江蘇省蘇州市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué) 鄧志敏 江蘇省蘇州市桃塢高級(jí)中學(xué) 繆詣欣

1 對(duì)教材意義的認(rèn)識(shí)

“簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題”是數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用的典范,是培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！彼枷牒湍芰Φ闹匾硐胨夭?對(duì)于高中學(xué)子而言,簡(jiǎn)單的二元變量線性規(guī)劃問(wèn)題貼近生活實(shí)際,讓他們覺得數(shù)學(xué)“并不遙遠(yuǎn)”.而且,高中階段“線性規(guī)劃”問(wèn)題一般涉及在一定條件下合理配置資源,為使某種目的達(dá)到最佳,統(tǒng)籌人力、物力等作出最優(yōu)決策而提供數(shù)學(xué)解決依據(jù).因此,該學(xué)習(xí)內(nèi)容能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的積極性,并在問(wèn)題解決中獲得“成功體驗(yàn)”.該內(nèi)容能進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)“函數(shù)”的理解,多角度鍛煉學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”能力,培養(yǎng)學(xué)生“應(yīng)用數(shù)學(xué)”意識(shí),是增強(qiáng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題能力的良好載體[1].

2 問(wèn)題的提出、解決及結(jié)論的推廣

2.1 問(wèn)題的提出

關(guān)于二元一次不等式(組)所表示的平面區(qū)域的確定,以Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,A2+B2≠0為例,一般有以下三種方法:

(1)取點(diǎn)判別法:直線定邊界,一點(diǎn)定區(qū)域,“合則在,不合則不在”.

(2)B符號(hào)判別法:直線定邊界,符號(hào)定區(qū)域,“同上異下”.

(3)A符號(hào)判別法:直線定邊界,符號(hào)定區(qū)域,“同右異左”.

其中后兩種判別法具體敘述如下:已知二元一次函數(shù)f(x,y)=Ax+By+C(A2+B2≠0).

①B符號(hào)判別法:若B≠0,則有點(diǎn)P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0上方?B與f(x1,y1)同號(hào);點(diǎn)P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0下方?B與f(x1,y1)異號(hào).

②A符號(hào)判別法:若A≠0,則有點(diǎn)P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0右側(cè)?A與f(x1,y1)同號(hào);點(diǎn)P1(x1,y1)在直線Ax+By+C=0左側(cè)?A與f(x1,y1)異號(hào).

良好的教學(xué)載體往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想和深刻的教育內(nèi)涵.筆者對(duì)這部分內(nèi)容作了一些研究,在研究和教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中一直思索如下三個(gè)問(wèn)題:一是哪種方法更貼近學(xué)生實(shí)際?二是怎樣揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的思維,培養(yǎng)學(xué)生能力?三是怎樣讓學(xué)生快速、有效記憶數(shù)學(xué)知識(shí)和結(jié)論,以達(dá)到切實(shí)理解和準(zhǔn)確運(yùn)用?

2.2 問(wèn)題的解決

方法：左右側(cè)判定法.

背景:在平面直角坐標(biāo)系中,一旦直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的位置確定,則直線把平面區(qū)域分為“左上、右下”和“左下、右上”兩大類情況,如圖1、圖2.

圖1

圖2

結(jié)論1對(duì)于二元一次不等式Ax+By+C>0或Ax+By+C<0(A2+B2≠0),若A>0,則有:

不等式Ax+By+C<0表示的區(qū)域,在直線Ax+By+C=0的“左側(cè)”(含左上、左下);

不等式Ax+By+C>0表示的區(qū)域,在直線Ax+By+C=0的“右側(cè)”(含右上、右下).

背誦口訣:(在A>0的前提下)不等號(hào)小于零,區(qū)域在直線左側(cè);不等號(hào)大于零,區(qū)域在直線右側(cè).簡(jiǎn)稱“左小右大”!

證明及思維引導(dǎo)(以斜率為正的情況為例):

設(shè)f(x,y)=Ax+By+C(A2+B2≠0).

(1)在直線左側(cè)任取一點(diǎn)P1(x1,y1),則它離直線“有一小段距離”,想一想怎樣才能“刻畫或計(jì)算”這個(gè)距離?

(2)引導(dǎo)學(xué)生作直線y=y1交直線l于點(diǎn)P0,設(shè)P0的坐標(biāo)為(x0,y1),如圖3,則“距離”可以考慮用與“x1-x0”相關(guān)的式子來(lái)表示.

圖3

(3)進(jìn)一步思考,怎樣計(jì)算能夠出現(xiàn)“x1-x0”?

(4)由P0(x0,y1)在直線l上,則f(x0,y1)=0.

考慮f(x1,y1)=f(x1,y1)-f(x0,y1)=(Ax1+By1+C)—(Ax0+By1+C)=A(x1-x0).

因?yàn)镻1(x1,y1)在直線l左側(cè),所以x1-x0<0,而A>0,則f(x1,y1)-f(x0,y1)<0,故f(x1,y1)<0,即直線左側(cè)區(qū)域的點(diǎn)(x,y)必滿足Ax+By+C<0.

因此A>0時(shí),不等式Ax+By+C<0表示的區(qū)域在直線Ax+By+C=0的“左側(cè)”.

同理,若在直線右側(cè)取點(diǎn),則x1-x0>0,由A>0,得f(x1,y1)-f(x0,y1)>0,故f(x1,y1)>0,即直線右側(cè)區(qū)域的點(diǎn)(x,y)必滿足Ax+By+C>0.

因此當(dāng)A>0時(shí),不等式Ax+By+C>0表示的區(qū)域在直線Ax+By+C=0的“右側(cè)”.

2.3 結(jié)論的推廣

根據(jù)結(jié)論1不難得出直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)的值符號(hào)相同,異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)值符號(hào)相反,于是有如下結(jié)論:

結(jié)論2已知二元一次函數(shù)f(x,y)=Ax+By+C(A2+B2≠0),則有:

①點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線Ax+By+C=0同側(cè)?f(x1,y1)·f(x2,y2)>0;

②點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線Ax+By+C=0異側(cè)?f(x1,y1)·f(x2,y2)<0.

證明略,可以留作學(xué)生思考.相信在結(jié)論1的基礎(chǔ)上,結(jié)論2很容易被學(xué)生接受.

3 方法對(duì)比和體會(huì)

“取點(diǎn)判別法”,即取特殊點(diǎn),計(jì)算函數(shù)值,判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系再確定平面區(qū)域.而“A,B符號(hào)判別法”需由A(或B)的符號(hào)與不等式的符號(hào)的異同來(lái)確定平面區(qū)域,其口訣“同上異下”“同右異左”的理解具有一定的難度.

相比之下,筆者認(rèn)為“左右側(cè)判定法”是對(duì)“A符號(hào)判定法”的深化和進(jìn)一步簡(jiǎn)便,優(yōu)勢(shì)在于:

(1)從根本上避免了“取點(diǎn)判別法”和“A,B符號(hào)判別法”中代入求f(x1,y1)的計(jì)算過(guò)程;

(2)先將不等式(或直線)的系數(shù)A化為“正”,符合直線的“一般式方程”系數(shù)A為正的要求,以及學(xué)生的一般思維習(xí)慣;

(3)對(duì)于給定的二元一次不等式(組),要快速判定相關(guān)區(qū)域得到線性規(guī)劃問(wèn)題的“可行域”只需兩步:①在坐標(biāo)系中快速畫出直線Ax+By+C=0(A2+B2≠0).②依據(jù)結(jié)論1的口訣“左小右大”,快速確定相關(guān)區(qū)域.

4 運(yùn)用舉例

解：在坐標(biāo)系中分別作出兩條直線(如圖4),則x-3y+6<0表示的平面區(qū)域在直線x-3y+6=0(虛線)左上側(cè),x-y+2≥0表示的區(qū)域在直線x-y+2=0(實(shí)線)的右下側(cè),故可行域應(yīng)是圖中的陰影區(qū)域,且兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2).

圖4

設(shè)z=2x+y,得y=-2x+z,當(dāng)斜率為-2的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)時(shí),縱截距z最小,且zmin=2×0+2=2.

故2x+y的取值范圍是(2,+∞).