杜杰

摘要：“授人以魚，不如授人以漁”，學生只有領會數(shù)學思想，掌握科學的數(shù)學學習方法，養(yǎng)成良好的思維習慣，才能真正形成數(shù)學學習能力，有效地應用知識解決各種數(shù)學問題。文章圍繞任意角的三角函數(shù)教學內(nèi)容的基本特征，通過從特殊到一般、從復雜到簡單、從數(shù)字到圖形的教學設計，培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，并強調數(shù)學思想的培養(yǎng)要遵循過程性原則、持續(xù)性原則、參與性原則、反復性原則、可操作性原則。

關鍵詞：中職數(shù)學；數(shù)學思想；任意角；三角函數(shù)；設計；反思；原則

中圖分類號：G712文獻標志碼：A文章編號：1008-3561（2023）29-0113-04

數(shù)學是中職學校的公共基礎課程，為學生提供繼續(xù)學習、發(fā)展所需的數(shù)學知識、技能、方法、經(jīng)驗和思想，其具有基礎性、應用性、發(fā)展性和職業(yè)性等特點。中職數(shù)學不僅是傳授數(shù)學知識的載體，更承擔著培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題能力等功能。單純的知識教學只會讓學生實現(xiàn)知識的累加，而掌握學習方法以及數(shù)學思想就會使學生受益終身，正所謂“授人以魚，不如授人以漁”。學生只有領會了數(shù)學思想，掌握數(shù)學學習方法，養(yǎng)成良好的思維習慣，才能形成較強的數(shù)學學習能力，有效應用知識解決各種數(shù)學問題。本文以“任意角的三角函數(shù)”為例，探究核心素養(yǎng)指引下的中職學生數(shù)學思想培養(yǎng)策略，以期為中職數(shù)學教學工作者提供教學方法借鑒。

一、中職數(shù)學核心素養(yǎng)內(nèi)容及培養(yǎng)學生數(shù)學思想的意義

中職數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析六個方面。其是一個有機的整體，但彼此之間又相互獨立、相互交融。

隨著新課程改革的推進，數(shù)學教育不能僅滿足于對學生進行知識與技能的培養(yǎng)，還要以理性思維育人，著重于對學生的數(shù)學思想、學習方法和數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)[1]。掌握數(shù)學思想就是掌握數(shù)學的精髓，其不僅可提升學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題等能力，還能發(fā)展學生的數(shù)學思維，讓學生領悟到數(shù)學的真諦。所以，教師應著眼于引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維思考世界、用數(shù)學的語言表達世界。

二、三角函數(shù)的學科價值與數(shù)學思想

三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學模型，在其他學科領域也有廣泛應用?！叭我饨堑娜呛瘮?shù)”定義是高中數(shù)學的核心概念之一，其是完成“任意角和弧度制”后的新授課內(nèi)容，是后續(xù)學習三角函數(shù)關系的推導、三角函數(shù)的圖像與性質的基礎，可以說，該章節(jié)內(nèi)容起到的是承上啟下的作用[2]。在學習三角函數(shù)的過程中，部分學生存在不理解、不會運用等情況，究其原因，是學生對三角函數(shù)的認知還停留在初中的函數(shù)問題上。數(shù)學思想是解決數(shù)學問題的基本策略，是提高學生解題能力的關鍵，無論是建立概念，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，還是解決問題，都離不開數(shù)學思想、方法的支持與幫助，而基于數(shù)學核心素養(yǎng)有意識地培養(yǎng)學生的數(shù)學思想可讓學科知識、技能轉化為學生一生都受用的能力和素養(yǎng)[3]。在教學實踐中，教師可融入數(shù)形結合思想、類比思想、函數(shù)思想、轉化思想等，引導學生探索知識的形成過程，著重培養(yǎng)學生的數(shù)學思想和數(shù)學核心素養(yǎng)。

三、三角函數(shù)教學中數(shù)學思想的培育

掌握數(shù)學思想是促使學生將知識應用于實踐的基礎[4]。下面，筆者以轉化思想為例，分別從特殊到一般、復雜到簡單、數(shù)字到圖形的轉化，探究在三角函數(shù)教學中培養(yǎng)學生數(shù)學思想的策略。

1.從特殊到一般

任意角的三角函數(shù)是在學完“任意角和弧度制”后的一節(jié)新課，中職數(shù)學課程將角的概念進行了推廣，而本節(jié)教學內(nèi)容是將初中學過的銳角的三角函數(shù)的相關知識拓展到任意角的三角函數(shù)。因此，筆者在進行課堂教學時，利用學生熟悉的銳角三角函數(shù)引入任意角的三角函數(shù)，以喚醒學生的知識記憶，幫助學生完成從熟悉到陌生、從特殊到一般的過渡。

2.從復雜到簡單

對于任意角琢，當角琢的終邊落在第一象限時，通過在角琢的終邊上任取一點構造直角三角形，再結合銳角的三角函數(shù)的定義，分別表示出角琢的三個三角函數(shù)，這樣，學生比較容易理解。當角琢的終邊落在第二象限、第三象限、第四象限或角琢為界限角時，通過構造直角三角形，按照銳角的三角函數(shù)的定義去表示角琢的三角函數(shù)，對學生來說，理解起來比較困難。所以，筆者根據(jù)學情對任意角的三角函數(shù)的定義推導過程進行了調整，只討論角琢的終邊落在第一象限時的定義，對其他情況不再詳細推導，而是鼓勵學有余力的學生課后自主探索，以突出本節(jié)課的教學重點。

在教學過程中，筆者將學生初中學過的銳角的三角函數(shù)定義放到平面直角坐標系中討論，有效引導學生完成了從三角形到坐標系的轉化，同時也為學生在平面直角坐標系中定義任意角的三角函數(shù)搭建了平臺。

3.從數(shù)字到圖形

數(shù)形結合思想是一種基本數(shù)學思想，其具備直觀、形象、簡捷等諸多優(yōu)點?！皵?shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形的相互轉化可將幾何問題用代數(shù)的方法處理，或者通過幾何圖形來解決代數(shù)問題，不僅有助于學生整合數(shù)學知識，還能增強學生的創(chuàng)新思維。在“任意角的三角函數(shù)”教學中，筆者就運用數(shù)形結合思想，教學設計思路是由銳角的三角函數(shù)定義引出任意角的三角函數(shù)定義，由相似三角形的性質說明銳角的三角函數(shù)值與角終邊上點的位置是沒有關系的，具體如下。

（1）任意角的三角函數(shù)的定義。在教學實踐中，筆者由銳角的三角函數(shù)過渡到任意角的三角函數(shù)，將銳角放在平面直角坐標系中加以說明。此時，角的終邊落在第一象限，在角的終邊上任取一點，構造直角三角形，進而轉化為用點的坐標表示角的三角函數(shù)。

根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義，得出任意角的三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號并不難，但對于中職生來說，記住每個象限內(nèi)的三角函數(shù)值的符號是難點。因此，筆者在課堂上向學生介紹了三種不同的記憶方法。方法1：按照第一象限、第二象限、第三象限、第四象限的順序，可用四個字“全”“是”“天”“才”記憶符號為正的三角函數(shù)值，即第一象限全正、第二象限sin琢為正、第三象限cos琢為正、第四象限tan琢為正；方法2：將“刁”字的書寫順序與sin琢、cos琢、tan琢相對應，跨越的象限符號為正。方法3：根據(jù)口訣“一全二正弦、三切四余弦”，記住符號為正的情況。

四、三角函數(shù)數(shù)學思想培育的教學反思

在核心素養(yǎng)背景下，教師在中職數(shù)學教學中，應積極創(chuàng)新，整合教學資源，滲透數(shù)學思想、方法，以多樣化的教學方式，引導學生掌握數(shù)學邏輯，具備理性的數(shù)學思維，不斷提高學生的數(shù)學核心素養(yǎng)[5]。在實際教學中，數(shù)學思想的滲透要遵循以下幾項原則。

1.過程性原則

數(shù)學思想是依賴于數(shù)學問題而存在的。在實際教學中，為充分發(fā)揮數(shù)學思想的作用，教師必須做到以下幾點。第一，要正確認識數(shù)學思想的應用價值。生活中的數(shù)學問題無處不在，而數(shù)學思想是解決實際應用問題的重要手段。第二，在運用數(shù)學思想解決數(shù)學問題時，教師要引導學生發(fā)現(xiàn)、認識以及總結數(shù)學思想，使學生逐步形成個性化的思維體系，并做到融會貫通，舉一反三，即實現(xiàn)“授之以漁”。例如，“曲線與方程”的概念具有很強的抽象性和邏輯性。教師可引導學生結合數(shù)形轉化思想，將數(shù)學題目進行數(shù)化形的轉化，然后充分利用圖形的直觀性特點，合理運用課程知識點，形成科學的解題思路。

2.持續(xù)性原則

教師在設計教學活動時，要根據(jù)學生已有的知識儲備，科學規(guī)劃，合理設計教學內(nèi)容，同時，教學方法要系統(tǒng)，具有可持續(xù)性，不能設定太高的起點，要讓學生“跳一跳，夠得到”。數(shù)學思想的滲透要循序漸進，不能急于一時，避免“灌輸式”教學，達到“先學后用”的目的，使學生的數(shù)學思考能力逐漸提升。

3.參與性原則

在中職數(shù)學課堂上，要想使數(shù)學思想得到有效滲透，必須激發(fā)學生的學習熱情。因此，中職數(shù)學課堂教學要堅持“參與”的原則，既要充分調動學生的學習熱情，又要尊重學生在課堂上的主體性，指導學生根據(jù)自身的認識與能力，對數(shù)學理論知識進行探索與實踐。例如，在教學“解一元二次不等式ax2+ bx+c>0”相關問題時，二次項系數(shù)a是否為0是討論的重點內(nèi)容，但學生往往忽略對a的討論，在此過程中滲透分類討論思想尤為重要。教師要適當引導，讓學生在探索過程中發(fā)現(xiàn)問題，并體會分類討論思想的重要性。

4.反復性原則

構建數(shù)學思想的應用體系不能一蹴而就，需要反復練習、反復積累、反復總結，教師在教學中要為學生創(chuàng)造鍛煉的機會。例如，在求解集合的交集、并集、補集時，教師可利用數(shù)軸呈現(xiàn)集合元素之間的關系，反復引導學生運用數(shù)形結合思想解題。再如，針對不同類型的習題，教師可引導學生運用同一種數(shù)學思想方法進行解答，如二次函數(shù)二次項系數(shù)a相關問題、等比數(shù)列求前n項和中公比q是否為1的問題、判斷曲線方程為橢圓或雙曲線的問題等，都可用到分類討論的思想。

5.可操作性原則

在實際教學中，教師要根據(jù)教學內(nèi)容、學生的實際學習情況以及教學實踐靈活滲透數(shù)學思想，并適時調整。例如，求點P（3，3）關于直線y=-2x+2的對稱點P的坐標時，有的學生會先畫出直線，通過作圖的方法找到點P的對稱點，但不能精確得到對稱點的坐標。教師要及時提示學生將形轉為數(shù)：直線PP與y=-2x+2是垂直的，且PP的中點在直線上，通過互相垂直的直線斜率乘積為-1以及中點坐標公式，即利用方程思想就可求得點P的坐標。

五、結語

總而言之，數(shù)學思想是分析、處理和解決數(shù)學問題的根本方法，是對數(shù)學規(guī)律的理性認識，數(shù)學思想在中職數(shù)學教學中具有積極意義。教師要在教學設計中滲透數(shù)形結合思想、類比思想、函數(shù)思想、轉化思想，同時合理提出問題，創(chuàng)設情境，讓學生主動探索新知，并在探索的過程中真正理解和掌握數(shù)學知識和技能、數(shù)學思想和方法，實現(xiàn)核心素養(yǎng)的提升。

參考文獻：

[1]賀霞，蔡擇林.基于“三教”的高中數(shù)學概念教學實踐探索———以“任意角的三角函數(shù)”教學為例[J].高中數(shù)學教與學，2019（12）： 18-21.

[2]孫幫蘭.“任意角的三角函數(shù)”概念教學的分析與建議[J].中學數(shù)學，2019（21）：12-13.

[3]楊子圣.高中數(shù)學教育重在培養(yǎng)數(shù)學能力與數(shù)學思想等核心素養(yǎng)[J].人民教育，2022（23）：77-78.

[4]劉玉文.關注數(shù)學思想滲透凸顯核心素養(yǎng)培養(yǎng)———以2019年高考三角函數(shù)試題為例[J].中學數(shù)學研究，2020（03）：6-9.

[5]楊宏勝.同課異構“角”上生花———以“任意角的三角函數(shù)”的教學為例[J].高中數(shù)學教與學，2019（23）：1-2+9.

Exploration on the Cultivation of Mathematical Thought Among Secondary Vocational School Students Guided by Core Competence

———Taking "Trigonometric Functions at Any Angle" as an Example

Du Jie

（ Hangzhou Xianlin Vocational High School ， Zhejiang Province， Hangzhou 310000， China）

Abstract： "Teaching people to fish is better than teaching them to fish." Only by understanding mathematical ideas， mastering scientific mathematical learning methods， and cultivating good thinking habits can students truly form mathematical learning abilities and effectively apply knowledge to solve various mathematical problems. The article focuses on the basic characteristics of the teaching content of trigonometric functions at any angle， and cultivates students mathematical thinking through teaching designs from special to general， from complex to simple， and from numbers to graphics. It emphasizes that the cultivation of mathematical thinking should follow the principles of process， continuity， participation， and repetition， operability.

Key words： secondary vocationalmathematics； mathematical ideas； any angle； trigonometric function； design； reflection； principle