陳歡

【摘要】行程問題是令很多小學(xué)生望而生畏的難題，為了讓學(xué)生完全掌握行程問題的解題思路，文章從多個角度闡述了行程問題的特點，并講解了該問題的解題技巧.在闡述解題思路的過程中，筆者結(jié)合追及問題、相遇問題等實際生活中可能發(fā)生的例子，以速度、路程和時間的相對關(guān)系作為切入點，探析問題的本質(zhì)，講述解題思路和技巧，在具體教學(xué)過程中采用圖表結(jié)合的教學(xué)手段，讓學(xué)生明白行程問題的關(guān)鍵因素，即物體運動的路線、速度、時間和路程等相對關(guān)系，加強學(xué)生對行程問題的理解，從而提高行程問題的教學(xué)效果和教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】行程問題；多角度；小學(xué)數(shù)學(xué)

行程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的難點問題，也是非常重要的一類數(shù)學(xué)問題.行程問題是從實際生活中抽象出來的數(shù)學(xué)問題，因此行程的計算具有明確的應(yīng)用背景，非常貼合實際生活.解決行程問題需要一定的抽象能力，但是小學(xué)生的抽象思維還沒有得到充分開發(fā)，所以對大部分小學(xué)生而言，行程問題是一類很難的數(shù)學(xué)問題，他們甚至沒有任何解題的思路.因此，教師在教學(xué)過程中需要從多角度切入，帶領(lǐng)學(xué)生分析關(guān)鍵的變量因素，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，讓他們掌握相關(guān)問題的解題思路，進(jìn)而做到舉一反三.

為了讓小學(xué)生面對行程問題時不再束手無策，筆者從行程問題的本質(zhì)出發(fā)，先分清路程、速度、時間三者之間的相對關(guān)系，再輔以行程圖，從多個角度入手，梳理行程問題中的變量關(guān)系，優(yōu)化該問題的解題思路.教學(xué)實踐表明，不同的學(xué)生傾向于使用不同的解題方法，因此從多個角度給小學(xué)生講解行程問題，可以讓他們找到最適合自己的方法和思路，有助于提升整體的教學(xué)效果.

一、小學(xué)生在行程問題中的學(xué)習(xí)障礙

根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐及學(xué)生對行程問題的理解情況，筆者將行程問題的學(xué)習(xí)障礙歸納為以下三種.

（一）行程問題種類繁多

行程問題具有較多的種類，單一性的基礎(chǔ)行程問題包括相遇問題、直線追及問題、環(huán)形追及問題、過橋問題等.多種情況復(fù)合的行程問題包括與往返相結(jié)合的卡車運貨問題、與走走停停相結(jié)合的問題.拓展性的行程問題包括最短或最長路線問題、效率問題，等等.因此，行程問題可能涉及一個或者多個物體的運動，與簡單的完成工作量問題不一樣，工作量通過工作效率與工作時間相乘就能算出，行程問題則要考慮多個物體之間的相對關(guān)系，抓住關(guān)鍵的點.而每種行程問題的關(guān)鍵點并不一樣，加上小學(xué)生的抽象思維還沒有得到充分開發(fā)，導(dǎo)致其對抽象問題的理解能力不強，使得行程問題成為他們學(xué)習(xí)之路上的攔路石.

（二）行程問題是一個動態(tài)變化的問題

行程問題在本質(zhì)上是經(jīng)過速度和時間累積效應(yīng)后，反映物體之間路程的變化的問題，這個變化是動態(tài)的變化，而不是靜態(tài)的.因此，行程問題需要學(xué)生針對每個物體的運動情況，進(jìn)行演繹和推理，而且行程問題涉及多種類型，每種類型都有著不同的考查重點.對抽象思維能力較弱的小學(xué)生而言，較難理解，特別是多種情況復(fù)合而成的行程問題，可能涉及多個物體的運動，而且每個物體的速度不同，因此它們之間的路程和時間等關(guān)系就變得復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生難以掌握它們的關(guān)鍵點.

（三）在行程問題中融入了奧數(shù)等較難的知識

有些行程問題融合了奧數(shù)中的相關(guān)知識與方法.對于大部分小學(xué)生而言，行程問題本身就較難，再融入奧數(shù)知識，難度系數(shù)猛然加大.面對這類題目，大部分學(xué)生都一籌莫展.

二、行程問題的多角度切入教學(xué)

為了讓學(xué)生理解行程問題的本質(zhì)，教師在教學(xué)的過程中需要使用多種教學(xué)手段，從多角度切入教學(xué)，讓學(xué)生把行程問題學(xué)好.在行程問題教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了三位數(shù)的乘法，對路程、時間及移動速度具有一定的認(rèn)識和理解.教師在教學(xué)行程問題的過程中，首先要為學(xué)生樹立學(xué)習(xí)的決心和信心，其次要在教學(xué)的過程中涵蓋所有的題型并講解對應(yīng)的思路以及關(guān)鍵問題，最后讓學(xué)生從簡單的問題入手，去發(fā)現(xiàn)規(guī)律并利用規(guī)律解題，從而徹底“征服”行程問題.

（一）從實際問題切入，模擬行程問題的情境

基本的行程問題源于實際生活，復(fù)雜的行程問題是從中抽象和提升并經(jīng)過演化和改進(jìn)形成的，對基本行程問題進(jìn)行了拔高，具有更加抽象的特征.因此教師在給小學(xué)生講解行程問題的時候，可以將行程問題和實際問題相結(jié)合，使抽象問題具體化，讓學(xué)生根據(jù)實際生活經(jīng)驗理解行程問題，從而提高教學(xué)質(zhì)量.

如兩艘船在江水中的追及問題：“船A在靜水中的最大行進(jìn)速度是每小時32千米，船B在靜水中的最大行進(jìn)速度是每小時35千米，船A和船B在江中行駛，船A順流而下，船B逆流而上，它們的距離是20千米，江中的水流速度是每小時2千米.在兩船都以最大速度行駛的情況下，需要多長時間相遇？相遇時各行駛了多少千米？”在這個問題中，計算相遇時間時需要計算兩船的速度之和，而江水流速對兩船的速度是一增一減，因此可以不考慮江水的速度，直接用船A和船B在靜水中的速度之和以及它們的距離計算相遇的時間.但是在計算船A和船B各自行駛的路程時，則需要考慮水流速度，船A的速度加上江水的速度，再乘相遇的時間即可得到船A路程，船B的路程可以用總的距離減去船A的路程得到.當(dāng)學(xué)生不理解船只行駛的相遇問題時，教師可以讓四名學(xué)生上臺演示，兩名學(xué)生相向而行，模擬船只的航行；另外兩名學(xué)生通過向前推和往后拉的方式，模擬水流對船只的影響，從而讓學(xué)生更容易理解河流中船只的追及和相遇問題.

（二）從審題切入，培養(yǎng)學(xué)生的理解能力

審清楚題目是正確做題的前提，行程問題也一樣，學(xué)生必須完全理解題目的意思，理解每個物體在行程問題中發(fā)揮的作用，才能理順?biāo)悸?，知道如何解題.如在上述船A和船B的相遇問題中，學(xué)生在審題過程中必須清楚水流的作用，它對順流的船只起到加速的作用，對逆流的船只起到減速的作用.但是水的流速，在計算時間方面其實是不起作用的，如相向而行時，計算時兩船的速度影響可相互抵消，水流對兩船速度的影響分別是一增一減，由水流造成的速度之和為零.若兩船是同向行駛，計算它們相遇的時間主要考慮的是兩船的速度差和距離，水流對兩艘船的作用都是增速或者減速，其速度差為零.因此在計算相遇時間時，可以不考慮水流的速度；在計算各自行駛的路程時，才將水流速度納入考慮范圍.學(xué)生如果理解了水流速度的作用，就能更加清楚地理解這種行程問題.

（三）繪制行程圖，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維

行程問題是一個動態(tài)問題，當(dāng)涉及多個物體的相對運動時，教師可以教會學(xué)生使用行程圖幫助理解.行程圖能夠再現(xiàn)物體運動、變化的軌跡，幫助學(xué)生分析問題，同時可以激發(fā)和培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力.

行程問題一般都與物體的運動有關(guān)，因此行程圖包括物體的位移、速度等變量，而速度不僅有大小，還有方向，應(yīng)該用向量表示.因此，一幅完整的行程圖包括物體、速度大小、速度方向等.學(xué)生繪圖時應(yīng)該堅持以下幾個原則：（1）認(rèn)真審題，準(zhǔn)確分析題目的意思，明確各物體之間的相對關(guān)系，清晰地掌握速度等參數(shù)及其和問題之間的聯(lián)系；（2）在完成審題的基礎(chǔ)上繪圖，繪圖的過程中應(yīng)一邊讀題一邊畫圖，兼顧每個物體的速度等關(guān)系，根據(jù)它們的條件合理繪圖；（3）行程圖應(yīng)該清晰，利用粗細(xì)不一的線條或者虛實線等方式進(jìn)行區(qū)分，防止混淆多個物體的運動情況.

（四）從路程、時間和速度這三個關(guān)鍵因素切入

行程問題表面上涉及的是路程的相對變化，但路程的變化是由速度和時間的累積效應(yīng)造成的，因此，其實質(zhì)是速度和時間共同作用的結(jié)果.在實際解題過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生從路程、速度和時間這三個因素中選擇一個或者兩個關(guān)系最簡單的作為主線，完成它的計算后，再計算其他因素，從而使整個問題簡單化.例如前面提到的行船問題，其時間關(guān)系是最為簡單的，不受水流速度影響，根據(jù)船A和船B在靜水中的速度和以及它們的距離直接求取時間，然后利用時間分別求取船A和船B的路程.因此，審題過程中，從最簡單的因素著手有助于快速解決問題.

三、行程問題的解法及優(yōu)化

行程問題通常包括以下幾種情況或由這些基本情況衍生而來：（1）追及問題，這類問題不僅包括簡單的一次、多次追及或者相遇問題，也可以衍生出流水中行船的相遇和追及問題；（2）變速變道問題，這類問題需要綜合用到比例、分段、分步等多種手段；（3）火車過橋或者涵洞問題；（4）發(fā)車問題；（5）時鐘問題（循環(huán)路徑下的相遇和追及問題）；（6）接送問題.

（一）常用的五種解題方法

一般情況下，針對行程問題有五種解題方法：（1）公式法，利用基本公式及其變形，根據(jù)題目推理路程和速度、時間之間的關(guān)系，直接利用公式計算答案；（2）圖示法，圖示法通常是一種輔助的方法，但是它能夠幫助學(xué)生將復(fù)雜的問題清晰地展示出來，使學(xué)生更容易理解運動的過程，從而更容易解題；（3）比例法，在理解問題的基礎(chǔ)上，利用比例關(guān)系可以直接求取結(jié)果；（4）分段法，在物體的運動速度是變速的情況下，應(yīng)該把加速、減速階段和勻速階段分開，最后把結(jié)果合起來計算；（5）方程法，針對關(guān)系特別復(fù)雜的情況，直接用公式或者比例難以求解，可以根據(jù)某個關(guān)系列出方程順利求解.教師在課堂上講解行程問題時，可以把解題方法和實際問題結(jié)合起來.

在實際運用的過程中，這五種基本方法可以相互組合，圖示法通常是基礎(chǔ)，學(xué)生應(yīng)該掌握好，并在此基礎(chǔ)上將公式法、比例法、分段法、方程法等組合起來，解決復(fù)雜問題.

（二）行程問題的優(yōu)化方法

在解決行程問題的過程中，學(xué)生應(yīng)該抓住它們的相對關(guān)系進(jìn)行優(yōu)化，從而快速地解決問題.例如前面提到的行船問題，兩艘船相向或者同向而行，水流對兩艘船相遇時間的綜合影響為零，因此可以不考慮水流的速度，直接由船A和船B在靜水中的速度計算時間，從而快速實現(xiàn)時間的計算，然后考慮水流速度，計算路程.

因此，對于復(fù)雜的行程問題，教師可引導(dǎo)學(xué)生將其優(yōu)化成多個基礎(chǔ)的行程問題再加起來，并在計算的過程中先計算較為簡單的變量，最后計算復(fù)雜的變量.

結(jié) 論

行程問題涉及路程、速度和時間的動態(tài)變化，對小學(xué)生而言是比較復(fù)雜的問題.學(xué)生應(yīng)該首先掌握基本的行程問題，然后在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)復(fù)雜的行程問題.復(fù)雜的行程問題可以分解為簡單行程問題的組合，或者變換一個角度，將復(fù)雜的行程問題用簡單的方式解決.在解題過程中，學(xué)生應(yīng)該結(jié)合實際問題進(jìn)行推演，在認(rèn)真審題的基礎(chǔ)上，繪制行程圖幫助理解.行程問題中，物體的路程、速度和時間是解題的關(guān)鍵因素，學(xué)生應(yīng)該緊密圍繞這三個關(guān)鍵的因素，分析它們的變化規(guī)律，從而找到正確的解題思路，用簡單的辦法解決復(fù)雜的問題.

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