羅飛

［摘? 要］ 以學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)去實(shí)施有效的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，很關(guān)鍵的一點(diǎn)就是在認(rèn)知基礎(chǔ)與教學(xué)目標(biāo)之間搭建一座堅(jiān)實(shí)的橋梁，這樣學(xué)生才能從真實(shí)的出發(fā)點(diǎn)走向科學(xué)的落腳點(diǎn). 這個(gè)橋梁就是“思維”. 無論是數(shù)學(xué)知識(shí)的積累，還是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地，一定是學(xué)生思維作用的結(jié)果. 學(xué)生只有借助自身思維，才能讓數(shù)學(xué)知識(shí)真正成為自身所擁有的知識(shí)，而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也只能在理解和掌握知識(shí)的過程中落地. 從這個(gè)角度來看，打造引領(lǐng)學(xué)生追求思維含量的高中數(shù)學(xué)課堂，是一線數(shù)學(xué)教師的主要任務(wù).

［關(guān)鍵詞］ 高中數(shù)學(xué)；思維；含量；課堂教學(xué)

從2001年開始正式推行課程改革，至今已有二十多年. 在這二十多年的時(shí)間內(nèi)，關(guān)于支撐課程改革理論的討論與熱議，經(jīng)歷了一些重要變化. 站在今天的角度來看，最重要的變化之一就是當(dāng)下核心素養(yǎng)概念的提出. 核心素養(yǎng)是對(duì)教育教學(xué)目標(biāo)的描述，強(qiáng)調(diào)的是培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)社會(huì)發(fā)展與終身發(fā)展的必備品格與關(guān)鍵能力. 這意味著必備品格與關(guān)鍵能力是核心素養(yǎng)定義中最核心的兩個(gè)關(guān)鍵詞，在將必備品格與關(guān)鍵能力作為所有學(xué)科教學(xué)目標(biāo)的時(shí)候，要思考學(xué)科教學(xué)中如何實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo). 課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂使得核心素養(yǎng)與學(xué)科教學(xué)之間有緊密的聯(lián)系，而學(xué)科教學(xué)的主要任務(wù)就是促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》明確指出高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)由數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等要素組成.

面對(duì)核心素養(yǎng)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)需要，一線教師在日常教學(xué)中的思考必須既符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，又符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，這樣才能支撐起學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展. 在筆者看來，基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)去實(shí)施有效的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，很關(guān)鍵的一點(diǎn)就是在認(rèn)知基礎(chǔ)與教學(xué)目標(biāo)之間搭建一座堅(jiān)實(shí)的橋梁，這樣學(xué)生才能從真實(shí)的出發(fā)點(diǎn)走向科學(xué)的落腳點(diǎn).

對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)科而言，這個(gè)橋梁是什么呢？筆者認(rèn)為這個(gè)橋梁就是“思維”. 無論是數(shù)學(xué)知識(shí)的積累，還是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的落地，一定是學(xué)生思維作用的結(jié)果. 學(xué)生只有借助自身思維，才能讓數(shù)學(xué)知識(shí)真正成為自身所擁有的知識(shí)，而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也只能在理解和掌握知識(shí)的過程中落地. 從這個(gè)角度來看，打造引領(lǐng)學(xué)生追求思維含量的高中數(shù)學(xué)課堂，是一線數(shù)學(xué)教師的主要任務(wù). 下文以新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“三角函數(shù)”中的“任意角和弧度制”教學(xué)為例，談?wù)勔恍┧伎寂c做法.

一些追問引起的數(shù)學(xué)教學(xué)思考

從時(shí)間的角度來看，近二十多年來的課程改革變化是顯著的，課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂以及相關(guān)概念的提出，讓一線教師處于較快的教學(xué)理念切換的過程中. 應(yīng)當(dāng)說在教學(xué)中追求“變”有其必要性，但是在追求“變”的過程中也應(yīng)當(dāng)思考一些深層次的東西. 一位教學(xué)經(jīng)歷豐富的教師曾反思如下：從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)教研已有三十九年，經(jīng)歷了一次又一次課程改革，聽了一場(chǎng)又一場(chǎng)專家報(bào)告，觀摩了一節(jié)又一節(jié)數(shù)學(xué)公開課，翻閱了一篇又一篇數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，我不斷拷問自己數(shù)學(xué)教學(xué)的意義在哪兒？數(shù)學(xué)教學(xué)核心是什么？它不受世事變遷，永遠(yuǎn)追求的本色又是什么？［1］

這些追問引起筆者深深思考，站在一線教師的角度來看，處于日常工作狀態(tài)的一線教師，所期待的是在“變”與“不變”之間取得一定的平衡. 也就是說，教師要保證自己的教學(xué)理念是相對(duì)先進(jìn)的，是與國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)完全一致的，但是在具體實(shí)施時(shí)又要有一個(gè)能夠貫穿教學(xué)始終的著力點(diǎn). 這個(gè)著力點(diǎn)就應(yīng)當(dāng)是學(xué)生的思維. 如果說課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的數(shù)學(xué)教學(xué)的意義在于核心素養(yǎng)的落地，對(duì)教師來說，緊扣學(xué)生的思維發(fā)展，讓學(xué)生進(jìn)入一個(gè)科學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)過程，然后讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)與知識(shí)建構(gòu)過程相伴相生，是一個(gè)良好的教學(xué)樣態(tài).

對(duì)于這樣的教學(xué)樣態(tài)而言，同時(shí)涵蓋了傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)發(fā)展的要求，從理論的角度來看具有強(qiáng)大的生命力. 聯(lián)系前面的追問，很明顯，緊扣學(xué)生的思維來教學(xué)，更能夠相對(duì)直接地把握數(shù)學(xué)教學(xué)的意義，能夠理清對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)核心的認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)永遠(yuǎn)追求的本色.

當(dāng)然必須注意到的是，從學(xué)術(shù)的意義來看，思維是學(xué)生知識(shí)學(xué)習(xí)背后的大腦活動(dòng)，其本身是內(nèi)隱的，是無法直接觀察的. 要把握好學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)過程中的思維，主要看學(xué)生在問題解決過程中的具體表現(xiàn)，比如看學(xué)生對(duì)知識(shí)的有效連接與運(yùn)用，看學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的有效激活與運(yùn)用. 如果在問題解決過程中，學(xué)生有良好的表現(xiàn)，那么伴隨學(xué)生學(xué)習(xí)的就是與數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)相關(guān)的環(huán)節(jié)，而這些環(huán)節(jié)需要教師帶著核心素養(yǎng)的培育意識(shí)進(jìn)行設(shè)計(jì).

從上面的分析可以得出一個(gè)基本結(jié)論，那就是對(duì)于高中數(shù)學(xué)學(xué)科而言，無論課程如何改革，教學(xué)如何變化，總存在需要堅(jiān)守的對(duì)象. 立足學(xué)生的思維發(fā)展而教學(xué)，就是需要堅(jiān)守的思路. 因此打造一個(gè)追求思維含量的高中數(shù)學(xué)課堂，就應(yīng)當(dāng)成為銜接傳統(tǒng)與現(xiàn)代的高中數(shù)學(xué)教學(xué)、成為體現(xiàn)繼承與創(chuàng)新的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的關(guān)鍵載體. 事實(shí)證明，只要堅(jiān)持打造追求思維含量的數(shù)學(xué)課堂，就能夠?yàn)楹诵乃仞B(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)開辟新的天地.

打造追求思維含量的數(shù)學(xué)課堂

高中數(shù)學(xué)教學(xué)歷來重視思維的價(jià)值，新頒布的課程標(biāo)準(zhǔn)也明確指出，“數(shù)學(xué)在形成理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用”. 要讓學(xué)生形成理性思維與科學(xué)精神，要讓學(xué)生的智力得到發(fā)展，說到底還是要抓住思維這一核心要素. 考慮到班級(jí)授課制的基本特征，在發(fā)展學(xué)生的思維能力時(shí)固然要關(guān)注個(gè)體，但同時(shí)也需要關(guān)注群體效應(yīng)，這就是筆者強(qiáng)調(diào)要“打造追求思維含量的數(shù)學(xué)課堂”的關(guān)鍵所在.

所謂有思維含量的數(shù)學(xué)課堂，首先意味著班級(jí)中的所有學(xué)生都能夠沉浸在群體高效思維的學(xué)習(xí)情境中，也就是教師所創(chuàng)設(shè)的學(xué)習(xí)情境、所提出的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)當(dāng)讓所有學(xué)生面對(duì)并思考（當(dāng)然思考的層次有所不同）；其次意味著學(xué)生個(gè)體在這樣的課堂上能夠各有收獲. 這是一個(gè)非?，F(xiàn)實(shí)的問題，也是影響學(xué)生個(gè)體學(xué)習(xí)獲得感的重要問題. 如果教師在教學(xué)過程中給出的學(xué)習(xí)素材以及提出的學(xué)習(xí)問題，能夠表現(xiàn)出一定的層次性，那么學(xué)生在課堂上、在自己的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)就能獲得最高的學(xué)習(xí)效率. 通過這樣的分析可以發(fā)現(xiàn)，有思維含量的數(shù)學(xué)課堂必須堅(jiān)持“以生為本”，要強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的獲得感. “以生為本”的課堂不僅需要學(xué)生充分參與課堂活動(dòng)，更需要提升學(xué)生的思維深度和廣度. 思維生長(zhǎng)的核心，也是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵所在［2］. 認(rèn)識(shí)到這些后就可以組織具體的教學(xué)了.

“任意角和弧度制”在高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中是基礎(chǔ)性知識(shí)，從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看面臨著一定的障礙，尤其用弧度制來表示角度對(duì)于相當(dāng)一部分學(xué)生而言有顯著的不適感. 要化解學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，最有效的思路之一就是為弧度制知識(shí)的生成創(chuàng)設(shè)良好的情境，確保學(xué)生在足夠的時(shí)間和空間中進(jìn)行深入思考，讓學(xué)生用自己的思維對(duì)相應(yīng)的知識(shí)進(jìn)行精加工，這樣可以保證信息加工的效果，可以讓弧度制知識(shí)進(jìn)入學(xué)生的長(zhǎng)時(shí)記憶. 而這樣的課堂自然就是有思維含量的課堂！

在具體設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，筆者認(rèn)為應(yīng)當(dāng)重視以下幾個(gè)環(huán)節(jié).

一是情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié). 越是抽象的知識(shí)越需要情境的支撐，弧度制相對(duì)于學(xué)生熟悉的角度制而言，是比較抽象的，在這種情況下，想讓學(xué)生順利建立起弧度制的概念，就要保證學(xué)生的思維對(duì)象是豐富的. 這里可以借助教材所設(shè)計(jì)的圓周運(yùn)動(dòng)，讓學(xué)生觀察圓周上某一點(diǎn)以另一點(diǎn)為起點(diǎn)做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，思考如何刻畫運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的位置變化. 在這一情境中，學(xué)生面對(duì)的是一個(gè)圓，以及圓周上的兩個(gè)點(diǎn)（如圖1所示）. 對(duì)于高中生而言，情境問題并沒有太大的難度，因此教學(xué)起點(diǎn)的確定可以說是符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的. 而在這一基礎(chǔ)上提出的問題，主要引導(dǎo)學(xué)生圍繞“位置變化”進(jìn)行思考，很顯然學(xué)生必須借助已有知識(shí)來回答這一問題.

當(dāng)學(xué)生有了一定的認(rèn)識(shí)后，就可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考，于是教學(xué)自然進(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié).

二是深度思考環(huán)節(jié). 要讓學(xué)生將思維從熟悉的地方切換到不熟悉的領(lǐng)域，首先必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到有其必要性. 而這種認(rèn)知心理，也需要靠情境或問題來達(dá)成. 一個(gè)最基本的問題就是當(dāng)點(diǎn)P越過出發(fā)點(diǎn)A后，角度α的大小就超過了周角（360°）的大??；更進(jìn)一步，在很多生活情境中，要描述某一點(diǎn)位置的變化，只用水平角度是不夠的，還要關(guān)注這一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的方向（如圖2所示的齒輪中A，B兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向不同），這時(shí)想用簡(jiǎn)潔的語言進(jìn)行描述，角度制就顯得捉襟見肘. 在這種情況下應(yīng)當(dāng)如何解決這一問題呢？

此時(shí)教師應(yīng)當(dāng)將思維時(shí)間與空間還給學(xué)生，讓學(xué)生充分思考、充分猜想，哪怕出現(xiàn)錯(cuò)誤的答案也不應(yīng)當(dāng)簡(jiǎn)單批評(píng). 實(shí)際上，在這個(gè)過程中，部分學(xué)生能夠?qū)⑿D(zhuǎn)的方向想方設(shè)法納入原有的知識(shí)體系. 比如有學(xué)生圍繞點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中圓周半徑的變化，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的方向來描述角的變化. 看來學(xué)生不太可能一下子想到正角和負(fù)角，但是學(xué)生的思維被激活后，教師可以慢慢地引導(dǎo)，使學(xué)生對(duì)任意角有更加豐富的認(rèn)識(shí).

有了這些認(rèn)識(shí)后，教師可以進(jìn)一步提出問題：度量角時(shí)是否存在不同的單位制？能否用十進(jìn)制的實(shí)數(shù)來度量角的大小呢？這在弧度制概念建構(gòu)的過程中是一個(gè)重要問題，而解決這個(gè)問題可以在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上（實(shí)際上就是在學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上）

思維是高中數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的追求

在上文的教學(xué)案例中，在兩個(gè)重要的教學(xué)環(huán)節(jié)里，學(xué)生都有充分的思維空間，學(xué)生的思維在情境素材以及問題的支撐下被激活. 思維的激活與思維空間的存在，意味著這樣的課堂上學(xué)生的思維有著顯著的沉浸感，每一個(gè)學(xué)生都可以在這樣的課堂上面對(duì)教師提出的問題，先去激活自己的思維，然后在自己的思維中進(jìn)行推理. 由于學(xué)生個(gè)體間的差異，他們所推理得出的結(jié)果自然會(huì)存在諸多不同，這種情況下如果教師再借助合作學(xué)習(xí)讓學(xué)生充分交流，那么學(xué)生就會(huì)有一個(gè)新的思維空間.

值得一提的是，要打造具有思維含量的課堂，還必須關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)后的反思環(huán)節(jié)——要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)，學(xué)習(xí)反思是至關(guān)重要的環(huán)節(jié). 學(xué)習(xí)反思可以讓學(xué)生在回顧學(xué)習(xí)過程時(shí)，除去其中一些不重要的因素，只留下自己感興趣、能引發(fā)自己深度思考的因素，當(dāng)這些因素得到重視，價(jià)值得到確認(rèn)時(shí)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的來龍去脈就會(huì)更加清晰，對(duì)知識(shí)的邏輯認(rèn)識(shí)也會(huì)更加深刻，這自然能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，而邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等要素也能得到落實(shí). 可以說，有反思的課堂才是具有思維含量的課堂，是能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的課堂，是沒有邏輯矛盾、能夠得到事實(shí)支撐的課堂.

總而言之，思維是高中數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的追求，核心素養(yǎng)背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，依然要抓住思維這一核心要素來打造有思維含量的課堂.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 沈月. 聚焦思維課堂，培養(yǎng)核心素養(yǎng)——例談基于提高數(shù)學(xué)思維能力的初中數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建［J］. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（20）：37-38+48.