fā)生的次數(shù)增多而導致維修成本率增加.當ν增加到一定值時,預防性維修效果已經(jīng)非常差,直接對元動作單元進行更換效果更好,這時C*保持在12.06 元/h不變;N*隨著e的增加而呈現(xiàn)減小的趨勢,更新周期長度隨著e的增加而減少,但當ν增加到一定值后,N*和更新周期都保持不變.這是因為隨著預防性維修效果變差,適當減少預防性維修次數(shù)、縮短更新周期可以減少維修成本率.當ν增加到一定值時,對元動作單元直接更換的維修方式成本效益更佳,因而N*和更新周期不再隨e的增加而變化.

6 結(jié)論

基于GGP,考慮預防性維修對損傷類和本質(zhì)疲勞類故障維修效果的差異,建立了元動作單元的順序預防性維修優(yōu)化模型,并分析了各類型維修成本、故障比例因子以及調(diào)整因子對最優(yōu)維修決策的影響,研究結(jié)果表明:

(1) 相比更換維修策略,本文模型得到的預防性維修策略的維修成本率更低.

(2) 不考慮預防性維修對不同類型故障維修效果的差異會低估元動作單元的維修成本率,得到不準確的維修策略.

本文雖然取得了一定的成果,但依然存在一些不足:模型中沒有考慮維修時間,這可能會影響模型的精度;只考慮了單個元動作單元的預防性維修策略,對多個元動作單元的維修策略有待進一步研究.