舒亞?wèn)| 吳雋永

貴州黔南經(jīng)濟(jì)學(xué)院 貴州惠水 550600

高等數(shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)課程,對(duì)實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量教育有著重要的地位。好的課程設(shè)計(jì)是實(shí)現(xiàn)高質(zhì)量教育和公平普惠的教育,使教育更加充滿活力的主要手段[1]。高質(zhì)量課堂不僅需要豐富的內(nèi)涵,更肩負(fù)培養(yǎng)學(xué)生價(jià)值取向的使命[2]。高質(zhì)量教育和立德樹(shù)人為新時(shí)代賦予了特殊的內(nèi)涵,也對(duì)新時(shí)代的教育改革指明了方向,必須以青少年理想人格塑造為核心[3]。本文以高等數(shù)學(xué)一次課的教學(xué)內(nèi)容(無(wú)窮小量的定義及性質(zhì))為例,通過(guò)構(gòu)造豐富的案例,把育人教學(xué)貫穿整個(gè)課堂教學(xué)過(guò)程。

一、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo):正確理解無(wú)窮小量的概念(包括直觀概念和幾何概念);掌握無(wú)窮小量的基本性質(zhì)。

能力目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力和明辨性思維;通過(guò)對(duì)無(wú)窮小量概念和性質(zhì)的理解,體會(huì)數(shù)學(xué)中極限的思想,實(shí)現(xiàn)極限思想與現(xiàn)實(shí)世界有機(jī)結(jié)合。

育人目標(biāo):通過(guò)中國(guó)古人對(duì)極限思想的貢獻(xiàn),激發(fā)學(xué)生愛(ài)國(guó)主義情懷和增強(qiáng)文化自信;培養(yǎng)學(xué)生用辯證的思維理解無(wú)窮小量的哲學(xué)內(nèi)涵,引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立正確的人生觀、世界觀,從而給學(xué)生提供強(qiáng)大的精神動(dòng)力。

二、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn):無(wú)窮小量的性質(zhì)以及無(wú)窮小量的應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn):無(wú)窮小量的概念和性質(zhì)。

三、教學(xué)方法和手段

(一)多媒體演示法

通過(guò)計(jì)算機(jī)動(dòng)畫(huà)演示,幫助學(xué)生有可視化的直觀感受,清晰描述無(wú)窮小量的漸進(jìn)過(guò)程。給出一些來(lái)回波動(dòng),但最終又向無(wú)窮小邁進(jìn)的案例。

(二)啟發(fā)式教學(xué)

通過(guò)勵(lì)志人物傳記,培養(yǎng)學(xué)習(xí)的愛(ài)國(guó)熱情,增強(qiáng)文化自信,啟發(fā)學(xué)生思考腳踏實(shí)地、堅(jiān)持不懈努力的意義和內(nèi)涵,從而培養(yǎng)學(xué)生努力學(xué)習(xí)、踏實(shí)做人的良好品質(zhì)。

(三)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式

以問(wèn)題情境為導(dǎo)火索,通過(guò)問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣,使整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)在不斷激發(fā)學(xué)生的探究熱情,引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程中,達(dá)到本次課程的學(xué)習(xí)目的。

(四)課堂討論

給出幾個(gè)案例,先讓學(xué)生分組討論,然后誘導(dǎo)學(xué)生思考所給案例所隱藏的哲學(xué)內(nèi)涵,從而讓學(xué)生明白哲學(xué)不再是單純的教條和蒼白的文字,同時(shí),數(shù)學(xué)也不再是枯燥無(wú)味,而是充滿人生哲理的學(xué)科。

(五)總結(jié)發(fā)言

課程快結(jié)束時(shí),讓學(xué)生分組討論總結(jié)本次課程的學(xué)習(xí)內(nèi)容和要點(diǎn)。每一組選一個(gè)代表上臺(tái)交流發(fā)言,這樣可以提升學(xué)生課堂參與度,同時(shí)讓更多的哲學(xué)道理給學(xué)生提供強(qiáng)大的精神動(dòng)力。

四、教學(xué)實(shí)施過(guò)程

(一)回顧復(fù)習(xí)

1.首先介紹我國(guó)數(shù)學(xué)家對(duì)極限思想的貢獻(xiàn),進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情,同時(shí)增強(qiáng)文化自信

我國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽給出了“割圓術(shù)”,即割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體,而無(wú)所失矣。也就是說(shuō)通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形細(xì)割圓,并使正多邊形的周長(zhǎng)無(wú)限接近圓的周長(zhǎng),該觀點(diǎn)已經(jīng)形成了極限思想的雛形,為現(xiàn)代極限概念的形成奠定了思想基礎(chǔ),在世界數(shù)學(xué)史上留下了濃墨重彩的一筆。直到18—19世紀(jì),通過(guò)無(wú)數(shù)代數(shù)學(xué)家的努力,才形成嚴(yán)格的極限理論。然后通過(guò)動(dòng)畫(huà)給出極限的漸進(jìn)過(guò)程。

2.回顧極限概念

數(shù)列極限的定義:

從定義中引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對(duì)ε和N的理解,為本次課程的主要內(nèi)容無(wú)窮小量做好鋪墊。

顯然,無(wú)論是根據(jù)極限的直觀定義還是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義,上述兩個(gè)數(shù)列的極限都為零。同時(shí)表明,假如這兩個(gè)數(shù)列就代表兩個(gè)人的成長(zhǎng)軌跡,無(wú)論起點(diǎn)怎么樣,只要后續(xù)不努力,終將一無(wú)所有。也或者說(shuō)一個(gè)人的未來(lái)怎么樣,主要取決于你未來(lái)是否會(huì)連續(xù)付出。

顯然,該數(shù)列的極限為1,就像市場(chǎng)上商品的價(jià)格會(huì)來(lái)回波動(dòng),但隨時(shí)間推移,終將會(huì)穩(wěn)定在某一個(gè)確定的值。

函數(shù)極限的定義:

?ε>0,?δ,使得當(dāng)0<|x-x0|<δ,恒有|f(x)-A|<ε.

(二)新知探究

1.通過(guò)動(dòng)畫(huà)和討論,給出無(wú)窮小量的定義

給出《莊子·天下篇》中“截丈問(wèn)題”的精彩論述:“一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭?！逼浜x是,一尺長(zhǎng)的木棍,每天截去它的一半,千秋萬(wàn)代也截不完。顯然,這句話包含了對(duì)立統(tǒng)一的思想。事物的發(fā)展總是先從量變開(kāi)始,量變是質(zhì)變的必要準(zhǔn)備,質(zhì)變是量變的必然結(jié)果。因此,我們做任何事情都要從一點(diǎn)一滴的小事做起,要腳踏實(shí)地、埋頭苦干,積極做好量的積累,為實(shí)現(xiàn)事物的質(zhì)變創(chuàng)造條件。讓學(xué)生分組討論該論述所表達(dá)的主要思想,從而得到在高等數(shù)學(xué)中占有重要地位的一個(gè)重要極限——無(wú)窮小量,然后給出無(wú)窮小量的嚴(yán)格定義。通過(guò)學(xué)習(xí)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)做出的重要貢獻(xiàn),培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情和民族自豪感,同時(shí)增強(qiáng)文化自信。

無(wú)窮小量的定義:在某一變化過(guò)程中,函數(shù)以零為極限,即:

括號(hào)( )中的自變量可以是x,也可以是n,表達(dá)式中的過(guò)程主要有三類(lèi)。若是數(shù)列極限,則該過(guò)程為n→∞;若為函數(shù)極限,則該過(guò)程可以是x→x0,也可以是x→∞。

通過(guò)圖像的軌跡可以說(shuō)明無(wú)窮小量是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì),而不是一個(gè)具體的很小的數(shù)。

2.給出理解無(wú)窮小量的幾點(diǎn)注記,同時(shí)舉例解釋

(1)無(wú)窮小量是變量,不能與很小的數(shù)混為一談,即絕對(duì)值非常小的非零常數(shù)不是無(wú)窮小量。

(2)零是特殊的無(wú)窮小量。

解釋:特殊性在于零本身是常數(shù),其極限就等于本身,也就是說(shuō)零在任何過(guò)程中的極限都為零,根據(jù)定義,零是無(wú)窮小量。

(3)無(wú)窮小量總伴隨著一個(gè)過(guò)程。

除了①和②,討論任何變量是不是無(wú)窮小量,皆與過(guò)程有關(guān)。

例5:當(dāng)x→1時(shí),x-1,x2-1都是無(wú)窮小量,但當(dāng)x→0時(shí),x-1,x2-1都不是無(wú)窮小量。

在學(xué)習(xí)極限時(shí),首先不是看函數(shù)本身,而是先關(guān)注變量的變化過(guò)程。

3.用PPT播放一些勵(lì)志人物傳記,誘導(dǎo)學(xué)生思考這些勵(lì)志人物身上共同的基本素養(yǎng),通過(guò)他人故事思考自己應(yīng)該如何去度過(guò)自己的大學(xué)生活

這些平凡人物的身上都體現(xiàn)著腳踏實(shí)地、頑強(qiáng)拼搏、百折不撓的人生旅程。縱使經(jīng)歷無(wú)數(shù)失敗,但為了理想,終其一生,最終實(shí)現(xiàn)了理想。

4.無(wú)窮小量的性質(zhì)

性質(zhì)1.有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍然是無(wú)窮小量。

性質(zhì)2.有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積仍然是無(wú)窮小量。

性質(zhì)3.無(wú)窮小量與有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮小量。

性質(zhì)4.常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積仍然是無(wú)窮小量。

該例題表明:假如該數(shù)列就代表一個(gè)學(xué)生進(jìn)入校園后的狀態(tài)?？v然每次聽(tīng)課后感覺(jué)什么都沒(méi)學(xué)到,因?yàn)槊恳豁?xiàng)的極限都為零,是無(wú)窮小量,但該學(xué)生卻選擇了堅(jiān)持下去,終將實(shí)現(xiàn)了量變到質(zhì)變的蛻變。或者也可以說(shuō),只要堅(jiān)持不懈付出終將會(huì)得到回報(bào),付出是有收獲的。

例10:當(dāng)x→0時(shí),x,x2,sinx都是無(wú)窮小量,讓學(xué)生分組討論如下極限:

顯然,當(dāng)把性質(zhì)中的有限改為無(wú)限,兩個(gè)無(wú)窮小量相除就可能得到不同的結(jié)論。

(三)無(wú)窮小量的應(yīng)用

給出一些經(jīng)典的案例,通過(guò)提問(wèn)和分組討論,引出無(wú)窮小量所蘊(yùn)含的哲學(xué)意義。

提問(wèn)學(xué)生,然后再提問(wèn)其他同學(xué)對(duì)該答案是否認(rèn)同,若認(rèn)同,為什么?不認(rèn)同,說(shuō)明理由。顯然,該例題中無(wú)窮個(gè)零的和還是零。

例題表明:假如該數(shù)列就代表一個(gè)同學(xué)進(jìn)入校園后的狀態(tài),但整天做其他事情,從未走進(jìn)過(guò)教室學(xué)習(xí),那就意味著不付出是不會(huì)有收獲的。

讓學(xué)生分組思考,該例題和例11的區(qū)別在哪里?該例題帶給我們什么啟示?顯然該例題的極限還是零。

該例題表明:假如該數(shù)列就代表一個(gè)學(xué)生進(jìn)入校園后的狀態(tài)。堅(jiān)持聽(tīng)了幾次數(shù)學(xué)課,但是每次基本什么都沒(méi)學(xué)到,后面選擇了放棄,但是和直接沒(méi)來(lái)過(guò)教室的人相比,還是稍微要好點(diǎn),只是說(shuō)學(xué)到的東西幾乎趨近于零,因此沒(méi)有堅(jiān)持幾天就開(kāi)始放棄了,導(dǎo)致的結(jié)局也是一無(wú)所有。即沒(méi)有足夠的耐心和恒心,是很難成功的,并不是付出不一定有收獲,而是付出得還不夠。

讓學(xué)生分組思考,該例題和例12的區(qū)別在哪里?該例題帶給我們什么啟示?顯然該例題的極限為1。

該例題表明:假如該數(shù)列就代表一個(gè)學(xué)生進(jìn)入校園后的狀態(tài)?？v然每次聽(tīng)課后感覺(jué)什么都沒(méi)學(xué)到,但卻選擇了堅(jiān)持下去,終將實(shí)現(xiàn)量變到質(zhì)變的蛻變?；蛘咭部梢哉f(shuō),堅(jiān)持不懈的付出終將得到回報(bào)。

讓學(xué)生分組思考,該例題和例13的區(qū)別在哪里?該例題帶給我們什么啟示?顯然該例題的極限為0。

該例題表明:假如該數(shù)列就代表一個(gè)學(xué)生進(jìn)入校園后的狀態(tài)。和例13比較,該例題中學(xué)生每天學(xué)到的知識(shí)更少,或者說(shuō)基礎(chǔ)更差,且前者學(xué)習(xí)了n天,后者也只學(xué)習(xí)了n天,導(dǎo)致的結(jié)局是后者永遠(yuǎn)不如前者。同時(shí)告訴我們一個(gè)道理,假如我們本身不如別人聰明,結(jié)果自己付出和別人一樣多,導(dǎo)致永遠(yuǎn)落后于別人。

讓學(xué)生分組思考,該例題和例13、例14的區(qū)別在哪里?該例題帶給我們什么啟示?顯然該例題的極限為1。

該例題表明:假如該數(shù)列就代表一個(gè)同學(xué)進(jìn)入校園后的狀態(tài)。和例13比較,該例題中學(xué)生每天學(xué)到的雖然更少,但此時(shí)堅(jiān)持學(xué)習(xí)了n2天,也就是說(shuō)加倍努力,最終也實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的改變。該例告訴我們一個(gè)道理,假如我們本身不如別人聰明,或者基礎(chǔ)沒(méi)有別人好,那么我們就加倍付出,終將實(shí)現(xiàn)質(zhì)的飛躍,最終取得成功。

上述例題再次表明,無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小量的和不一定是無(wú)窮小量。

五、總結(jié)

總結(jié)本次課程所學(xué)到的知識(shí)點(diǎn),可以給當(dāng)代大學(xué)生四年大學(xué)生活或者說(shuō)這一生提供一些啟示。學(xué)生分組充分討論,讓數(shù)學(xué)課程包含的深刻哲學(xué)思維深入大學(xué)生的心靈深處,從而提供強(qiáng)大的精神動(dòng)力和培養(yǎng)學(xué)生強(qiáng)烈的社會(huì)責(zé)任感。(1)大一新生進(jìn)入新的校園生活,思想上有所松懈,比較迷茫,通過(guò)在一年級(jí)課程中引入飽含哲理的育人元素,增添學(xué)習(xí)的樂(lè)趣,使枯燥的數(shù)學(xué)變得有趣;(2)通過(guò)數(shù)學(xué)課引申出的哲學(xué)內(nèi)涵無(wú)疑給學(xué)生注入了強(qiáng)大的精神動(dòng)力,同時(shí)讓學(xué)生明白有所為有所不為,堅(jiān)定理想信念;(3)通過(guò)無(wú)窮小量的學(xué)習(xí),使學(xué)生具有獲得感。即使每天進(jìn)步微乎其微,但是有了數(shù)學(xué)課驗(yàn)證下的量變累積到一定程度必然會(huì)發(fā)生質(zhì)變和付出一定會(huì)有收獲的科學(xué)內(nèi)涵,從而營(yíng)造良好的學(xué)習(xí)氛圍。