甘磊

［摘? 要］ 探究性教學意在探究解決問題的思路，通過探究過程發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，歸納規(guī)律及特征，培養(yǎng)學生解決問題的能力及思維發(fā)展能力，發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 問題解決；思維發(fā)展；探究性教學；中點四邊形

美國認知心理學家奧蘇貝爾曾說過，影響學生的唯一重要的因素，就是學生已經(jīng)知道了什么. 因此，教學設(shè)計的每一個教學環(huán)節(jié)，都要從學生已有的認知水平出發(fā)，關(guān)注學生的思維現(xiàn)狀. 探究性教學是基于學生思維水平，讓學生通過觀察、操作等一系列數(shù)學活動歸納出數(shù)學知識，從而提高學生的思維能力，豐富學生的數(shù)學學習經(jīng)驗，提高學生的問題解決能力的一種教學方式.

本文以蘇科版八年級下冊“9.5 三角形中位線”下的“中點四邊形”探究課為例，淺談以學生思維為基點的探究性教學.

研究背景

“中點四邊形”沒在蘇科版八年級下冊第九章中獨立出現(xiàn)，只在“9.5 三角形中位線”的例題中出現(xiàn). 但“中點四邊形”的相關(guān)考點卻頻頻出現(xiàn)，所以在實際教學中，教師一般都會將其作為一節(jié)獨立的探究課來進行研究. 其實“中點四邊形”是初中數(shù)學探究性課題中的經(jīng)典案例，但傳統(tǒng)教學更關(guān)注學，目標一般定位為結(jié)論的分析和應(yīng)用，往往忽略了結(jié)論的產(chǎn)生過程和變化，以及探究結(jié)論的方法和策略. 這些隱形的知識，在傳統(tǒng)教學中往往得不到充分體現(xiàn).

基于以上思考，筆者在課堂教學中重新對“中點四邊形”的教學設(shè)計進行了整理.

教學設(shè)計

1. 教學目標

（1）加深學生對三角形中位線定理的理解和應(yīng)用，讓學生體會中點四邊形的形成過程，發(fā)展學生的合情推理能力.

（2）鞏固特殊四邊形的性質(zhì)，讓學生通過猜想、驗證、歸納的探究過程，掌握中點四邊形的形狀和原四邊形形狀之間的關(guān)系，感悟類比、歸納等數(shù)學思想.

（3）理解中點四邊形的判定方法，并能進行簡單的應(yīng)用.

設(shè)計意圖 目標的制定是建立在學生具備三角形中位線定理的知識儲備基礎(chǔ)上的. “中點四邊形”這節(jié)課是三角形中位線定理的一節(jié)拓展延伸課，因此“中點四邊形”的探究對學生來說并不難，甚至可以說難度系數(shù)較低. 只要學生掌握了探究一般四邊形的中點四邊形方法，那探究其他特殊四邊形的中點四邊形就比較容易推進了.

2. 教學過程

問題1：復習平行四邊形、矩形、菱形、正方形的定義和性質(zhì)，以及它們之間的關(guān)系.

（平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系如圖1所示）

問題2：復習三角形中位線定理及中點三角形的定義.

設(shè)計意圖 快速激活本課知識鏈接，為本課的教學做鋪墊. 數(shù)學最大的特征，就是具有較強的連貫性，新知識的學習往往建立在已有知識的基礎(chǔ)上.

問題3：對于中點三角形，我們還能得出什么新的結(jié)論呢？

（教師出示圖2）

思考1：對于圖2，若圖①中三角形的周長為10，面積為12，則圖②中的中點三角形的周長是多少？面積是多少？圖②中的中點三角形的周長、面積分別與原三角形的周長、面積之間有怎樣的關(guān)系？

思考2：圖2②中有幾個平行四邊形？你能證明嗎？

思考3：對于圖2，以此類推，第n個圖形中最小的中點三角形的周長和面積該如何表示？

教師要求學生小組討論，歸納結(jié)論.

設(shè)計意圖 三角形中位線定理是學習中點四邊形的重要依據(jù)，強化三角形中位線定理有助于后面中點四邊形的探究，能為本節(jié)課的學習做鋪墊.

師：我們學習了中點三角形，那同學們能不能給中點四邊形下一個定義呢？

生：順次連接四邊形四邊中點得到的四邊形叫中點四邊形.

師：今天我們就一起來研究中點四邊形的有關(guān)知識.

【探究一：任意四邊形的中點四邊形】

師：你們能想象出任意四邊形的中點四邊形的形狀嗎？

問題：如圖3所示，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD的中點，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，判斷中點四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

師：如何把中點四邊形與原四邊形建立聯(lián)系呢？出現(xiàn)多個中點時如何與三角形的中位線建立聯(lián)系呢？

生：連接對角線AC（或連接BD，或連接AC與BD）.

學生完成證明過程，并歸納出任意四邊形的中點四邊形的形狀.

思考1：如圖4所示，當AC=BD時，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并加以證明.

思考2：如圖5所示，當AC⊥BD時，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并加以證明.

設(shè)計意圖 從任意四邊形入手，學生很自然地想到要把中點四邊形與原四邊形建立聯(lián)系，應(yīng)該連對角線，構(gòu)造三角形，然后利用三角形中位線定理來解決. 此環(huán)節(jié)學生經(jīng)歷了“觀察—猜想—驗證—歸納”的過程，以及由“一般”到“特殊”的過程，加深了對知識的理解. 此環(huán)節(jié)教師更注重學生自主獲取知識的過程，注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，成功地為后面的探究鋪路搭橋.

【探究二：特殊四邊形的中點四邊形】

師：我們知道了任意四邊形的中點四邊形是平行四邊形，那如果原四邊形是特殊的四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）時，中點四邊形是否也是特殊的四邊形呢？

（教師分發(fā)提前打印好的特殊四邊形，讓學生分組探究，并完成表1）

師：觀察以上特殊四邊形的中點四邊形，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：所有的中點四邊形都是平行四邊形.

生2：矩形、等腰梯形的中點四邊形是菱形；菱形的中點四邊形是矩形；正方形的中點四邊形是正方形.

師：原四邊形具備什么條件時，中點四邊形是菱形呢？

生3：對角線相等.

師：原四邊形具備什么條件時，中點四邊形是矩形呢？

生4：對角線互相垂直.

（學生完成證明過程）

設(shè)計意圖 本環(huán)節(jié)的設(shè)計逐層推進，遵循由“一般”到“特殊”的思路，讓學生自主探究，按照自己的思路去思考. 此環(huán)節(jié)充分體現(xiàn)了學生的個性思維，關(guān)注每一個學生的學習過程. 在小組合作中，學生經(jīng)歷了“畫圖—猜想—驗證—歸納”的過程，并總結(jié)規(guī)律，得出了結(jié)論，且結(jié)論的得出因前期的探究而達到了水到渠成的效果.

【探究三：加深應(yīng)用】

如圖6所示，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，AC的中點.

思考1：四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH是菱形？

思考2：四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH是矩形？

設(shè)計意圖 本環(huán)節(jié)是中點四邊形的靈活運用，滲透了中點四邊形問題的研究方法. 基于中點四邊形的研究方法，學生很自然地想到，解決此類問題時應(yīng)先從圖形的重要元素——邊和角入手. 有了中點四邊形的研究方法作指導，學生很輕松地便找到了本題的突破口.

【歸納總結(jié)】

師：通過本節(jié)課的學習，同學們對中點四邊形都有哪些認識呢？我們探究中點四邊形的相關(guān)知識時用了什么研究方法呢？

（學生談?wù)撌斋@，歸納總結(jié)了本節(jié)課所用到的研究方法，即畫圖、觀察、猜測、驗證、歸納及逆向思維）

設(shè)計意圖 課堂小結(jié)環(huán)節(jié)歸納了當堂知識點，不僅突出了課堂知識點的總結(jié)，更注重學習方法、學習經(jīng)驗的總結(jié). 知識僅僅是學習的載體，方法和經(jīng)驗的總結(jié)更為重要，因為它們能為以后的學習積累數(shù)學學習方法.

教學思考

本節(jié)課教學始終緊扣學生的思維特征，每一個教學環(huán)節(jié)的設(shè)計都基于深入研究學生的活動及學生的思維特征. 數(shù)學探究課是一種實用型的學習方式，學生通過觀察、猜想、驗證的過程獲得數(shù)學知識，從而提高思維能力，積累學習數(shù)學的經(jīng)驗，增強應(yīng)用數(shù)學的意識. 一節(jié)優(yōu)秀的探究課的教學設(shè)計，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學思維，能提高學生的數(shù)學素養(yǎng). 基于本課的教學設(shè)計，筆者有如下幾點思考.

1. 探究課的教學設(shè)計，要打破慣性思維，突出探究課的本質(zhì)

本節(jié)課的教學內(nèi)容不由單獨的章節(jié)呈現(xiàn)，而是學習了三角形中位線定理后一道例題的拓展內(nèi)容. 很多教輔用書的教學設(shè)計都是從特殊四邊形的中點四邊形入手，讓學生通過觀察、猜想、驗證，得出平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的中點四邊形的形狀，總結(jié)規(guī)律，得出結(jié)論，即由“特殊”到“一般”的思維模式. 本課教學設(shè)計打破了固有的慣性思維，由任意四邊形入手，逐步變換條件，通過變換對角線之間的關(guān)系，層層推進，步步為營，感知中點四邊形的形狀與原四邊形對角線之間的關(guān)系，即開啟了由“一般”到“特殊”的思維模式.

2. 巧設(shè)探究條件，關(guān)注高階思維發(fā)展

探究課更注重學生的獨立思維，可以說沒有獨立的數(shù)學思維不能稱之為數(shù)學學習. 高階思維不單單關(guān)注學生的知識獲得，更關(guān)注學生獲取知識的過程. 本節(jié)課的教學，是在學生掌握了特殊四邊形的性質(zhì)和判定的基礎(chǔ)上，且具備了三角形中位線定理的知識儲備下進行的，課前先設(shè)置三個鋪墊性問題，即與中點三角形相關(guān)的問題. 新課的探究設(shè)置了三個前置探究性問題：任意四邊形、對角線相等的四邊形、對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形形狀的探究，由此過渡到對平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的中點四邊形的研究，進而引發(fā)學生思考：若中點四邊形是矩形、菱形時，原四邊形應(yīng)具備什么條件？學生在已有知識和學習經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，逆向思考，對問題進行深入剖析，由此得出中點四邊形為菱形、矩形時，只需分別具備一組鄰邊相等、有一個角為直角的平行四邊形即可，從而推導出原四邊形必須分別滿足對角線相等和對角線互相垂直的結(jié)論. 從結(jié)論逆推條件，學生實現(xiàn)了思維的跨越. 整個過程的設(shè)計，“鋪墊性問題—前置探究性問題—逆向思維問題”一氣呵成，學生的知識獲取水到渠成. 通過問題的設(shè)置、問題的解決，學生的理性思維得到了培養(yǎng).

3. 用“特殊”鋪路，訓練學生的數(shù)學思維，提升學生的數(shù)學表達能力

教學方法的新一輪革新，說到底，核心就是如何在學習中融入問題解決成分，即如何訓練學生的數(shù)學思維. 探究課的實質(zhì)是通過觀察、猜想、驗證發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論，從而獲得思維的突破與提升，因此，優(yōu)質(zhì)的探究課可大大提高課堂中問題解決的成分. 本節(jié)課在“探究一：任意四邊形的中點四邊形”環(huán)節(jié)末尾讓學生思考“對角線相等”“對角線互相垂直”時中點四邊形的形狀，從而自然過渡到“探究二：特殊四邊形的中點四邊形”. 在“探究二：特殊四邊形的中點四邊形”環(huán)節(jié)，學生小組討論并完成了相關(guān)的證明過程. 學生親身經(jīng)歷了數(shù)學知識的探究與發(fā)現(xiàn)過程，使所得數(shù)學知識自然融入自己的知識結(jié)構(gòu)之中；由一般到特殊的數(shù)學思維方式也為學生的思維提升鋪設(shè)了道路，既能激發(fā)學生學習的原動力，又能促進學生對知識的理解. 此外，證明方法的多樣性，不僅有效訓練了學生的思維，還大大提高了學生的數(shù)學表達能力.

探究課的設(shè)計既是一個不斷優(yōu)化的過程，又是教師教學過程中教學行為不斷調(diào)整和改進的過程. 探究課的設(shè)計不但要有利于培養(yǎng)學生的自主學習意識，激發(fā)學生的探究興趣，而且要注重學生學習方法的培養(yǎng). 教育是一門藝術(shù)，更確切地說，是一門融智慧于一體的藝術(shù). 因此，教師要在不斷的反思中改進，在不斷的改進中完善.