浙江省杭州市余杭高級(jí)中學(xué) 林 威

普通高中教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出:“教學(xué)中,教師需根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況與教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn),設(shè)計(jì)逐層深入的問題,激起學(xué)生的認(rèn)知沖突,產(chǎn)生探究行為.”可見,問題是引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生探究意識(shí)的基礎(chǔ),探究意識(shí)往往萌生于問題的提出,隨著問題的引導(dǎo),學(xué)生會(huì)不由自主地產(chǎn)生動(dòng)手、合作、探究與思考的行為.

“等比數(shù)列的應(yīng)用”對(duì)學(xué)生來說既熟悉又陌生,熟悉是因?yàn)樵谌粘Ｉ钪?常聽說的分期付款類問題與等比數(shù)列的應(yīng)用有著密切的聯(lián)系;陌生是因?yàn)殡m然聽說,卻不太清楚其具體內(nèi)容與計(jì)算規(guī)則.為了有效地激發(fā)學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的探究興趣,筆者以一道例題教學(xué)為例,具體談?wù)勅绾卫脝栴}來引領(lǐng)探究,提升教學(xué)價(jià)值.

1 教學(xué)過程

問題情境小剛爸爸在九年前買了一套萬科的住房,當(dāng)時(shí)跟農(nóng)業(yè)銀行貸款10萬元,期限為10年,當(dāng)時(shí)的月利率只有0.2%,小剛爸爸選擇了等額均還的還款方式,即從放款月起,每個(gè)月還款金額相同,復(fù)利計(jì)算,第120個(gè)月還清所有的本金加利息.請(qǐng)你算算,這些年,小剛爸爸每個(gè)月還多少錢?

分析：這是一個(gè)生活中常見的問題,很多學(xué)生家長都在還房貸,但鮮少有學(xué)生知道家長具體貸款金額、貸款時(shí)限,以及每月還款數(shù)額.教師將這個(gè)常見的生活問題搬到課堂中,不僅增加了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究興趣,還有效地提高了學(xué)生的生活能力,為增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).

師:隨著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,房貸、車貸等分期付款成了受大眾認(rèn)可的一種消費(fèi)方式,這種消費(fèi)形式具有什么特點(diǎn)呢?分期付款的每一期該支付多少錢呢?這是我們本節(jié)課將要探討的問題.

設(shè)計(jì)意圖：從問題的提出到教師的陳述,學(xué)生很快就明確了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),同時(shí)也對(duì)這個(gè)問題情境產(chǎn)生了探究欲.

問題1請(qǐng)大家說說對(duì)“等額均還”的理解.

生1:就是每一期所還款的金額相等.

問題2這里涉及到“均還”這個(gè)詞,你們對(duì)該詞是怎么理解的?

生2:應(yīng)該是所貸款的本金,加上利息的總和,再除以待歸還的總期數(shù),就是每一期要還款的數(shù)額.

問題3大家算算,若貸款p萬元,貸款10年,所產(chǎn)生的利息加上本金,一共是多少?(月利率為r.)

(獨(dú)立思考+小組合作學(xué)習(xí))

學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上,展開小組合作,并獲得以下結(jié)論(見表1).

表1

問題4如果我們是消費(fèi)者,看看這種還款方式合理嗎?說說你們的理由.

設(shè)計(jì)意圖：此問的提出是為了激起學(xué)生的認(rèn)知沖突,讓學(xué)生對(duì)此產(chǎn)生思考,引導(dǎo)學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上進(jìn)行合作交流,以對(duì)知識(shí)產(chǎn)生更加深刻的認(rèn)識(shí).

生3:這種情況下要是提前還款,付給銀行的利息就多了.

生4:對(duì)呀!按照常理來說,提前還款利息應(yīng)該也相應(yīng)的減少.

生5:將貸款本金加上所有利息,再除以還款期數(shù),對(duì)消費(fèi)者來說,一點(diǎn)都不劃算.

師:你們分析得有點(diǎn)道理.

問題5如果每個(gè)月存進(jìn)銀行的還款金額為x萬元,貸款到期一共打給銀行多少萬元?

依然運(yùn)用獨(dú)立思考與合作交流相結(jié)合的方式進(jìn)行探究.經(jīng)討論,學(xué)生獲得以下結(jié)論(見表2).

表2

設(shè)計(jì)意圖：此問題與之前所呈現(xiàn)的“本利和”的問題高度相似,本利到底是表格的最后一項(xiàng)還是所有項(xiàng)之和呢?

筆者依然選擇讓學(xué)生采用自主辨析、討論的模式去探究.結(jié)果為“所有項(xiàng)之和”勝出.

問題6觀察表1和表2,我們一起來分析下貸款到期時(shí)所還的本利,與每個(gè)月進(jìn)行還款直到到期還清所產(chǎn)生的本利之間的關(guān)系.

隨著問題的逐層深入,學(xué)生的思維越來越清晰.筆者還沒開口,有一部分學(xué)生就猜想出教師接下來會(huì)問什么問題了.

問題7小剛爸爸每個(gè)月需要向銀行還款的金額是多少?

根據(jù)以上分析結(jié)論,學(xué)生很快就列出以下式子,并得出如下解答.

解：假設(shè)小剛爸爸每個(gè)月的還款金額為x萬元,則可列式為10(0.2%+1)120=x(0.2%+1)119+x(0.2+1)118+……+x,解得x≈0.093 815,即每個(gè)月還款金額為938.15元.

為了幫助學(xué)生理清思路,筆者帶領(lǐng)學(xué)生一起總結(jié)這種分期還款的特征,作以下提示:①還款利息按照復(fù)利的方式計(jì)算;②每一期支付給銀行的還款金額是相等的;③在此過程中,每期所支付的還款與貸款都會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的利息;④到期的本息之和與各期所還款直到還清時(shí)的本息之和相等.

隨著教師的引導(dǎo),學(xué)生快速建立了相應(yīng)的知識(shí)體系,并找出了其中蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律.

問題8假設(shè)貸款金額為a元,貸款期數(shù)為m個(gè)月,月利率是r,采用等額均還的還款方式,每個(gè)月需還款的金額是多少?

這是典型的知識(shí)遷移,即引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)分期付款的特點(diǎn),進(jìn)行規(guī)律的探索.

因?yàn)橛星懊媲榫硢栴}的探究過程作為鋪墊,學(xué)生在解決此問時(shí),又快又準(zhǔn).此時(shí),教師可趁熱打鐵,提出:談?wù)勀銈冊(cè)诒竟?jié)課的收獲.

設(shè)計(jì)意圖：此問的提出是為了培養(yǎng)學(xué)生的反思能力,良好的反思習(xí)慣能讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的道路上更加順暢.大部分學(xué)生在反思中,談到了自己在知識(shí)上的收獲,同時(shí)肯定了這部分知識(shí)對(duì)生活的幫助.通過反思,再次強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)與生活是相輔相成、互相促進(jìn)的關(guān)系.

通過一個(gè)個(gè)問題的引導(dǎo),學(xué)生親歷觀察與探索的模式,在合作交流中突破了本節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn).這種問題引領(lǐng)探究的教學(xué)過程,不僅符合學(xué)生心理發(fā)展的規(guī)律,帶給學(xué)生因自主探究而獲得成功的愉悅感,還能有效地增強(qiáng)學(xué)生的自信心,獲得更多的學(xué)習(xí)興趣與動(dòng)力.

2 教學(xué)感悟

2.1 遵循思維發(fā)展規(guī)律,循序漸進(jìn)積極引導(dǎo)

縱觀本節(jié)課的教學(xué)過程,獨(dú)立思考、合作交流以及自主探究貫穿于課堂始終,學(xué)生的思維隨著一個(gè)個(gè)問題的引領(lǐng),拾級(jí)而上,呈螺旋狀上升.此教學(xué)過程告訴我們,學(xué)生的思維需要的是點(diǎn)撥與引導(dǎo),絕非控制.學(xué)生作為具有獨(dú)立思維的個(gè)體,需要教師給予更多的鼓勵(lì)與引導(dǎo),以及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題、自我矯正,獲得進(jìn)步.

2.2 把握合作交流時(shí)機(jī),提升課堂教學(xué)價(jià)值

合作交流是培養(yǎng)學(xué)生參與、合作與競爭的重要手段,學(xué)生在和諧的氛圍中,共同探討、交流,不僅能查漏補(bǔ)缺,發(fā)現(xiàn)自我認(rèn)知的不足,還能形成良好的思維品質(zhì)與人際關(guān)系[3].因此,精心設(shè)計(jì)問題,能使得課堂教學(xué)變得更具價(jià)值,尤其是位于知識(shí)生長點(diǎn)或難點(diǎn)處的問題,能有效地激發(fā)學(xué)生的思維,讓各個(gè)層次的學(xué)生都獲得一定的提高.

總之,以問題引領(lǐng)學(xué)生產(chǎn)生探究意識(shí),形成探究行為,是促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的重要手段.提出問題的時(shí)機(jī)、質(zhì)量等,決定了探究的效果.因此,教師要盡可能地優(yōu)化教學(xué)過程,創(chuàng)設(shè)更多、更合理的問題引發(fā)學(xué)生的探究,使得每個(gè)學(xué)生都成為“五育”并舉的現(xiàn)代化人才.