陶中亞 毛永志

［摘? 要］ “學(xué)習(xí)進(jìn)階”理念與“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平劃分（附錄1）”的分層分級(jí)特征及教學(xué)要求高度契合. 基于此，立足學(xué)習(xí)主體（學(xué)生）、學(xué)習(xí)內(nèi)容（基礎(chǔ)知識(shí)）、學(xué)習(xí)方法等，將學(xué)習(xí)目標(biāo)進(jìn)行分解、分級(jí)，實(shí)現(xiàn)學(xué)情與目標(biāo)的對(duì)應(yīng)，運(yùn)用“學(xué)習(xí)進(jìn)階”思維在由低到高、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜地不斷“進(jìn)階”的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提供一個(gè)對(duì)應(yīng)不同層次學(xué)生、不同教學(xué)內(nèi)容要求的路徑明確的素養(yǎng)培養(yǎng)過(guò)程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)內(nèi)化和外塑的雙向互動(dòng)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的針對(duì)性和有效性，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 學(xué)習(xí)進(jìn)階；水平劃分；邏輯推理；函數(shù)周期性

“學(xué)習(xí)進(jìn)階”理念認(rèn)為，學(xué)生在學(xué)習(xí)某學(xué)科核心概念的過(guò)程中存在一種潛在的發(fā)展序列，學(xué)習(xí)是一個(gè)沿著該序列逐漸積累、不斷演進(jìn)的系統(tǒng)過(guò)程. 該理念包含五項(xiàng)特征要素：學(xué)習(xí)目標(biāo)、進(jìn)階變量（通常是學(xué)科中核心概念或關(guān)鍵技能）、成就水平、學(xué)習(xí)表現(xiàn)及評(píng)價(jià)［1］. 這與《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中的“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平劃分（附錄1）”的分層分級(jí)特征及教學(xué)要求高度契合［2］，將該理念具體化并應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容、過(guò)程、目標(biāo)及評(píng)價(jià)的深度融合，對(duì)達(dá)成學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的目標(biāo)具有重要指導(dǎo)意義.

高中數(shù)學(xué)中的概念、命題、定理、公式及運(yùn)算規(guī)則等“必備知識(shí)”提供了“進(jìn)階變量”；“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平劃分（附錄1）”提供了“學(xué)習(xí)目標(biāo)”及“成就水平”分層分級(jí)的教學(xué)要求. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)可以運(yùn)用“學(xué)習(xí)進(jìn)階”的思維方法，將“進(jìn)階變量”依據(jù)其自身特點(diǎn)及“素養(yǎng)水平劃分”的分級(jí)要求進(jìn)行有梯度的分解并逐級(jí)對(duì)應(yīng)，在螺旋遞進(jìn)的教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用數(shù)學(xué)“必備知識(shí)”培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，并在內(nèi)化和外塑的雙向互動(dòng)中考查學(xué)生的“學(xué)習(xí)表現(xiàn)”，達(dá)到數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)教學(xué)的評(píng)價(jià)要求. 下文以在“函數(shù)周期性”的理解與運(yùn)用中培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)為例，詳細(xì)地展示一下該教學(xué)思路.

建階：分解與協(xié)調(diào)

“學(xué)習(xí)進(jìn)階”教學(xué)的第一步就是為學(xué)生學(xué)習(xí)提供梯度適宜的“臺(tái)階”，即將“遞階變量”中的“必備知識(shí)”和教學(xué)總體目標(biāo)分解成由低到高的不同層級(jí)，各層級(jí)由具體的學(xué)習(xí)主體（學(xué)生層次）、學(xué)習(xí)材料（必備知識(shí)）、學(xué)習(xí)方法、教學(xué)目標(biāo)形成一個(gè)相對(duì)完整且各階層關(guān)系密切、遞進(jìn)互動(dòng)的子系統(tǒng)，完成低階系統(tǒng)目標(biāo)任務(wù)能夠?yàn)楦玫貓?zhí)行下一個(gè)更高階目標(biāo)任務(wù)做準(zhǔn)備；知識(shí)與目標(biāo)分解后是“協(xié)調(diào)”，即對(duì)應(yīng)好學(xué)習(xí)主體（學(xué)生層次）、學(xué)習(xí)材料（知識(shí)內(nèi)容）、學(xué)習(xí)方法與每一步學(xué)習(xí)目標(biāo)之間的關(guān)系，同時(shí)對(duì)應(yīng)好不同層級(jí)之間的銜接關(guān)系，選擇明確的過(guò)渡方式. 如此，完成低階學(xué)習(xí)任務(wù)及目標(biāo)是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)化的過(guò)程，運(yùn)用低階學(xué)習(xí)中內(nèi)化的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)解決高階問題，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)外塑運(yùn)用的過(guò)程，也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)提升鞏固的過(guò)程，這可使師生在學(xué)習(xí)活動(dòng)開始前將學(xué)習(xí)目標(biāo)、內(nèi)容、方法及路徑了然于胸，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)培養(yǎng)的針對(duì)性和有效性.

同時(shí)，能夠分解、明晰復(fù)雜問題部分與整體的關(guān)系，將問題簡(jiǎn)單化，以明確的思維、方法、路徑逐步解決問題，完成實(shí)際任務(wù)，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)，本身就是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的體現(xiàn). 因此，“學(xué)習(xí)進(jìn)階”思維運(yùn)用是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本應(yīng)具備的意識(shí)和能力.

高中數(shù)學(xué)中的“函數(shù)的性質(zhì)”是常考考點(diǎn)，而周期性是函數(shù)的最重要性質(zhì)之一，其中蘊(yùn)含的邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)因素，可以很好地體現(xiàn)上述教學(xué)路徑.

蘇教版數(shù)學(xué)教材選修1-2第59頁(yè)，有一個(gè)習(xí)題如下：

先解答（1），再通過(guò)結(jié)構(gòu)類比解答（2）.

引導(dǎo)學(xué)生一起回憶一下函數(shù)周期性的概念：對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），任意x∈D，存在T（T≠0），都有f（x+T）=f（x）成立，則T為f（x）的一個(gè)周期.

嚴(yán)格地證明如下：因?yàn)?/p>

本例題是函數(shù)周期性基本概念的運(yùn)用. 第（1）問的解決及根據(jù)第（1）問猜想出第（2）問的答案，符合“數(shù)學(xué)運(yùn)算水平一”的相關(guān)要求，即學(xué)生能夠運(yùn)用他們了解的運(yùn)算法則及其適用范圍，在熟悉的數(shù)學(xué)公式情境中，形成合適的運(yùn)算思路，進(jìn)而解決問題；學(xué)生在熟悉的數(shù)學(xué)情境中類比推理得到一個(gè)正確的結(jié)論，有條理地表達(dá)出我們所需要的內(nèi)容. 同時(shí)第（2）問的嚴(yán)格證明，可使學(xué)生達(dá)到“數(shù)學(xué)運(yùn)算水平二”的相關(guān)要求. 類比推理只是一種猜想，并不能確定猜想是否正確，這需要嚴(yán)格的運(yùn)算證明，說(shuō)明它具有一般性. 通過(guò)本例題第（2）問的證明，可使學(xué)生理解運(yùn)算是一種演繹推理，在綜合運(yùn)用運(yùn)算解決問題的過(guò)程中，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì).

由此，具體的數(shù)學(xué)知識(shí)和素養(yǎng)培養(yǎng)的水平要求就分層次地明確對(duì)應(yīng)了起來(lái)，而且本例題屬于基本概念及基本運(yùn)算的運(yùn)用，是基礎(chǔ)性的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備，適合所有高中生. 這個(gè)階段中可以運(yùn)用基本的教學(xué)方法，訓(xùn)練所有學(xué)習(xí)層次的學(xué)生，完成最基礎(chǔ)的階段訓(xùn)練，使學(xué)生掌握基本概念和形成基本素養(yǎng).

進(jìn)階：變式與遷移

當(dāng)然，上述例題在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中還有更高的價(jià)值，教師可以在變式與情境遷移中繼續(xù)研究函數(shù)的周期性，從而讓學(xué)生進(jìn)入高階學(xué)習(xí)，培養(yǎng)其更高水平的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

具體看下一小題：

（3）設(shè)x∈R，α為非零常數(shù)，且f（x+

這是上述兩小題基礎(chǔ)上的變式題. 應(yīng)當(dāng)說(shuō)解決第（3）問相對(duì)而言比較容易——學(xué)生根據(jù)第（2）問的解決方法類似推理很容易想到第（3）問具體的解決方法，這就是其在第一階段學(xué)習(xí)中獲得的素養(yǎng)的具體運(yùn)用. 如果說(shuō)第（3）問學(xué)生能熟練解決并且在展示、交流環(huán)節(jié)中能完整精通表達(dá)的話，那么說(shuō)明學(xué)生掌握了具體方法并且具備相應(yīng)的理解能力和思維品質(zhì)，達(dá)到了“數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的水平二”的相關(guān)要求，即學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)又進(jìn)了一階. 為檢驗(yàn)和鞏固這一學(xué)習(xí)成果，可以有意識(shí)地進(jìn)行下一階段的訓(xùn)練.

具體看下面的例題：

（4）函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，有f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b-x），試問f（x）是周期函數(shù)嗎？若是，周期是多少？

（5）函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，有f（a+x）=f（a-x）且f（x）+f（2b-x）=0，試問f（x）是周期函數(shù)嗎？若是，周期是多少？

（6）函數(shù)f（x）對(duì)任意x∈R，有f（x）+f（2a-x）=0且f（x）+f（2b-x）=0，試問f（x）是周期函數(shù)嗎？若是，周期是多少？

第（4）（5）（6）問是在第（3）問的基礎(chǔ)上考慮到的多種變式題. 這種舉一反三的思維就是學(xué)生數(shù)學(xué)推理素養(yǎng)培養(yǎng)的基礎(chǔ)，而尋求恰當(dāng)方法，運(yùn)用已學(xué)知識(shí)和已有素養(yǎng)解決這些問題的過(guò)程則是學(xué)生素養(yǎng)水平進(jìn)一步提升的過(guò)程. 學(xué)生明晰這一過(guò)程，就是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)見到成效的體現(xiàn).

函數(shù)周期性與函數(shù)對(duì)稱性有關(guān)系，我們可以證明第（4）問如下：由f（a+x）=f（a-x）知f（x）關(guān)于直線x=a對(duì)稱，所以f（x）=f（2a-x）. 由f（b+x）=f（b-x）知f（x）關(guān)于直線x=b對(duì)稱，所以f（x）=f（2b-x）. 因此f（2a-x）=f（2b-x）=f（2a-x+（2b-2a）），所以f（x）=f（x+2b-2a），則f（x）具有周期性，周期為2a-b.

同理可證第（5）問和第（6）問中的f（x）為周期函數(shù)，其周期分別為4a-b，2a-b.

如果說(shuō)第（1）（2）問是基礎(chǔ)準(zhǔn)備，是對(duì)所有學(xué)生的基本要求，那么第（3）問就是基礎(chǔ)拓展，目的是盡力推動(dòng)所有學(xué)生跨越“邏輯推理水平二”的相關(guān)要求；第（4）（5）（6）問相對(duì)而言難度較高，如果能夠順利解決并且在展示、交流中表現(xiàn)出充分理解和熟練運(yùn)用，那么說(shuō)明學(xué)生達(dá)到了“邏輯推理水平三”的相關(guān)要求，即能夠把握研究對(duì)象的數(shù)學(xué)特征，感悟通性通法，領(lǐng)會(huì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，形成解決問題的思路. 同時(shí)也說(shuō)明，在整個(gè)過(guò)程中，“數(shù)學(xué)運(yùn)算”三個(gè)水平的相關(guān)要求，甚至“數(shù)學(xué)抽象”的相關(guān)要求也都基本運(yùn)用和訓(xùn)練到了，“四基”和“四能”得到了有效落實(shí)，體現(xiàn)了“教學(xué)建議”對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的“綜合性和整體性”的要求.

高階：運(yùn)用與拓展

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》“實(shí)施建議”中的“考試命題路徑”提出，評(píng)價(jià)框架包括三個(gè)維度：第一個(gè)維度是情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)、交流與反思，反映數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的四個(gè)方面；第二個(gè)維度是函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，是四條內(nèi)容主線；第二個(gè)維度是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的三個(gè)水平［2］. 這是學(xué)生解答數(shù)學(xué)習(xí)題，解決實(shí)際問題的原則性、指導(dǎo)性的思路依據(jù). 換句話說(shuō)，具有明確的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的人，在分析、解答數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)，應(yīng)該從這三個(gè)維度入手，按程序思考來(lái)完成習(xí)題的解析和解答.

具體看下面這道例題：

（7）（2020年蘇北三市聯(lián)考一模數(shù)學(xué)卷第13題）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=-eax（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）. 若f（2020-ln2）=8，則實(shí)數(shù)a的值為______.

本例題在內(nèi)容維度上涉及函數(shù)相關(guān)知識(shí)，在調(diào)動(dòng)和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析該題時(shí)首先要做好奇函數(shù)及其圖象的相關(guān)知識(shí)的準(zhǔn)備；在素養(yǎng)維度上涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等，在分析該題時(shí)要明確相應(yīng)要求，探尋解決思路，選擇解決方法；在素養(yǎng)水平維度上主要涉及“數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)的水平三”. 當(dāng)然，在具體分析該題時(shí)也要立足內(nèi)容中的基礎(chǔ)知識(shí)，關(guān)注到“數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)的水平一和水平二”的要求，以便更好地明確解題路徑.

因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，根據(jù)第（5）問的結(jié)論知道此函數(shù)具有周期性，周期為4. 所以f（2020-ln2）=f（-ln2）= -f（ln2）=ealn2=（eln2）a=2a=8，即a=3.

此題的解決得益于之前對(duì)函數(shù)周期性的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備、準(zhǔn)確理解、深入研究以及邏輯推理素養(yǎng)的運(yùn)用，如果學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備和習(xí)題分析中熟悉了相關(guān)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法并達(dá)到了相關(guān)素養(yǎng)水平的要求，那么其解題思路就會(huì)通暢很多，問題解決起來(lái)也會(huì)少走很多彎路. 而且完成此題的解決，也是對(duì)自身素養(yǎng)的進(jìn)一步運(yùn)用和提升，體現(xiàn)了素養(yǎng)內(nèi)化和外塑的雙向培養(yǎng)，體現(xiàn)了素養(yǎng)培養(yǎng)的遞階性、綜合性和整體性.

此題涉及命題三個(gè)維度、素養(yǎng)三個(gè)水平的應(yīng)用，體現(xiàn)了高階思維和能力的運(yùn)用，能夠檢驗(yàn)出不同層次學(xué)生不同的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，具有很好的區(qū)分度，對(duì)教學(xué)實(shí)踐也有很好的指導(dǎo)意義，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的要旨.

為了進(jìn)一步鞏固素養(yǎng)，檢驗(yàn)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，下面再補(bǔ)充一道例題：

在素養(yǎng)、內(nèi)容、水平三維度分析的基礎(chǔ)上，可知此題本身并不難. 根據(jù)第（2）問的結(jié)論即可知道此函數(shù)的周期為8，所以數(shù)列｛an｝中不同的項(xiàng)最多有8項(xiàng).

此題實(shí)際上只涉及“數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的水平二”的相關(guān)要求，但在內(nèi)容維度上則由函數(shù)性質(zhì)拓展到了數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容，對(duì)啟發(fā)學(xué)生思維和具體運(yùn)用邏輯推理能力具有指導(dǎo)意義. 另外，從高階學(xué)習(xí)回到中階學(xué)習(xí)，可以恢復(fù)一般學(xué)生的學(xué)習(xí)信心和學(xué)習(xí)興趣，體現(xiàn)教學(xué)的更大參與度和實(shí)現(xiàn)更有效的教學(xué)目標(biāo)，使教學(xué)效益最大化.

要強(qiáng)調(diào)的是，在“進(jìn)階”學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生反思整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，讓更多學(xué)生了解學(xué)習(xí)意圖和學(xué)習(xí)步驟，幫助學(xué)生體會(huì)“進(jìn)階學(xué)習(xí)”的特征，使學(xué)生明確自身學(xué)習(xí)所處的階層，了解自身所掌握、運(yùn)用的知識(shí)與素養(yǎng)的對(duì)應(yīng)情況，以便明確下一階層的學(xué)習(xí)目標(biāo)，做好高階提升的準(zhǔn)備. 同時(shí)，教師應(yīng)在“進(jìn)階學(xué)習(xí)”中引導(dǎo)學(xué)生樹立遇到難題時(shí)自動(dòng)溯源的意識(shí)，主動(dòng)回憶解答難題時(shí)必須運(yùn)用的基本概念、命題、定理、公式等，提升刪繁為簡(jiǎn)、化難為易的有效分析習(xí)題的能力，自覺而全面地提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 張穎之.理科課程設(shè)計(jì)新理念：“學(xué)習(xí)進(jìn)階”的本質(zhì)、要素與理論溯源［J］. 課程·教材·教法，2016，36（06）：115-120.

［2］ 中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.