劉力韜　黃金瑩

【摘 要】高中數(shù)學橢圓部分的內(nèi)容是教學重難點，具有一定的抽象性、復雜性，學生在實際學習中可能存在障礙。文章以橢圓的學習進階作為研究對象，通過確定進階終點、進階維度、成就水平，以及明確各水平的表現(xiàn)期望來構(gòu)建橢圓的學習進階模型，進而揭示學生在學習橢圓時認知發(fā)展的路徑。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學 橢圓 學習進階

【中圖分類號】G623.5? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1002-3275（2023）13-60-04

高中數(shù)學的橢圓部分既是教師教學的重點，也是學生學習的難點。在實際的教學中，一些教師為了提高教學效率，割裂了知識間的聯(lián)系，講授的知識點偏碎片化，這會使學生在一定程度上產(chǎn)生學習倦怠心理，導致學習質(zhì)量下降。為了提高教學質(zhì)量，教師應注重知識間的連貫性，將碎片化的知識點系統(tǒng)梳理形成結(jié)構(gòu)化的知識網(wǎng)絡，從而有效地幫助學生理解并掌握知識點。2002年，美國教育界興起了一個新的研究方向——學習進階。學習進階關(guān)注的是學生隨著時間的推移、學習的深入，其思維發(fā)展的過程，其內(nèi)涵與注重知識間的連貫性、將碎片化知識點梳理形成知識網(wǎng)絡這個訴求不謀而合。目前國內(nèi)外關(guān)于學習進階理論的研究主要集中于生物、化學、物理等領(lǐng)域，并取得了較為理想的研究成果，但在數(shù)學教育領(lǐng)域仍處于起步階段。吳穎康等人通過開展學習進階應用于數(shù)學教育的研究，闡述了數(shù)學教育中學習進階的研究進展，并提出在數(shù)學教學中應用學習進階理論的建議。［1］

本研究通過分析學習進階的相關(guān)概念，將學習進階理論應用于橢圓教學，構(gòu)建橢圓的學習進階模型，揭示學生在學習該知識點時存在的不足，幫助教師明確教學目標并引導學生逐步學習并掌握相關(guān)知識點，優(yōu)化課堂教學過程。

一、學習進階相關(guān)概念界定

學習進階理論先在教育測量與評價中得到了廣泛應用，隨后被引入課程設計、概念教學等方面，應用逐漸廣泛，并且備受關(guān)注，不少研究者根據(jù)自身的理解及研究方向?qū)W習進階進行了定義。羅斯曼等人將學習進階定義為“由小學延續(xù)到高中的、有邏輯的、符合學生發(fā)展規(guī)律的‘概念序列”［2］，史密斯等人將學習進階定義為“學生在學習某一核心概念的過程中，所遵循的一系列逐漸復雜的思維路徑”［3］。姚建欣等人通過對比研究近幾年有關(guān)學習進階的論文，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)研究者都引用美國國家研究理事會（NRC）的定義方式［4］，即隨著學習時間的不斷增加，學生對于某一內(nèi)容主題思考和認識不斷豐富、精進和深入的一種過程。因此本研究對學習進階的概念界定也采用NRC的定義方式。

韋斯林等人在進行大量研究的基礎上，通過明確學習進階各方面的基本特征來精確把握學習進階的內(nèi)涵，并提出了學習進階所應包含的要素，告訴人們完整的學習進階應該包括什么。本文在參考韋斯林等人關(guān)于學習進階要素論述［5］的基礎上，總結(jié)出一個完整的學習進階主要包含五個要素，分別是進階終點、進階維度、成就水平、學業(yè)表現(xiàn)期望和測評工具。

進階終點主要指的是學習進階的頂點（學習進階要達到的最高水平），是經(jīng)歷某一階段學習后期望學生能夠達到的最終水平，一般由社會期望和課程標準決定。進階維度通常是指學科中蘊含的核心概念或者核心概念的子概念，研究者可通過追蹤學生對核心概念的理解運用情況和關(guān)鍵能力的發(fā)展來了解學習進階進程。成就水平主要指學生在學習過程中思維發(fā)展的不同水平，這些水平體現(xiàn)了學生在認知過程中的思維發(fā)展情況。正如通過爬上一級又一級的臺階才能爬上山頂，而這些臺階就是成就水平。學業(yè)表現(xiàn)期望指的是學生在達到各成就水平時可測量的具體表現(xiàn)，這也是評估學生是否達到某一成就水平的重要標準。測評工具主要指用于檢查學生實際的學習表現(xiàn)與預期的學習進階模型的達成程度而開發(fā)的檢測工具，測評結(jié)果如果不太理想，可以依據(jù)測評結(jié)果進一步修改學習進階模型。

學習進階理論刻畫的是學生在學習過程中的思維認知路徑，它能厘清知識點概念間所包含的邏輯關(guān)系，指出所學知識點的先后順序，通過已學的知識鋪墊后續(xù)的學習。學習進階不僅描述學生學習和思維發(fā)展的路徑，而且能夠確定學生目前思維所處的層次，通過對學生思維所處的每一個階段進行描述，呈現(xiàn)學生需要達到的成就水平，幫助教師確定學生在該階段學習中存在的誤區(qū)，從而制訂合理的教學方式，促使學生在學習中不斷完善知識架構(gòu)，不斷進步。

二、橢圓的學習進階

常見的學習進階研究范式一般由模型預設和實證檢驗兩大部分組成，其構(gòu)建主要遵循以下步驟：首先確定需要研究的核心概念。其次構(gòu)建學習進階預設的模型，其中包括確定合適的進階終點、進階維度、成就水平、學業(yè)表現(xiàn)期望。最后開發(fā)相關(guān)的測評工具，收集數(shù)據(jù)并進行測評分析。根據(jù)測評的數(shù)據(jù)結(jié)果完成對假設的學習進階模型的修訂與完善工作。

（一）進階終點的確定

1．課程標準分析

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱課程標準）要求學生掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì)，并且強調(diào)了橢圓、拋物線的簡單應用。

2．教材分析

本研究以高中數(shù)學選擇性必修第一冊第三章圓錐曲線的方程的有關(guān)內(nèi)容為例進行研究。教材中對于橢圓部分的知識點層層遞進、承上啟下，由橢圓的定義引出標準方程，接著通過標準方程進一步探索橢圓的幾何性質(zhì)，最終實現(xiàn)橢圓的簡單應用。

因此本研究確定橢圓教學的進階終點為：運用橢圓的性質(zhì)解決相關(guān)的綜合問題，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學思想以及數(shù)學核心素養(yǎng)。

（二）進階維度的確定

本研究通過分析課程標準中對于橢圓教學的要求，整理高中數(shù)學選擇性必修第一冊的內(nèi)容設置，總結(jié)出教材中橢圓部分以“橢圓的定義—橢圓的標準方程—橢圓的簡單幾何性質(zhì)—橢圓的應用”的學習順序逐步推進，以此來進行橢圓縱向維度的研究。因此可將橢圓學習進階模型的進階維度確定為以下四個：

維度1：結(jié)合生活情境，類比圓的概念及定義，認知橢圓的定義。

維度2：根據(jù)橢圓的定義，通過建立合適的直角坐標系研究橢圓的標準方程表達式。

維度3：類比研究圓的標準方程得出幾何性質(zhì)的方法，結(jié)合橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質(zhì)。

維度4：明晰橢圓與直線的聯(lián)系（求解直線與橢圓聯(lián)立的問題）。

（三）成就水平的確定

成就水平描述的是學生在學習過程中從最初的水平不斷發(fā)展到最終水平時其思維發(fā)展的路徑。最低水平的確定一般基于學生在進行某階段學習前的已有經(jīng)驗，包括學生頭腦中已有的相關(guān)經(jīng)驗以及與某階段學習有關(guān)的前概念等。最高水平一般依據(jù)社會期望、課程標準對學生的要求等來確定。中間各水平的確定則基于已有的對于學生情況的研究結(jié)果，包括學生的認知發(fā)展規(guī)律以及具體某階段學習的實際情況。已有研究發(fā)現(xiàn)，學習進階理論與SOLO分類理論之間存在一致性［6］，基于SOLO分類理論可以很好地刻畫學生在認知過程中思維發(fā)展的過程與水平。因此本研究將根據(jù)SOLO分類理論將橢圓學習進階模型的成就水平劃分為以下五個：

前結(jié)構(gòu)水平：學生在進行本階段學習前頭腦已經(jīng)存在的有關(guān)信息，一般是學生掌握的零碎信息，這些信息可能是正確的，也可能是錯誤的，學生對概念未形成精確的認知。

單一結(jié)構(gòu)水平：了解并掌握部分簡單的信息，未建立信息間的聯(lián)系。

多元結(jié)構(gòu)水平：能說出多個信息的內(nèi)涵，能進行完整的解釋與說明。

關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平：從能建立少部分信息間的聯(lián)系到建立所有信息的聯(lián)系，能解決簡單問題。

抽象結(jié)構(gòu)水平：形成系統(tǒng)的信息體系，能靈活運用并遷移知識，能解決復雜問題。

（四）各水平表現(xiàn)期望的確定

各水平表現(xiàn)期望描述的是學生達到各水平時可測量的具體表現(xiàn)，是判斷學生處于何種水平的標準，細致描述了學生在學習過程中認知的發(fā)展，即學生應當掌握什么知識，把握什么技能，等等。本研究結(jié)合SOLO分類理論，通過分析橢圓相關(guān)文獻以及教材的內(nèi)容確定了橢圓學習四個進階維度對應各成就水平的表現(xiàn)期望，分別見表1、表2、表3、表4。

從上述的四個維度二十個水平可以看出，學生的橢圓的學習過程是循序漸進的，從橢圓的定義出發(fā)逐步深入到橢圓的應用，學生在這個過程中經(jīng)歷了不同的思維層級，是一個逐步提高、不斷進階的過程。因此教師在教學過程中要充分考慮學生的認知發(fā)展規(guī)律和知識間的脈絡關(guān)系，針對不同思維水平的學生，設計合理的教學方式和教學方案，以促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的不斷提升與發(fā)展。

本研究將學習進階理論應用于中學數(shù)學橢圓的教學中，結(jié)合課程標準的要求、教材內(nèi)容的安排，以及橢圓內(nèi)容的相關(guān)研究，構(gòu)建了橢圓學習進階模型，明確了每一個階段的學習任務，揭示了學生在學習中思維和認知發(fā)展的規(guī)律及所經(jīng)歷的過程。能夠使教師發(fā)現(xiàn)學生該階段學習中可能存在的錯誤認知，并為學生能夠更加深刻地理解各階段的知識點提供幫助。通過構(gòu)建橢圓的學習進階模型，也進一步為教師在橢圓內(nèi)容的教學中提供新的教學思路與方式。

【參考文獻】

［1］吳穎康，鄧少博，楊潔．數(shù)學教育中學習進階的研究進展及啟示［J］．數(shù)學教育學報，2017，26（6）：40-46．

［2］劉晟，劉恩山．學習進階：關(guān)注學生認知發(fā)展和生活經(jīng)驗［J］．教育學報，2012，8（2）：82．

［3］同［2］81．

［4］姚建欣，郭玉英．為學生認知發(fā)展建模：學習進階十年研究回顧及展望［J］．教育學報，2014，10（5）：35-42．

［5］韋斯林，賈遠娥．學習進程：促進課程、教學與評價的一致性［J］．全球教育展望，2010，39（9）：24-31．

［6］羅曉燕，李佳，袁萍，等．SOLO分類理論與學習進階比較研究［J］．課程教學研究，2021（1）：12-17．

劉力韜 / 佳木斯大學理學院，從事中學數(shù)學教育研究；黃金瑩 / 佳木斯大學理學院，教授，從事中學數(shù)學教育研究（佳木斯 154007）；*通訊作者，E-mail：hjyshuxue@163.com