劉曉蘇

摘 要：以高中數(shù)學(xué)“數(shù)學(xué)抽象”核心素養(yǎng)為背景，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)在實(shí)際教學(xué)工作中，嘗試通過(guò)多種途徑和手段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力。文章以《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017年版2020年修訂，以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）對(duì)數(shù)學(xué)抽象的描述為依據(jù)，分析蘇教版高中數(shù)學(xué)教材（以下簡(jiǎn)稱(chēng)蘇教版教材）中的數(shù)學(xué)抽象，提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力的具體方法。文章還以蘇教版教材為例，圍繞所提出方法列舉實(shí)例，意在與一線教師充分交流經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)抽象；思維能力

數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象思維培養(yǎng)具有重要意義。新課標(biāo)將高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)劃分為六個(gè)部分，數(shù)學(xué)抽象便是其中之一。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)抽象的基本內(nèi)涵與價(jià)值，進(jìn)而在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力展開(kāi)積極培養(yǎng)。蘇教版教材被廣泛應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)，其內(nèi)容對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力起著重要的幫助作用。下面將以其為例，通過(guò)案例分析探究高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力的具體方法。

一、數(shù)學(xué)抽象思維能力

《課標(biāo)》指出：數(shù)學(xué)抽象是指通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系與空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng)。數(shù)學(xué)抽象思維能力，是在數(shù)學(xué)抽象基礎(chǔ)上形成的一種思維能力，包括“從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念”“從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律”等思維能力[1]。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力，使學(xué)生能夠通過(guò)不同的事物抽象理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，是學(xué)生深刻掌握數(shù)學(xué)的必經(jīng)之路，也是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)教學(xué)的必然要求。

二、蘇教版教材中的數(shù)學(xué)抽象

數(shù)學(xué)是高度抽象的一門(mén)學(xué)科。此背景下，高中數(shù)學(xué)教材通常隱含豐富的數(shù)學(xué)抽象元素。比如：蘇教版教材高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“集合的概念與表示”“充分條件、必要條件、充要條件”“從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式”、高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“向量基本定理及其坐標(biāo)表示”“空間圖形的表面積和體積”等內(nèi)容，均隱含數(shù)學(xué)抽象元素，有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)全面開(kāi)發(fā)和應(yīng)用蘇教版教材，以便在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力的有效嘗試。

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力的方法

（一）立足核心教學(xué)內(nèi)容培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力

高中數(shù)學(xué)核心教學(xué)內(nèi)容包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)題目與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，具有不同程度的抽象性。此背景下，教師可利用高中數(shù)學(xué)核心教學(xué)內(nèi)容抽象性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力[2]。

1.數(shù)學(xué)概念：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力的起點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)規(guī)律為：引入概念、概括概念、明確概念、辨析概念、應(yīng)用概念、納入概念系統(tǒng)。其中，概括屬性、明確概念、納入概念系統(tǒng)，都與學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力的發(fā)展息息相關(guān)。教師可以將數(shù)學(xué)概念視為“起點(diǎn)”，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力。

教學(xué)案例1：蘇教版教材高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“集合的概念與表示”

教師首先通過(guò)形象的“集合”案例引入概念，帶領(lǐng)學(xué)生抽象概括數(shù)學(xué)概念。比如，教師首先為學(xué)生提供下面的“集合”案例：（1）北京、天津、上海等直轄市構(gòu)成了“中國(guó)的直轄市”這一集合。（2）元

素C、h、i、n、a能夠組成一個(gè)名為“China”的集

合。（3）1—10以?xún)?nèi)的所有質(zhì)數(shù)組成一個(gè)集合，集合應(yīng)包含2、3、5、7。其次，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察這些案例，使其發(fā)現(xiàn)案例共性，從中概括“集合”概念。

為使學(xué)生理解“集合是什么”，蘇教版教材特別針對(duì)“集合的概念與表示”教學(xué)內(nèi)容編排形象、具體的案例。教師打亂教材內(nèi)容的探究順序，以這些案例為起點(diǎn)展開(kāi)教學(xué)，讓學(xué)生從具體情境出發(fā)概括數(shù)學(xué)概念，能夠使學(xué)生在“形象比較——抽象分析和概括”的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象思維能力的有效發(fā)展。

2.數(shù)學(xué)題目：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力的重點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)題目抽象性不言而喻，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力。教師可以將例題分析視為培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力的重點(diǎn)，讓學(xué)生在由淺入深的抽象分析中提高數(shù)學(xué)抽象思維能力。

教學(xué)案例2：蘇教版教材高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式”

教師在“從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程”方面，結(jié)合教材例1培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力。第一步，教師課件呈現(xiàn)例1內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合題意與證明過(guò)程，抽象分析二次函數(shù)與一元二次方程零點(diǎn)的聯(lián)系。第二步，教師講解“從函數(shù)的觀點(diǎn)看，一元二次方程的根，就是函數(shù)值取0時(shí)函數(shù)自變量的值”等抽象的數(shù)學(xué)理論。第三步，教師使學(xué)生比較自己的結(jié)論和以上理論，讓學(xué)生繼續(xù)從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程，完善自己的觀點(diǎn)表達(dá)。

教師重視教材例題對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力的重要價(jià)值，穩(wěn)步引導(dǎo)學(xué)生抽象推理教材例題，可以重點(diǎn)發(fā)揮高中數(shù)學(xué)例題教學(xué)價(jià)值，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力的有效培養(yǎng)。

3.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力的焦點(diǎn)

實(shí)驗(yàn)作為高中數(shù)學(xué)核心教學(xué)內(nèi)容之一，能夠通過(guò)抽象計(jì)劃與實(shí)踐操作過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力。教師還可以聚焦高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，以“先抽象計(jì)劃，再實(shí)踐操作”為焦點(diǎn)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力展開(kāi)培養(yǎng)。

教學(xué)案例3：蘇教版教材高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)“雙曲線”

教師組織學(xué)生展開(kāi)“雙曲線與直線的位置關(guān)系”實(shí)驗(yàn)，進(jìn)而使學(xué)生在空間幾何關(guān)系的抽象探究中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象思維能力。具體過(guò)程中，教師使用GeoGebra幾何繪圖工具。教師提前立足智慧課堂，為學(xué)生準(zhǔn)備GeoGebra幾何繪圖軟件。課上，教師先示范幾何繪圖，通過(guò)軟件繪制與對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)圖形，為學(xué)生提供實(shí)驗(yàn)思路。緊接著，教師要求學(xué)生結(jié)合演示實(shí)驗(yàn)抽象思考實(shí)驗(yàn)計(jì)劃，假設(shè)雙曲線與直線的位置關(guān)系及其影響因素。最后，教師使學(xué)生在直線與雙曲線解析式中代入具體數(shù)字，自主繪制新的數(shù)學(xué)圖形，感受不同“數(shù)字”對(duì)雙曲線與直線位置關(guān)系的影響。

實(shí)驗(yàn)為學(xué)生提供“化抽象為形象”的探究空間，同時(shí)滿(mǎn)足學(xué)生的抽象探究需要。通過(guò)抽象計(jì)劃、形象操作以及抽象分析實(shí)驗(yàn)操作結(jié)果，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)雙曲線與直線相交、相切、相離的數(shù)學(xué)規(guī)律，而且將數(shù)學(xué)抽象思維能力提升到更高層次。

（二）利用關(guān)鍵教學(xué)過(guò)程培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力

高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程與學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展密切相關(guān)，教學(xué)過(guò)程有助于學(xué)生思維活動(dòng)，自然能在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力，反之則不然。教師也應(yīng)利用高中數(shù)學(xué)關(guān)鍵教學(xué)過(guò)程調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，培養(yǎng)其抽象思維能力[3]。而分析高中數(shù)學(xué)關(guān)鍵教學(xué)過(guò)程，其主要包括：導(dǎo)學(xué)過(guò)程、探究過(guò)程、應(yīng)用過(guò)程。

1.導(dǎo)學(xué)過(guò)程：情境培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力

某種意義上，數(shù)學(xué)的抽象性決定了高中數(shù)學(xué)教學(xué)的枯燥性，使部分學(xué)生在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中缺乏學(xué)習(xí)興趣，不利于其數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng)。而在導(dǎo)學(xué)過(guò)程中創(chuàng)設(shè)生動(dòng)情境，有助于改善此情況。高中數(shù)學(xué)教師可以借助生活元素與信息化手段，完善高中數(shù)學(xué)教學(xué)流程，發(fā)揮導(dǎo)學(xué)情境的積極作用培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力。

教學(xué)案例1：蘇教版教材高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“空間圖形的表面積和體積”

一方面，教師通過(guò)“生活中的直棱柱”情境導(dǎo)入教學(xué)。教師提前在生活中收集符合棱柱、棱錐、棱臺(tái)等空間圖形特征的實(shí)物，進(jìn)而將數(shù)學(xué)實(shí)物應(yīng)用在教學(xué)導(dǎo)入過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生圍繞實(shí)物情境想象不同空間圖形的展開(kāi)圖，鍛煉數(shù)學(xué)抽象思維能力。另一方面，教師通過(guò)信息化教學(xué)工具，向?qū)W生呈現(xiàn)不同空間圖形的3D圖，讓學(xué)生繼續(xù)觀察不同的空間圖形，想象其展開(kāi)圖與表面積、體積關(guān)系。

首先，情境具有生動(dòng)性，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，為在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維提供良好的學(xué)習(xí)心理環(huán)境。其次，想象是抽象的一種特殊形式。通過(guò)立足數(shù)學(xué)情境展開(kāi)想象，學(xué)生在生動(dòng)的數(shù)學(xué)背景下激活和運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象思維能力，可使教師有效培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象思維能力。

2.探究過(guò)程：?jiǎn)栴}培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力

思維的提升與發(fā)展，是積極思考的必然結(jié)果。由此可見(jiàn)，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力，應(yīng)給予學(xué)生充足的思考引導(dǎo)。問(wèn)題探究能夠滿(mǎn)足此要求。教師可以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)探究過(guò)程中，有意為學(xué)生提供環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題。這樣，學(xué)生全面調(diào)動(dòng)數(shù)學(xué)抽象思維探究問(wèn)題串，自然能加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)抽象思維能力的訓(xùn)練，取得一定進(jìn)步和成長(zhǎng)。

教學(xué)案例2：蘇教版教材高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)“向量應(yīng)用”

教師立足向量在物理中的應(yīng)用價(jià)值，根據(jù)學(xué)生抽象思維能力發(fā)展要求設(shè)計(jì)下面的問(wèn)題串：（1）在

一個(gè)物理情境中，存在兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力，如果當(dāng)這兩個(gè)力的夾角為90°時(shí)，合力大小為20N，那么當(dāng)這兩個(gè)力的夾角為120°時(shí)，合力大小為多少？你是怎樣計(jì)算的？（2）已知河水的流速為每秒2米，現(xiàn)有以漂浮物沿垂直于河岸的方向，以每秒10米的速度向?qū)Π镀?，則該漂浮物在靜水中的漂浮速度為多少？（3）有一艘船從南岸向北岸橫渡，測(cè)量結(jié)果表示，本日水流速度為每小時(shí)3000米，水流方向?yàn)檎龞|，風(fēng)向?yàn)楸逼?0°。受風(fēng)力影響，船在靜水中的漂行速度為每小時(shí)3000米，如果使其沿由南向北方向垂直于河岸的方向，以每小時(shí)千米的速度橫渡，則船本身的速度大小是多少？船的航行方向是哪個(gè)方向？

問(wèn)題抽象性由淺入深，符合教材編排規(guī)律以及學(xué)生在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的抽象思考規(guī)律。教師以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生，一邊提出問(wèn)題，一邊為學(xué)生點(diǎn)撥抽象思考方向，逐步使學(xué)生深化抽象思考，培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象思維能力。

3.應(yīng)用過(guò)程：作業(yè)培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力

應(yīng)用過(guò)程，也是理論實(shí)踐過(guò)程。真正具有意義的高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)實(shí)現(xiàn)“理實(shí)一體化”，這要求教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力時(shí)，既重視學(xué)生對(duì)理論的抽象分析，也關(guān)心學(xué)生在實(shí)踐應(yīng)用方面的抽象思考。而在實(shí)踐應(yīng)用方面，教師可以通過(guò)作業(yè)引導(dǎo)學(xué)生。教師可以精心設(shè)計(jì)高中數(shù)學(xué)課后作業(yè)，并且督促學(xué)生在作業(yè)方面靈活應(yīng)用所儲(chǔ)備的理論知識(shí)。學(xué)生每完成一項(xiàng)作業(yè)，都需要對(duì)作業(yè)內(nèi)容與理論知識(shí)的關(guān)系展開(kāi)抽象思考，從而繼續(xù)發(fā)展其數(shù)學(xué)抽象思維能力。

教學(xué)案例3：蘇教版教材高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)“圓與方程”

教師基于“圓的綜合應(yīng)用”教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生設(shè)計(jì)以下課后作業(yè)：截至2023年4月21日8時(shí)，2023年第1號(hào)臺(tái)風(fēng)“珊瑚”位于菲律賓馬尼拉偏東方向約3790公里的西北太平洋洋面上，中心附近最大風(fēng)力有8級(jí)（20米/秒），中心最低氣壓995百帕，七級(jí)風(fēng)圈半徑100～150公里。預(yù)計(jì)臺(tái)風(fēng)“珊瑚”將以每小時(shí)5～10公里的速度向西北方向移動(dòng)，強(qiáng)度變化不大。那么在多長(zhǎng)時(shí)間后，菲律賓馬尼拉地區(qū)會(huì)受到影響？該影響持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間？請(qǐng)以菲律賓馬尼拉為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行解答。

作業(yè)圍繞圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題展開(kāi)，屬于綜合題，具有高度抽象性，要求學(xué)生在實(shí)踐應(yīng)用過(guò)程中，首先抽象分析臺(tái)風(fēng)形成與運(yùn)動(dòng)路徑的數(shù)學(xué)特征，其次抽象分析題目?jī)?nèi)容，判斷問(wèn)題答案。教師將作業(yè)發(fā)布給學(xué)生，督促學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象思維能力完成作業(yè)，既能使學(xué)生鞏固學(xué)習(xí)內(nèi)容，又能增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力。

（三）借助自主學(xué)習(xí)模式培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象思維能力

歸根結(jié)底，學(xué)生是思維和學(xué)習(xí)的“主人”。這也說(shuō)明，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力，需要重視學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生最大限度地經(jīng)歷抽象的思維活動(dòng)過(guò)程[4]。對(duì)此，教師可以構(gòu)建自主學(xué)習(xí)模式，在課堂適度

“放手”。

例如：蘇教版教材高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)“圓與圓的位置關(guān)系”教學(xué)，基于“圓的方程”以及“直線與圓的位置關(guān)系”學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生基本能對(duì)“圓與圓的位置關(guān)系”自主展開(kāi)抽象分析。教師可以遷移任務(wù)型教學(xué)方法，設(shè)計(jì)“圓與圓的位置關(guān)系”任務(wù)型教學(xué)方案。課上，教師直接向?qū)W生出示任務(wù)要求，提示學(xué)生自主學(xué)習(xí)，抽象分析圓與圓的位置關(guān)系。課下，教師督促學(xué)生完成任務(wù)報(bào)告，使學(xué)生運(yùn)用抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言反饋?zhàn)灾鲗W(xué)習(xí)成果。

高中階段，學(xué)生已經(jīng)掌握相對(duì)豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法獨(dú)立探究問(wèn)題，同時(shí)在問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)構(gòu)建自主學(xué)習(xí)模式，為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)過(guò)程中運(yùn)用抽象思維，也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力的培養(yǎng)。學(xué)生在自主學(xué)習(xí)過(guò)程中，可以選擇始終保持獨(dú)立的抽象思考狀態(tài)，也可以自愿建立學(xué)習(xí)小組，深化數(shù)學(xué)抽象的相關(guān)交流。而無(wú)論選擇任何一種自主學(xué)習(xí)方法，學(xué)生都能在加強(qiáng)抽象思考的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。

結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)抽象是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵任務(wù)之一。文章探究高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力的方法，得出一些結(jié)論。高中數(shù)學(xué)教師可以根據(jù)蘇教版教材中的數(shù)學(xué)抽象，通過(guò)核心教學(xué)內(nèi)容、關(guān)鍵教學(xué)過(guò)程與自主學(xué)習(xí)模式培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力，促進(jìn)學(xué)生高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。其中，核心教學(xué)內(nèi)容包括數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)題目與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，關(guān)鍵教學(xué)過(guò)程包括導(dǎo)學(xué)過(guò)程、探究過(guò)程、應(yīng)用過(guò)程。

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