? 福建省莆田第四中學(xué) 林 琴

隨著新高考改革步伐的不斷邁進(jìn),高考更加注重對(duì)學(xué)生各方面能力的考查與區(qū)分,突出核心素養(yǎng)的關(guān)鍵能力.其中,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求就提到了一個(gè)更高的層面,因而提高高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是一個(gè)亟待解決的數(shù)學(xué)問題.鑒于此,下面結(jié)合實(shí)例來具體闡述如何處理數(shù)學(xué)運(yùn)算問題,讓思考成為數(shù)學(xué)運(yùn)算的助推器.

1 法則應(yīng)用的合理性

解決問題中的數(shù)學(xué)運(yùn)算過程,就是一個(gè)數(shù)學(xué)法則應(yīng)用的過程.厘清數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì)與內(nèi)涵,結(jié)合相關(guān)問題中所涉及到的概念、定義、公式、定理以及性質(zhì)等本質(zhì),通過數(shù)學(xué)運(yùn)算法則的應(yīng)用,建立聯(lián)系,直擊要害,達(dá)到運(yùn)算法則應(yīng)用的合理性.

例1(2022年高考數(shù)學(xué)上海卷·11)若|a|=|b|=|c|=λ,且滿足a·b=0,a·c=2,b·c=1,則λ=______.

分析:根據(jù)題設(shè)條件,確定平面向量的位置關(guān)系并構(gòu)建相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,合理應(yīng)用平面向量中的相關(guān)運(yùn)算法則,利用平面向量的坐標(biāo)表示與設(shè)置,結(jié)合平面向量的模、數(shù)量積的坐標(biāo)公式等構(gòu)建相應(yīng)的方程組,即可確定參數(shù)的值.

解析:由a·b=0,可得a⊥b.

構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,設(shè)向量a=(λ,0),b=(0,λ),c=(x,y),x,y∈R,則有x2+y2=λ2,其中λ>0.

點(diǎn)評(píng):在解決平面向量問題時(shí),經(jīng)常應(yīng)用定義法、坐標(biāo)法與幾何法這幾種常見的方法來解決.這里,在解決平面向量問題中,借助平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建,利用坐標(biāo)法的代數(shù)運(yùn)算來分析與處理平面向量中的相關(guān)問題,是一種更加合理的數(shù)學(xué)運(yùn)算法則的應(yīng)用.借助坐標(biāo)法,化“形”為“數(shù)”,代數(shù)運(yùn)算處理.

2 簡(jiǎn)便運(yùn)算的靈活性

結(jié)合數(shù)學(xué)問題中涉及到的基本性質(zhì)、整體思維、重要結(jié)論等,合理構(gòu)建與問題對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)關(guān)系等,簡(jiǎn)化運(yùn)算,全面提升數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)思維的靈活性,明確運(yùn)算目標(biāo),構(gòu)建相應(yīng)的聯(lián)系,優(yōu)化解題過程,提升解題效益.

分析:根據(jù)題設(shè)條件,結(jié)合直線與x軸,y軸分別交于兩點(diǎn),利用直線截距式方程的設(shè)置,引入對(duì)應(yīng)的參數(shù)與方程,結(jié)合直線方程的特征,可以快捷簡(jiǎn)便地確定直線與坐標(biāo)軸的對(duì)應(yīng)交點(diǎn)問題,方便問題的進(jìn)一步分析與求解;進(jìn)而結(jié)合橢圓的中點(diǎn)弦性質(zhì),為簡(jiǎn)便運(yùn)算提供更加靈活與便利的條件.

點(diǎn)評(píng):根據(jù)題設(shè)條件設(shè)置合適的直線方程,是簡(jiǎn)單快捷處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題中的一個(gè)重點(diǎn),也是靈活運(yùn)算的基礎(chǔ).而熟練掌握?qǐng)A錐曲線中的一些“二級(jí)結(jié)論”(本題中用到圓錐曲線的中點(diǎn)弦性質(zhì)),在破解小題時(shí)可以更加靈活便捷,優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算,簡(jiǎn)化解題過程,提升解題效益,節(jié)約寶貴時(shí)間.

3 公式選擇的有效性

在數(shù)學(xué)運(yùn)算前需合理選擇公式,同時(shí)要根據(jù)題目意圖進(jìn)行思考,以目標(biāo)引領(lǐng)思維,特別涉及到有多種公式可供選擇時(shí)(主要是三角函數(shù)問題、數(shù)列問題等),要洞察已知條件與所求結(jié)論之間的有效聯(lián)系,合理數(shù)學(xué)思維與推理,進(jìn)行有效性的公式選擇,達(dá)到“一箭封喉”,真正提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的準(zhǔn)確性.

A.tan(α+β)=1 B.tan(α+β)=-1

C.tan(α-β)=1 D.tan(α-β)=-1

分析:根據(jù)題設(shè)條件,從眾多的三角恒等變換公式中進(jìn)行有效性的公式選擇,結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,先利用兩角和與差的三角函數(shù)公式加以展開,使得復(fù)雜角轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單角,再綜合變形所得的三角函數(shù)關(guān)系式,“逆向”利用兩角和與差的三角函數(shù)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,最后進(jìn)行三角函數(shù)式的變形與求值.

于是sinαcosβ-cosαsinβ=-cosαcosβ-sinαsinβ,即sin (α-β)=-cos (α-β).

所以tan(α-β)=-1.故選擇答案:D.

點(diǎn)評(píng):根據(jù)題設(shè)條件與結(jié)論中相應(yīng)的三角函數(shù)關(guān)系式等信息,正確利用兩角和與差的三角函數(shù)公式在復(fù)雜角與簡(jiǎn)單角之間進(jìn)行“正向”與“逆向”變形處理,有效選取三角函數(shù)公式,以最有效、最簡(jiǎn)便的方式,構(gòu)建題設(shè)條件與結(jié)論之間的聯(lián)系,從而實(shí)現(xiàn)問題的分析與解決.

4 路徑選取的高效性

數(shù)學(xué)運(yùn)算的路徑是多樣性的,合理的積極思考,可以使得運(yùn)算路徑更加高效、更加直接,進(jìn)而借助數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理等的綜合應(yīng)用,提高數(shù)學(xué)運(yùn)算的效率.

例4(2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·12)(多選題)對(duì)任意x,y,x2+y2-xy=1,則( ).

A.x+y≤1 B.x+y≥-2

C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

分析:根據(jù)題設(shè)條件,將條件中的二元方程加以配方處理,轉(zhuǎn)化為兩代數(shù)式的平方和為1的形式,引入?yún)?shù)進(jìn)行三角換元,進(jìn)而選取高效的數(shù)學(xué)運(yùn)算路徑,結(jié)合對(duì)應(yīng)的參數(shù)將x+y,x2+y2表示為三角函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)行恒等變形與處理,利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定對(duì)應(yīng)的取值范圍,進(jìn)而結(jié)合選項(xiàng)來分析與判斷.

解析:由x2+y2-xy=1,配方可得

故選擇答案:BC.

點(diǎn)評(píng):在破解一些涉及代數(shù)式或參數(shù)的取值范圍或最值,以及不等式成立等相關(guān)問題時(shí),經(jīng)常利用三角換元法,將目標(biāo)代數(shù)式或參數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的形式,借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來處理,是解決此類問題中比較高效的一種數(shù)學(xué)運(yùn)算路徑的選取.

在數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中,完善與提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是一個(gè)漸近與螺旋上升的過程.在此過程中,還要不斷強(qiáng)化一些其他方面的能力,如敏銳的觀察力、整體思維能力、化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化能力以及解題全過程的統(tǒng)籌安排能力等,合理調(diào)配,不斷優(yōu)化,真正讓思考融入到數(shù)學(xué)運(yùn)算中去,不斷通過思考優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算,通過數(shù)學(xué)運(yùn)算促進(jìn)思考,形成良性循環(huán).讓數(shù)學(xué)運(yùn)算根植于思考的土壤,借助思考的“翅膀”提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,尋找快樂源泉,讓運(yùn)算過程開出絢麗的思維之花.