? 江蘇省張家港市沙洲中學(xué) 劉華珍

“抓基礎(chǔ)知識(shí),重化歸轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的一把“金鑰匙”,也是一個(gè)基本竅門.事實(shí)上,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想比比皆是,方方面面,林林總總.在認(rèn)知層面上有未知向已知的轉(zhuǎn)化,在思維層面上有高維向低維的轉(zhuǎn)化,在空間感觀上有空間向平面的轉(zhuǎn)化,等等,其中都有轉(zhuǎn)化與化歸思想的“影子”與體現(xiàn).

1 一般與特殊的相互轉(zhuǎn)化

分析:根據(jù)題目條件,過焦點(diǎn)F作垂直于y軸的直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn),可以快速確定線段PF與FQ的長度.

故選擇答案:C.

點(diǎn)評(píng):此題若利用直線與拋物線的位置關(guān)系來處理,過程比較復(fù)雜,運(yùn)算量也比較大.而利用特殊化處理,簡單快捷.特別是涉及此類定值或常值問題,往往可以化一般值為特殊值,從而更加簡潔迅速得到所需要的答案.

2 正與反的相互轉(zhuǎn)化

例2若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[-1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)值c,使得f(c)>0,則實(shí)數(shù)p的取值范圍為______.

分析:根據(jù)題目條件,利用正與反的化歸與轉(zhuǎn)化,先求解不等式f(c)≤0恒成立時(shí)p的取值范圍,再通過取補(bǔ)集來確定所求的實(shí)數(shù)p的取值范圍.

點(diǎn)評(píng):此題的解析過程充分展示了正與反的轉(zhuǎn)化,直接從所求結(jié)論入手往往情況較多且復(fù)雜,而取其結(jié)論的反面,一般所求情況比較單一或直接,這樣處理就真正體現(xiàn)了“正難則反”的原則.利用“正難則反”原則處理問題時(shí),經(jīng)常通過取補(bǔ)集利用間接法,解決一些含有“至多”“至少”及否定性命題情形的相關(guān)問題.

3 常量與變量的相互轉(zhuǎn)化

例3(2021年浙江省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)仿真模擬卷)設(shè)函數(shù)y=(log2x)2+(t-2)·log2x-t+1,若t∈[-2,2]時(shí),y恒取正值,則x的取值范圍是______.

分析:根據(jù)題目條件,借助轉(zhuǎn)化與化歸思想改變常量與變量的關(guān)系,構(gòu)建一次函數(shù)y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,根據(jù)變量t∈[-2,2]時(shí),y恒取正值,得到對(duì)應(yīng)的不等式組,通過求解不等式(組)來確定變量x的取值范圍.

解析:構(gòu)建函數(shù)y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1,則知函數(shù)f(t)是關(guān)于參數(shù)t的一次函數(shù).

當(dāng)t∈[-2,2]時(shí),由不等式f(t)>0恒成立,知f(-2)>0,且f(2)>0,代入可得

解得log2x<-1,或log2x>3.

點(diǎn)評(píng):此題若按常規(guī)法視x為主元來解,需要分類討論,這樣會(huì)很繁瑣.而通過常量與變量的轉(zhuǎn)化,將原問題巧妙轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)的相關(guān)問題,即可完美解決.特別是在處理多變元的數(shù)學(xué)綜合問題時(shí),經(jīng)常借助題設(shè)中的常數(shù)(或參數(shù))轉(zhuǎn)變視角,合理化歸,巧妙減元,實(shí)現(xiàn)“主”與“次”的轉(zhuǎn)化.

4 相等與不等的相互轉(zhuǎn)化

分析:通過雙變元方程的消元處理,結(jié)合目標(biāo)構(gòu)建對(duì)應(yīng)的方程,利用關(guān)于參數(shù)a的一元二次方程有正數(shù)解,通過判別式非負(fù)建立不等式,實(shí)現(xiàn)相等與不等之間的轉(zhuǎn)化,進(jìn)而求解對(duì)應(yīng)的參數(shù)值的最值問題.

點(diǎn)評(píng):例4結(jié)合題目“相等”關(guān)系的應(yīng)用,通過相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建“不等”關(guān)系,合理轉(zhuǎn)化與化歸.特別地,在解決一些函數(shù)與方程、基本不等式、導(dǎo)數(shù)等問題中,經(jīng)常用到相等與不等的相互轉(zhuǎn)化思維,巧妙合理建立二者的內(nèi)在聯(lián)系與轉(zhuǎn)化紐帶.

5 幾何體之間的相互轉(zhuǎn)化

例5如圖1所示,已知多面體ABCDEFG中,AB,AC,AD兩兩互相垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多面體的體積為______.

圖1

分析:根據(jù)題目條件,直接求解該多面體的體積無法下手,而合理借助空間幾何體的分割法或補(bǔ)形法,即可實(shí)現(xiàn)空間幾何體的轉(zhuǎn)化與化歸.

解法1:(分割法)過點(diǎn)C作CH⊥DG于點(diǎn)H,連接EH,如圖2,將不規(guī)律的多面體分割成一個(gè)直三棱柱DEH-ABC和一個(gè)斜三棱柱BEF-CHG.

圖2

所以V多面體ABCDEFG=2+2=4.

故填答案:4.

解法2:(補(bǔ)形法)如圖3,進(jìn)行補(bǔ)形處理,將原多面體放置于棱長為2的正方體中,結(jié)合圖形的結(jié)構(gòu)特征,可知所求多面體的體積恰好是該正方體體積的一半.

圖3

故填答案:4.

點(diǎn)評(píng):幾何體之間的相互轉(zhuǎn)化,往往要借助空間幾何圖形的特征分析,利用空間想象思維,通過空間圖形的切、補(bǔ)、疊、轉(zhuǎn)等方式來合理轉(zhuǎn)化,使得不規(guī)則空間幾何體便于觀察與數(shù)學(xué)運(yùn)算.在形、體位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化中,要保持線段長度、角大小等圖形的幾何特征與結(jié)構(gòu)的不變性.

在數(shù)學(xué)解題中,轉(zhuǎn)化與化歸思想表現(xiàn)極其活躍,充分把握化歸對(duì)象(把什么問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化)、化歸目標(biāo)(化歸到何處)、化歸方法(如何進(jìn)行化歸)等指導(dǎo)思想,結(jié)合一些常見的方法,如直接轉(zhuǎn)化法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、坐標(biāo)法、類比法、特殊化方法、等價(jià)問題法、加強(qiáng)命題法、補(bǔ)集法等相應(yīng)的方法來處理,揭示問題間的內(nèi)部聯(lián)系,分析問題,創(chuàng)造條件,創(chuàng)新應(yīng)用,實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的目的.