陳艷 郭建華

摘 要： 以2019版蘇教版必修二一道習(xí)題為例，通過(guò)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，積極探索多樣化的教學(xué)方式和多元化的學(xué)習(xí)形式，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的全面發(fā)展.

關(guān)鍵詞： 高三復(fù)習(xí)；數(shù)學(xué)探究；核心素養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開展自主探究、合作探究，并最終解決問(wèn)題的過(guò)程，是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng).特別是對(duì)于高三的數(shù)學(xué)課堂，更應(yīng)該重視數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，提升復(fù)習(xí)的質(zhì)量，落實(shí)新課程、踐行新課標(biāo)、培育學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，既重視教，更重視學(xué)，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，增強(qiáng)解決問(wèn)題的能力.

筆者在復(fù)習(xí)“解三角形”時(shí)，選擇了課本上一道習(xí)題作為探究素材，開展了一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，旨在問(wèn)題解決的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的“四基”和“四能”，增進(jìn)復(fù)習(xí)的有效性，培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí).此次活動(dòng)取得不錯(cuò)的教學(xué)效果，現(xiàn)將教學(xué)過(guò)程整理如下.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題 ??（2019版蘇教版必修二教材 P ?104復(fù)習(xí)題7） ：如圖1所示，已知∠A為定角，P，Q兩點(diǎn)分別在∠A的兩邊上，PQ為定長(zhǎng)，當(dāng)PQ處于什么位置時(shí)，△APQ面積最大？

2 教學(xué)實(shí)踐

根據(jù)自組織理論，適度開放的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)環(huán)境，將有利于“數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”的開展.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，要為學(xué)生搭建探究的平臺(tái)，讓學(xué)生的思維動(dòng)起來(lái)，讓學(xué)生真正成為建構(gòu)知識(shí)和課堂學(xué)習(xí)的主角.在遠(yuǎn)離平衡態(tài)的前提下，通過(guò)教師、學(xué)生、探究素材和方式等多維交互，讓學(xué)生完成對(duì)知識(shí)的建構(gòu)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)過(guò)程從“他組織”向“自組織”的轉(zhuǎn)變，讓學(xué)生的認(rèn)知從“無(wú)序”逐漸演變成“有序”，從而學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

2.1 解法探究

學(xué)生很容易想到利用余弦定理求解，其解法如下.

解法1： ?如圖2所示，設(shè)∠A＝α，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y(tǒng)，其中α，a為定值.

由余弦定理，得a2＝x2+y2-2xy cos ?α≥2xy-2xy cos ?α＝2xy（1- cos ?α）.

因?yàn)?- cos ?α＞0，

所以xy≤ a2 2（1- cos ?α） ，

所以S △APQ＝ 1 2 xy sin ?α≤ α2 sin ?α 4（1- cos ?α） ?＝ a2 4 tan ??α 2 ?，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取等號(hào)，

因此，當(dāng)AP＝AQ時(shí)，△APQ面積最大.

解法1利用余弦定理化角為邊，并結(jié)合基本不等式求解，解法簡(jiǎn)潔、運(yùn)算簡(jiǎn)單.

在上述解法的基礎(chǔ)上，利用正弦定理也是很自然的一種想法，其解法如下.

解法2 ?：如圖2所示，設(shè)∠A＝α，∠APQ＝β，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y(tǒng)，其中α，a為定值.

在△APQ中，由正弦定理，得 x ?sin ?（α+β） ＝ y ?sin ?β ＝ a ?sin ?α ，

即x＝ a sin ?（α+β） ?sin ?α ，y＝ a sin ?β ?sin ?α ，

所以S △APQ＝ 1 2 xy sin ?α＝ a2 sin ?（α+β） sin ?β 2 sin ?α ＝ a2 4 sin ?α ［ sin ?（2β-φ）+ cos ?α］，其中 tan ?φ＝ ?cos ?α ?sin ?α ，

當(dāng) sin ?（2β-φ）＝1時(shí)，（S △APQ） ?max ＝ α2 4 sin ?α （1+ cos ?α）＝ α2 4 tan ??α 2 ?.

解法2利用正弦定理和輔助角公式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域，是問(wèn)題求解的通性通法.

由于問(wèn)題的背景為三角形，不一定就局限于用正余弦定理求解，有的學(xué)生從平面幾何的視角求解，其解法如下.

解法3： ?如圖3所示，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥PQ于點(diǎn)B，設(shè)∠PAQ＝α，PQ＝a，∠BAQ＝β，AB＝h，其中α，a為定值.

由圖3易知，h· tan ?（α-β）+h· tan ?β＝a，即h＝ a ?tan ?（α-β）+ tan ?β ＞0，

又 tan ?α＝ ?tan （α-β）+ tan ?β 1- tan ?（α-β）· tan ?β ，

所以 tan ?α-［ tan ?（α-β）+ tan ?β］＝ tan ?α［ tan ?（α-β） tan ?β］≤ tan ?α· ［ tan ?（α-β）+ tan ?β］2 4 ，

令x＝ tan ?（α-β）+ tan ?β，

則 tan ?α·x2+4x-4 tan ?α≥0，解得x≥ 2-2 cos ?α ?sin ?α ，x≤ -2-2 cos ?α ?sin ?α （舍去），

當(dāng)x＝ 2-2 cos ?α ?sin ?α 時(shí)，h取得最大值，此時(shí)S △APQ最大，

所以（S △APQ） ?max ＝ 1 2 ah＝ 1 2 a· a ?2-2 cos ?α ?sin ?α ?＝ a2 4 tan ??α 2 ?.

解法3利用正切兩角和差公式和PQ長(zhǎng)建立方程，并借助基本不等式求解，運(yùn)算過(guò)程較為復(fù)雜.

在解法2的基礎(chǔ)上，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)該三角形的外接圓是定圓，于是利用數(shù)形結(jié)合思想求解，其解法如下.

解法4： ?設(shè)B為PQ的中點(diǎn)，O，r分別為△ABC外接圓的圓心和半徑，

令∠A＝α，PQ＝a，其中α，a為定值，則r＝ a 2 sin ?α .

如圖4所示，點(diǎn)A在優(yōu)弧PQ 上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)P，Q重合），

要使（S △APQ） ?max ，只要點(diǎn)A到直線PQ的距離h最大，

由圖4易知，h≤AB≤OA+OB，當(dāng)A，O，B三點(diǎn)共線時(shí)，h ?max ＝r+OB，

在 Rt △OPB中，OP＝r，∠OPB＝ ?π ?2 -α，故OB＝r· sin ?∠OPB＝r cos ?α，

所以h ?max ＝r+r cos ?α＝2r cos 2 ?α 2 ＝2 cos 2 ?α 2 · a 2 sin ?α ＝ a 2 tan ??α 2 ?，

所以（S △APQ） ?max ＝ 1 2 ah ?max ＝ 1 2 a· a 2 tan ??α 2 ?＝ a2 4 tan ??α 2 ?.

解法4利用幾何的方式求解，聯(lián)想三角形的外接圓，使得題目直觀形象、簡(jiǎn)單易懂，這是求解該類問(wèn)題的優(yōu)法.其實(shí)，解法4利用的是正弦定理的幾何意義，更能體現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì).

下面，從幾何的視角對(duì)該類型的問(wèn)題做如下探究.

2.2 性質(zhì)探究

在△ABC中，若∠A為定角，BC為定長(zhǎng)，由正弦定理，得 BC ?sin ?A ＝2r（r為△ABC外接圓的半徑）為定值，則點(diǎn)A在半徑為r的圓弧上運(yùn)動(dòng).引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A為銳角時(shí)，點(diǎn)A在優(yōu)弧BC 上運(yùn)動(dòng)，如圖5所示；當(dāng)A為鈍角時(shí)，點(diǎn)A在劣弧BC 上運(yùn)動(dòng)，如圖6所示.

我們不妨把上述三角形中的這類問(wèn)題稱為“定邊對(duì)定角”問(wèn)題.

根據(jù)以上分析，讓學(xué)生探究獲得如下的一般性結(jié)論：

結(jié)論1 ?： 在△ABC中，若∠A為定角α，BC為定長(zhǎng)a， 則△ABC面積的取值范圍為 0， a2 4 tan ??α 2 ??.

問(wèn)題1： ?如圖7所示，在△APQ中，∠PAQ為定角，PQ為定長(zhǎng)，△APQ的周長(zhǎng)存在最大值嗎？

分析： ?設(shè)∠A＝2β，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y(tǒng)，其中β，a為定值.

要求△APQ的周長(zhǎng)取最大值，只要求x+y取最大值.

可以利用代數(shù)的方式求解，也可以從幾何的視角思考.

如圖7所示，延長(zhǎng)PA至點(diǎn)B，使得AB＝AQ，連接BQ，

易求∠PBQ＝β，其對(duì)邊為PQ，則△BPQ在定圓O 1上，

由正弦定理，得圓O 1的半徑R＝ a 2 sin ?β ，顯然，當(dāng)PB為圓O 1的直徑時(shí)，x+y取得最大值，即（x+y） ?max ＝2R＝ a ?sin ?β ，

此時(shí)△APQ周長(zhǎng)的最大值為a+ a ?sin ?β .

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)B接近點(diǎn)Q（或點(diǎn)P）時(shí)，S △BPQ接近0，故△APQ周長(zhǎng)的取值范圍為 2a，a+ a ?sin ?β ?.

于是，得到如下更一般的結(jié)論.

結(jié)論2： ?在△ABC中，若∠A為定角2β，BC為定長(zhǎng)a，則△ABC周長(zhǎng)的取值范圍為 2a，a+ a ?sin ?β ?.

問(wèn)題2： ?如圖8所示，在△APQ中，∠A為定角，PQ為定長(zhǎng)，根據(jù)問(wèn)題1求解PA+AQ的思路，能否求解PA+kAQ（k＞0）的范圍？

解： 設(shè)∠ABQ＝β，∠A ＝α，PQ＝a，AP＝x，AQ＝y(tǒng)，其中α，a為定值.

延長(zhǎng)PA至B，使得AB＝kAQ，則PA+kAQ＝PB，連接BQ，

在△ABQ中，由正弦定理，得 AB ?sin ?∠AQB ＝ AQ ?sin ?B ，即 ky ?sin ?（α-β） ＝ y ?sin ?β ，

化簡(jiǎn)整理，得（k+ cos ?α） sin ?β＝ sin ?α cos ?β.

（1） 當(dāng)k+ cos ?α＞0時(shí)，則 tan ?β＝ ?sin ?α k+ cos ?α ＞0，故 sin ?β＝ ?sin ?α ?k2+1+2k cos ?α ?，即β為定角，其對(duì)邊為a，故點(diǎn)B在定圓O 2的優(yōu)弧PQ 上運(yùn)動(dòng).

若α-β∈ 0， ?π ?2 ?，則 tan ?（α-β）＝ k sin ?α 1+k cos ?α ＞0，即k cos ?α＞-1，由圖8易知，當(dāng)PB為圓O 2的直徑時(shí)，PB取得最大值，此時(shí)，△PBQ為直角三角形，PB＝ a ?sin ?β ＝ a k2+1+2k cos ?α ??sin ?β ，則 min {a，ka}＜PB≤ a k2+1+2k cos ?α ??sin ?β .

若α-β∈ ??π ?2 ， π ?，則 tan ?（α-β）＝ k sin ?α 1+k cos α ＜0，即k cos ?α≤-1，此時(shí)k＞1，所以a＜PB＜ka.

（2） 當(dāng)k+ cos ?α≤0時(shí)， ?π ?2 ≤β＜ π ，點(diǎn)B在定圓O 2的劣弧PQ 上運(yùn)動(dòng)，如圖9所示，此時(shí)0＜k＜1，故ka＜PB＜a.

3 教學(xué)反思

數(shù)學(xué)探究是圍繞著一個(gè)學(xué)生能夠提出、發(fā)現(xiàn)、解決、理解、拓展的問(wèn)題或問(wèn)題串展開的過(guò)程.在探究過(guò)程中強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主性、開放性、實(shí)踐性，強(qiáng)調(diào)“問(wèn)題”和“問(wèn)題意識(shí)”，重視學(xué)生主動(dòng)學(xué)和學(xué)的過(guò)程.

3.1 以探究促思維，教會(huì)學(xué)生思考

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，不僅要教學(xué)生正確的思考方法，更應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是一個(gè)非常好的發(fā)展學(xué)生思維的載體，引導(dǎo)學(xué)生從類比、模仿到自主創(chuàng)新，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解決問(wèn)題的思路和方案，自主研究、合作研究論證結(jié)論”的過(guò)程.在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過(guò)程中，教師要適度點(diǎn)撥，引領(lǐng)學(xué)生深度思考，不僅解決一類問(wèn)題，更應(yīng)該讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的“源”與“流”和價(jià)值，能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界.

3.2 以探究促評(píng)價(jià)，發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)

教師應(yīng)引導(dǎo)每一位同學(xué)都參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，及時(shí)給予學(xué)生多元化的評(píng)價(jià).通過(guò)評(píng)價(jià)發(fā)現(xiàn)學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些知識(shí)與技能，得到了哪些方面的提升，已經(jīng)具備了哪些關(guān)鍵能力，還存在哪些不足之處等，以此更好地促進(jìn)學(xué)生的學(xué).基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，在形成性評(píng)價(jià)的過(guò)程中，不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)技能的掌握程度，更應(yīng)該多關(guān)注學(xué)生在實(shí)際活動(dòng)過(guò)程中的親歷和體驗(yàn)，注重學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流的能力.