浙江省杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué) 鄒泗勇 浙江省桐廬市分水高級(jí)中學(xué) 周延強(qiáng)

數(shù)學(xué)語言是以數(shù)學(xué)符號(hào)為主要表述形式,以數(shù)學(xué)公式、定理、公理等為語法規(guī)則構(gòu)成的一種科學(xué)語言,包括符號(hào)語言、圖形語言、自然語言.其中,符號(hào)語言是數(shù)學(xué)的核心語言.高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),史寧中教授更是直接指出,數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生三個(gè)方面的素養(yǎng),即“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”.

由于符號(hào)本身具有高度的抽象性和歷史跨越性,要讓學(xué)生短時(shí)間內(nèi)理解這個(gè)符號(hào)表達(dá)的意思,確實(shí)有點(diǎn)強(qiáng)人所難.因此,怎樣讓學(xué)生理解高度抽象的數(shù)學(xué)符號(hào),建構(gòu)起自己的知識(shí)體系,是擺在教師面前一個(gè)亟待解決的問題.

面對(duì)這個(gè)客觀存在的事實(shí),教師應(yīng)該多渠道、多手段地運(yùn)用一些載體,用生動(dòng)、形象的語言進(jìn)行講解,幫助他們掌握基礎(chǔ)知識(shí),增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣.為此,我們?cè)诮虒W(xué)中用一種更加直觀、更加貼近生活的語言(我們姑且稱之為“生活語言”)幫助學(xué)生輕松理解數(shù)學(xué)符號(hào)的含義,搞清問題的本質(zhì),牢固掌握解題方法.

1 在“三個(gè)二次”的教學(xué)中用“海平面”代替x軸

新教材在“一元二次函數(shù)、方程和不等式”這章把三個(gè)二次放在一起,是為了讓學(xué)生形成一個(gè)完整概念.但是,農(nóng)村中學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生(這樣的學(xué)生占比很高),很難具備統(tǒng)一看待三者的能力,特別是一元二次不等式和一元二次方程,受初中數(shù)學(xué)思維定式的影響,他們不理解y>0到底是哪一部分,不知道把“縱”的性質(zhì)(y>0)轉(zhuǎn)化為“橫”的關(guān)系(與根的關(guān)系),分不清為什么y>0與方程的根有關(guān),很難形成一種x與y的關(guān)聯(lián)認(rèn)知.在這里,引進(jìn)一些生活語言,卻很容易化解這個(gè)問題.

筆者在“三個(gè)二次”的教學(xué)中,在描點(diǎn)畫二次函數(shù)的圖象時(shí),特別把坐標(biāo)系的x軸畫成了海平面.如圖1,海平面以上,就是見得到陽光的部分,見得到陽光就是有正能量,就是y是正的部分,即y>0的部分;海平面以下見不到陽光,就是陰暗部分,就是負(fù)面部分,即y<0的部分.出入海平面的位置就是方程的根.這樣,通過一個(gè)生活概念,把找橫坐標(biāo)變成一個(gè)生活中的找位置問題,學(xué)生很容易把方程的根和不等式的解集聯(lián)系起來.這樣的生活語言,貼近學(xué)生的生活實(shí)際,容易從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”去講解好“三個(gè)二次”的關(guān)系.

圖1

2 運(yùn)用方框求解函數(shù)的定義域、解析式

A.[-1,2 021] B.[-1,1)∪(1,2 021]

C.[0,2 022] D.[-1,1)∪(1,2 022]

這個(gè)題目,在農(nóng)村中學(xué),如果沒有恰當(dāng)?shù)摹爸v法”,也許學(xué)生會(huì)被你越說越糊涂,甚至你怎么說學(xué)生也不理解.要讓學(xué)生聽明白這個(gè)題目,可以利用一些生活語言,抓住如下兩個(gè)關(guān)鍵:

(1)定義域是針對(duì)x的,不是針對(duì)f;

故選答案:D.

函數(shù)的定義域抽象性很高,學(xué)生理解不易,而通過引進(jìn)“方框”,學(xué)生理解起來就簡(jiǎn)單多了.

(2)若f(f(m))≤2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

本例對(duì)于農(nóng)村中學(xué)普高的高一學(xué)生還是有難度的.在講解時(shí),可以順著分段函數(shù)的特點(diǎn),每段都是一個(gè)小函數(shù),把題目分解開來講解.

圖2

圖3

圖4

圖5

方框的本質(zhì)是換元,但它理解起來比換元直觀,因?yàn)樗梢园褤Q元的思想直接變成填空.這樣,學(xué)生理解起來就比較容易,否則就很難達(dá)到方框所帶來的效果.

例3已知f(x)=x2+2x+a,求使f(f(x))>0恒成立的實(shí)數(shù)a的范圍.

即f(x)>0在x∈[a-1,+∞)時(shí)恒成立.

3 用滾球的方法解決單調(diào)性問題

分析：此題不僅要滿足第一段與第二段都是增函數(shù),還要滿足第二段的左端點(diǎn)低于第一段的右端點(diǎn).

由第一段單調(diào)遞增,可得對(duì)稱軸x=a≥1.

對(duì)于“左端點(diǎn)低于右端點(diǎn)”,學(xué)生不易理解.學(xué)生很難從上下分段轉(zhuǎn)化到左右關(guān)系.此時(shí),若說成讓一個(gè)小球能從右邊順利地滾下,就是增函數(shù),化符號(hào)為位置,學(xué)生就能自然理解“左端點(diǎn)低于右端點(diǎn)”所表達(dá)的意思,如圖6.

圖6

所以-1+2a≤(2a-1)-3a+6,解得a≤2.

綜上,可得1≤a≤2.故選:B.

農(nóng)村中學(xué)的普高學(xué)生,經(jīng)過層層選拔,剩下的生源學(xué)習(xí)習(xí)慣差,基礎(chǔ)薄弱,聽課效率低下,理解能力弱,有些中考只能考50～60分.面對(duì)這樣的生源,作為教師,對(duì)有些概念的教學(xué)也必須獨(dú)辟蹊徑,闖出一條路來.用上一些恰當(dāng)?shù)摹吧钫Z言”,就能夠化繁為簡(jiǎn),化抽象為具體,讓學(xué)生很容易轉(zhuǎn)換維度理解,相對(duì)輕松地完成教學(xué)任務(wù).當(dāng)然,生活語言有一定的不嚴(yán)謹(jǐn)性,作為教師要清楚這一點(diǎn),時(shí)機(jī)成熟時(shí)一定要轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)符號(hào)語言.