李鈺

【摘要】數(shù)學作為高中課程體系中一門難度相對較大的科目，不僅知識學習起來比較困難，試題難度同樣有所提升，學生不僅需掌握牢固的理論知識，還需學會運用一些特殊的解題方法，其中分類討論思想就有著廣泛運用，教師應給予高度重視與格外關注，指導他們靈活運用分類討論思想分析與解答數(shù)學試題，使其快速找到準確、完整的答案，提高解題水平.

【關鍵詞】分類討論思想；高中數(shù)學；解題訓練

數(shù)學結論的成立均有著自身的特殊條件，不同解題方法的使用范圍存在差異，有的數(shù)學問題的結論不是唯一確定的，或者難以通過統(tǒng)一的形式處理，就可用到分類討論思想.在高中數(shù)學解題訓練教學中，當遇到一些特殊試題時，教師可引導學生運用分類討論思想，讓他們根據(jù)問題特征和要求進行類別劃分，拆解成若干個小問題，使其分類討論后求得結果.

1 分類討論思想在集合類試題中的實踐運用

集合屬于高中數(shù)學課程中的接觸知識，熱門考點是集合與元素的關系，多個集合之間關系，以及含有參數(shù)的集合問題等，因為在一道試題中往往會出現(xiàn)多種不一樣的情況，當處理部分特殊的集合題目時，教師要求學生以認真閱讀題目內容、精準理解題意為基礎，按照具體要求進行分類討論，使其根據(jù)統(tǒng)一標準逐個處理，讓他們綜合整理求得獲得完整結果［1］.

例1 已知集合A={x|－2≤x≤a}，集合B={y|y=2x+3，x∈A}，集合C={z|z=x2，x∈A}，則實數(shù)a的取值范圍是什么？

分析 通過對這三個集合的認真觀察，當－2≤x≤a時，z=x2的范圍同實數(shù)a的正負號均有關系，因此需對a的值進行分類討論，由此準確找到a的取值范圍.

解 由集合A={x|－2≤x≤a}能夠得到集B={y|y=2x+3，x∈A}＝{y|－1≤y≤2a+3}，接著分類討論a的值，（1）當－2≤a≤0時，集合C={z|a2≤a≤4}，因為CB，所以4≤2a+3，a≥12，與－2≤a≤0存在沖突；（2）當0

2 分類討論思想在函數(shù)類試題中的實踐運用

在解答高中數(shù)學函數(shù)試題時，分類討論思想極為常用，像二次函數(shù)、分段函數(shù)、函數(shù)導數(shù)與等.高中數(shù)學教師在具體的函數(shù)解題訓練中，應帶領學生先仔細觀察與分析題干周年辦中給出的條件，假如難以使用統(tǒng)一的方式來解答，就需對研究對象展開類別劃分，使其將整個題目科學分為多個小部分，然后一個一個的解答，讓他們通過分類討論順利解答試題.

例2 已知函數(shù)f（x）=2x2－2ax+3在區(qū)間［－1，1］內有最小值，可記作g（a），請問g（a）的函數(shù)表達式是什么？

分析 解答這一函數(shù)試題時，應考慮到二次函數(shù)對稱軸所處的位置，要根據(jù)對稱軸的不同位置進行分類討論，只有這樣求出的結果才完整.

解 把原函數(shù)配方以后得到y(tǒng)=2（x－a2）2+3－a22，對稱軸方程為x=a2，此時需對該函數(shù)的對稱軸位置展開分類討論，（1）當a2≤1時，即為a≤2，函數(shù)y在區(qū)間［－1，1］內單調遞增，x=－1時y有最小值，那么g（a）=2a+5g；（2）當－1

3 分類討論思想在數(shù)列類試題中的實踐運用

在高中數(shù)學數(shù)列解題訓練中，數(shù)列周期性和等比數(shù)列求和等多種類型試題均要用到分類討論思想，教師需要引領學生巧妙采用分類討論思想，對解題思路進行優(yōu)化，從而準確精準題目類型，屬于條件劃分、集合劃分劶或概念劃分，使其清晰的將題目劃分為多種情況后展開逐個解答，幫助他們逐漸理解與掌握分類討論思想的內涵，且學會用來解答數(shù)列試題［2］.

例3 如果等比數(shù)列an的首項是正數(shù)，公比是q，前n項和是Sn，且Sn>0（n=1，2，3…）（n＝1，2，3，…），求公比q的取值范圍.

分析 解答本道題目時需對試題中可能出現(xiàn)的幾種情況展開分類討論，且根據(jù)已知條件進行分析，發(fā)現(xiàn)公比q不可能為0，但是因為沒有沒明確指出q，則要分類討論q的值.

解 結合題意可知公比q≠0，但是需對q是否是1展開分類討論，（1）當q=1時，Sn=na1>0；（2）當q≠1時，能夠得到Sn＝Sn=a1（1+qn）1－q>0，那么1－q<0，1－qn<0，其中n=1，2，3…或者1－q>0，1－qn>0，其中n=1，2，3…綜合以上式子可以確定公比q的取值范圍是（－1，0）∪（0，+∞）.

4 分類討論思想在概率類試題中的實踐運用

高中數(shù)學教師應引導學生合理使用分類討論思想解決概率類試題，使其真正了解到概率事件的集合與某件事在所有事件中發(fā)生的概率，讓他們清晰、精準分類他們完成求解.

例4 一城市正在傳遞奧運圣火，有18個競選火炬手，他們的編號分別是1，2，3…16，17，18，不過只選出3名火炬手，那么選擇火炬手的編號能形成公差是3的等差數(shù)列概率為多大？

分析 利用分類討論思想，先確定問題概型是古典概型，求出基本事件的總體情況，再根據(jù)實際要求確定火炬手，即a分別是1、2、3等時有多少種情況，將符合題意的所有情況都找出來后，列式和計算概率.

解 題目中基本事件的總種數(shù)是C318=17×16×3，確定火炬手編號為an=a1+3（n－1），然后展開分類討論，當a1=1時，編號1，4，7，10，13，16能夠組成4種選法；當a1=2時，編號2，5，8，11，14，17也能夠組成4種選法；a1=3時，編號3，6，9，12，15，18同樣能夠組成4種選法，則p=4+4+417×16×3=168.

5 分類討論思想在幾何類試題中的實踐運用

高中數(shù)學幾何試題主要包括解析幾何和立體幾何，由于幾何體往往存在著不確定性因素，教師可帶領學生使用分類討論思想分析圖像形狀與位置分布等類別問題，促使他們通過運用分類討論思想處理幾何試題，使其掌握更多解題技巧［3］.舉例略.

6 結語

在高中數(shù)學解題訓練活動中，教師應認真對待分類討論思想的具體應用，據(jù)此開設專題聯(lián)系，讓學生能夠合理確定分類標準，使其在分類討論中將復雜化的試題變得簡單化，精準把握題目的特點與本質，利用分類討論迅速求得正確大難，并促進他們思維能力的發(fā)展.

參考文獻：

［1］崔堅.分類討論思想視域下高中數(shù)學解題研究［J］.數(shù)理化解題研究，2022（36）：8-10.

［2］曾祥均.淺談分類討論思想在高中數(shù)學解題中的應用［J］.數(shù)學學習與研究，2022（32）：146-148.

［3］賀紅莉.高中數(shù)學解題策略中分類討論思想的應用研究［J］.數(shù)學學習與研究，2022（28）：119-121.