? 廣州市第五中學(xué) 邢 燕

1 高中數(shù)學(xué)教與學(xué)中常見的運算問題

1.1 學(xué)生學(xué)習各類運算方法時常見的問題

一些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習中對運算不夠重視,平時學(xué)習和練習中只強化思路訓(xùn)練,不重視運算訓(xùn)練,認為算錯只是大意,只要注意就能避免,殊不知運算也是講技巧和方法的,正確的運算方法可以幫助你算得又快又準,錯誤的運算會導(dǎo)致你總是掉坑.一些學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習中對運算不夠認真,出現(xiàn)看錯數(shù)、算錯數(shù)、計算不嚴謹?shù)痊F(xiàn)象,導(dǎo)致最終答案錯誤.這樣的運算錯誤大部分學(xué)生是歸為粗心,自認為這題我會,只是不小心算錯而已,下次小心就可以了.但事實上,數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一,數(shù)學(xué)的學(xué)習就是要培養(yǎng)學(xué)生認真細致的做事態(tài)度,避免“差之毫厘,謬以千里”.

1.2 教師教學(xué)各類運算方法時常見的問題

首先,有些教師在教學(xué)過程中比較重視概念、定義等知識點的教學(xué),強調(diào)通過概念、定義掌握問題的本質(zhì),常忽略了概念、定義的掌握也需要練習來強化.而數(shù)學(xué)練習中大多需要運算,只有運算正確才能得到正確答案.其次,教師在教學(xué)中往往會重視提問的設(shè)計,分析解題思路,但會忽略解題過程中的運算方法和運算步驟的總結(jié)與歸納.最后,教師在教學(xué)中雖然強調(diào)了正確的運算過程,但忽略了對學(xué)生易錯點的分析,導(dǎo)致學(xué)生總是會而不對,不能通過練習獲得成就感,從而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生厭倦心理,對數(shù)學(xué)學(xué)習失去興趣.

2 提升高中學(xué)生數(shù)學(xué)運算能力的策略

2.1 理解概念,夯實運算根基

利用新授課幫助學(xué)生理解不同的運算有不同的法則,但又有相通的體系.高中階段常用的數(shù)學(xué)運算有整式、分式、根式的運算,指對數(shù)的運算,復(fù)數(shù)、向量的運算,集合運算,三角恒等變形,立體幾何體積、表面積、角和距離的運算,排列組合與概率統(tǒng)計的運算,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、數(shù)列的運算,等等.可以說,數(shù)學(xué)學(xué)習離不開運算,但運算前一定要深入理解知識的來龍去脈,熟練掌握概念、定理、公式.教師要引導(dǎo)學(xué)生將新學(xué)的概念與舊知識進行比較,以加深理解,并鞏固復(fù)習.只有正確理解概念,在運算中才能注意到平方會增根、約分會漏解、對數(shù)函數(shù)要注意定義域等這些細節(jié),才能在運算中保持恒等變換.所謂運算的基本知識和方法,就是明確每種運算所適用的對象和范圍,理解這種運算的數(shù)形關(guān)系,熟悉其逆用、變式及推廣.在教學(xué)中,教師要給出針對性的訓(xùn)練,以加深學(xué)生對概念的理解.例如,“三角函數(shù)恒等變換”中“二倍角公式”這一節(jié)的新課教學(xué),推導(dǎo)出公式,簡單直接運用后,就需要進行公式的逆用、變形訓(xùn)練.

例1求下列各式的值:

(4)cos 20°·cos 40°·cos 80°.

教師可根據(jù)基本概念、基本公式設(shè)計一些題目變式,以問題串形式給出,激發(fā)學(xué)生的思維和興趣,鼓勵他們解決復(fù)雜問題提升數(shù)學(xué)運算能力.這樣可以加深學(xué)生對公式的理解記憶,熟悉公式的不同形式,更好地運用二倍角公式解決有關(guān)倍角、半角的問題,提高運算的正確率.

2.2 優(yōu)化方法,明確運算方向

教師在教學(xué)中要展示不同的解題方法,讓學(xué)生體會不同方法的運算差異.對運算過程中受挫的學(xué)生,教師應(yīng)及時幫助他們發(fā)現(xiàn)和糾正錯誤,鼓勵并指導(dǎo)他們反思總結(jié),改進方法,明確運算方向.同時,為學(xué)生提供多樣化的訓(xùn)練,包括不同難度和題型的題目,以幫助學(xué)生熟悉各種類型的數(shù)學(xué)運算,培養(yǎng)他們的運算能力.例如,求解圓錐曲線中的最值問題,不僅需要運算的基本功,還需要選擇合適的方法,才能簡化運算,正確求解.

圖1

不同背景的題目往往幾個方法都可以解決問題,但不同方法解決問題的難度是不同的,有些簡單直接,有些則比較繁瑣,這就需要優(yōu)化解題策略,選擇合適的運算方法.總之,在教學(xué)中要教會學(xué)生明確運算方向,選擇合適的方法,促進運算能力的提高.

2.3 養(yǎng)成習慣,熟用運算方法

教學(xué)中可利用專項訓(xùn)練提高學(xué)生的運算能力,促使學(xué)生熟練掌握運算方法,養(yǎng)成習慣.專項訓(xùn)練也稱為題組訓(xùn)練,該訓(xùn)練不是盲目的,而是有目的、有計劃地進行各個運算專題的訓(xùn)練.明確的目標可以有效引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習,不做無用功,少走彎路,使學(xué)生在訓(xùn)練中學(xué)會運算的通性通法,達到觸類旁通的效果.這種訓(xùn)練不能搞題海戰(zhàn)術(shù),需要教師精挑細選有變式、有梯度的同類題.認真研究高考真題,參考各地模擬題,可以直接歸類練習,還可以變換數(shù)字、角度進行變式訓(xùn)練.通過對這類高質(zhì)量題的反復(fù)練習,歸納總結(jié),糾錯反思,有效提高學(xué)習效率的同時,也提高了針對這類題的運算能力.學(xué)生在這樣的專題訓(xùn)練中,可以熟練掌握一類題的運算方法,形成“肌肉記憶”,即養(yǎng)成習慣.在復(fù)習課中使用這種訓(xùn)練方法效率高,效果好.例如,在高三一輪復(fù)習中,講解“直線與圓相切”這一節(jié)時,有關(guān)切線長的最值問題,可以給出以下例題和變式.

例3若P為直線y=x+1上一動點,過點P作圓C:(x-3)2+y2=1的切線PA,A為切點,求切線長的最小值.

高考鏈接(2020年新課標Ⅰ卷·理)已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點.過點P作⊙M的切線PA,PB,切點為A,B,當|PM|·|AB|最小時,直線AB方程為______.

深度的變式和高考鏈接,使學(xué)生熟悉這類題目的題設(shè)和所求以及解決這類問題的通性通法,再遇到此類問題時能快速找到最簡單的解題路徑,從而提高學(xué)習效率,對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)運算能力都能起到綜合提升的效果.

3 反思總結(jié)

兩年的實踐探究,我們發(fā)現(xiàn)提升數(shù)學(xué)運算能力對不同的學(xué)生而言有很大的差異,個體的主觀能動性對效果影響極大,唯有持之以恒方有成效.教師需要把數(shù)學(xué)運算的培養(yǎng)貫穿教學(xué)的始終,在教學(xué)中可以運算作為紐帶建構(gòu)教學(xué)進程,引導(dǎo)學(xué)生通過運算發(fā)現(xiàn)規(guī)律,借助運算解決問題[1],發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,促進高中學(xué)生運算思想和運算能力的形成.數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的形成,不僅需要教師的指引,更需要學(xué)生的積極參與,以形成自己的運算習慣和運算觀.數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)是一個循序漸進的過程[2],需要一線教師長期不懈怠的探索和研究.因此,應(yīng)把數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)滲透到每一節(jié)課的教學(xué)中,落到實處.