安徽省宿城第一中學(xué) 余 磊 安徽省蚌埠第五中學(xué) 楊明正

在高三進行不等式專題復(fù)習(xí)教學(xué)的時候,因為一個學(xué)生的意外發(fā)言,打亂了筆者先前設(shè)計的教學(xué)思路,教學(xué)也因此“誤入歧途”,好在通過師生的共同努力最終“柳暗花明”,同時收獲了很多美好.這是一次難忘的經(jīng)歷,于是決定整理出來與大家分享.

1 生成背景

復(fù)習(xí)比較大小問題時,給出了如下例題:

A.M=NB.MN

設(shè)計目的：復(fù)習(xí)比較大小的常用方法,如作差法、作商法、單調(diào)性法和特殊值驗證法.通過此題掌握解決比較大小問題的常用方法.

預(yù)設(shè):大部分學(xué)生會采用作差法解答,考慮到小題小做,也應(yīng)該會有學(xué)生取特殊值驗證快速解決.(此處作差法解答過程略,運算量偏大.)

生成:筆者正要準(zhǔn)備復(fù)習(xí)下一個問題的時候,學(xué)生1舉手說他可以提供一種新的解決辦法.過程如下:

所以答案為選項B.

2 問題探源

學(xué)生1解釋說這一步用到了“糖水不等式”的知識,以前老師在教學(xué)這個知識點的時候,他覺得“糖水不等式”非常有意思,曾經(jīng)特別關(guān)注過,所以印象深刻,并且知道在課本里的具體位置.

(1)出處

人教普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書A版(2019年)數(shù)學(xué)必修一第43頁有這樣一道課后練習(xí)題:已知bg糖水含有ag糖(b>a>0),再添加mg糖(m>0)(假設(shè)全部溶解),糖水變甜了,請將這一事實表示為一個不等式,并證明這個不等式成立.

(2)證法

教師:大家還知道怎么證明此不等式嗎?

學(xué)生2:此不等式的證明其實也就是不等號兩邊比較大小的問題,作差法可以解決.

學(xué)生3:作商法也可以.

教師:其實關(guān)于此不等式的證明方法有很多種,每種方法都蘊含有豐富的數(shù)學(xué)思想方法,大家課后去研究、收集和整理,老師也給大家提供一些資料供參考[1],另擇時間一起分享交流.

(3)探究

其實這個簡單而平凡的不等式有著廣泛的應(yīng)用,在高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、高校自主招生考試及高考試題中,可以找到不少它的身影,所以決定臨時改變先前的復(fù)習(xí)計劃,就“糖水不等式”進行重點挖掘和講解.筆者從題庫里挑選了兩道題與學(xué)生一起探究:

探究1(2020年全國卷Ⅲ,12)已知55<84,134<85.設(shè)a=log53,b=log85,c=log138,則( ).

A.a

C.b

學(xué)生1:“糖水不等式”是分式的形式,所以我們要把題中的a,b,c通過換底公式轉(zhuǎn)化成分式形式.

在學(xué)生1的思路導(dǎo)引下,學(xué)生先在草稿紙上嘗試解答.1分鐘不到還是學(xué)生1搶先舉手說選A.(接下來學(xué)生1口述,老師板書.)

學(xué)生1:先來比較a與b的大小.

同理,再來比較b與c的大小:

學(xué)生1既尷尬又困惑.其他學(xué)生也陷入沉思,難道此法解決不了此題?

片刻之后,有三位學(xué)生舉手,筆者隨機請學(xué)生4來發(fā)表觀點.

學(xué)生4:可以嘗試比較a與c的大小.

學(xué)生4還說:比較大小不要盲目比較,要注意選項的設(shè)置.當(dāng)a

反觀以上過程,本題利用“糖水不等式”來比較大小,起到了出奇制勝的效果,甚至連題目中的已知條件都沒有用到就把題目解決了.學(xué)生都覺得解法非常巧妙,“糖水不等式”很不簡單,功能強大.

探究2證明:logn(n+1)>logn+1(n+2)(n>1且n∈N).

有了探究1的經(jīng)驗,學(xué)生很快就有了本題的思路.

學(xué)生5的證明:

正當(dāng)準(zhǔn)備進行課時小結(jié)和布置作業(yè)的時候,還是學(xué)生1提出:我覺得這個不等式的結(jié)構(gòu)很有特點,與“糖水不等式”有相似之處,但是又說不清道不明.“糖水不等式”是分式的分子分母同時加一個正數(shù),而這個不等式的右邊相對于左邊是對數(shù)的真數(shù)和底數(shù)同時加了一個數(shù)1,它們之間有點說不清楚的關(guān)聯(lián),可以稱之為“對數(shù)糖水不等式”嗎?

此時下課鈴響起,筆者覺得學(xué)生1非常有靈感,順著他的思路提出:如果對數(shù)的真數(shù)和底數(shù)同時加的不是1而是其他的一個正數(shù)呢?就是說不等式logn(n+1)>logn+k((n+1+k)(n>1且n∈N,k>0)是否成立?若成立,寫出證明過程,并嘗試推廣.這也是今天的家庭作業(yè).

3 靈活運用

學(xué)生的付出肯定會有回報.有了上面的心路歷程,學(xué)生對“糖水不等式”的理解更加深刻,不再是簡單的記公式,很多學(xué)生已經(jīng)能靈活運用了.在緊接下來的幾次模擬練習(xí)和考試中,得到了很好的印證.

(1)(2022年河南省普通高中畢業(yè)班高考適應(yīng)性測試理科卷,11)已知a=log32,b=log115,c=lg 4.則a,b,c的大小關(guān)系是( ).

A.a

C.c

評注：本題涉及對數(shù)的運算法則和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等知識,考查了運算求解能力.比較a,b大小的中間量不太好找,此時學(xué)生能夠想起來運用“糖水不等式”解決,筆者非常欣慰.

(2)(“四省八?！?022屆高三第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測考試,12)若n>3且n∈N,則下列選項中正確的是( ).

A.logn(n+1)

故答案為選項C.

評注：本題考查了不等式證明的一些常用方法,如特殊值法、作差法、構(gòu)造函數(shù)法、利用基本不等式放縮法等.題雖小但考查的方法很全面,如能靈活借助“糖水不等式”的相關(guān)知識,就可輕易解決.

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.y>x>z

解析：由21y=22,20z=21,得y=log2122,z=log2021,由探究2,易知z>y.

故答案為選項B.

評注：本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化、對數(shù)值大小的比較,并構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性來解決問題,結(jié)合“對數(shù)糖水不等式”提高解題效率.

(4)〔2022屆炎德英才長郡十五校聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考(全國卷)數(shù)學(xué)文科,12〕已知a=log316,b=log25,c=log535,則a,b,c的大小關(guān)系為( ).

A.b>c>aB.a>c>b

C.b>a>cD.a>b>c

解析：因為a=2log34,b=log25=log425=2log45,由探究2,易知log34>log45>log56,所以2log34>2log45>2log56.

所以a>b>log536>c.故答案為選項D.

評注：本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)以及推理能力和計算能力,利用“糖水不等式”問題瞬間被秒殺.

4 一點啟示

不等式是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一,同時也是難點之一.不少不等式問題處理起來比較棘手,但若能巧妙運用一些著名不等式,或許可以有效地解決關(guān)鍵步驟,給人一種舉重若輕的感覺.平時不少教師對基本不等式、絕對值不等式、柯西不等式等比較重視,帶領(lǐng)學(xué)生研究的比較多,而可能忽視了對一些常規(guī)不等式的價值挖掘.通過以上對近年來的高考題和質(zhì)檢模擬題的分析,可見“糖水不等式”的使用越來越多,尤其是2022年更加頻繁,有愈演愈烈之勢,所以筆者認為,重視“糖水不等式”深層次探究和理解應(yīng)用很有必要,要引起我們一線教師的高度重視.

經(jīng)過這樣一次的復(fù)習(xí)課教學(xué),一方面學(xué)生能把數(shù)學(xué)與生活進行聯(lián)系,另一方面激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究動力,這是比知識本身更重要的東西.前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相說過:“必須重視很多習(xí)題潛在著進一步擴展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可行性.”課本的例題和習(xí)題具有很好的示范引領(lǐng)作用,它們或者是重要的結(jié)論,或者體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想方法.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)努力探究教材中的例、習(xí)題并加以延伸或拓展,激活教材例、習(xí)題,構(gòu)建深度教學(xué),幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)知識,提升數(shù)學(xué)能力,訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).當(dāng)然,探究應(yīng)結(jié)合教材的內(nèi)容和學(xué)生的實際,并在教師的啟發(fā)和指導(dǎo)下由學(xué)生討論完成.