張水利，屈聰，嚴(yán)磊，惠志昊

（平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南平頂山 467000）

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程是高校理工、經(jīng)管類等專業(yè)重要的公共數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，對培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)及隨機(jī)問題的處理有重要的作用。提高概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的課堂教學(xué)質(zhì)量，注重育人效果，利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識解決實(shí)際問題是本課程進(jìn)行教學(xué)改革的一個(gè)重要方向。

本文在以學(xué)生為中心的理念下，基于BOPPPS教學(xué)模式對離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行設(shè)計(jì)，深挖課程思政元素，并把課程思政元素巧妙地融入教學(xué)過程中，在教學(xué)中既注重知識的傳授，又關(guān)注思想政治的教育，真正做到知識傳授、價(jià)值引領(lǐng)與能力培養(yǎng)有機(jī)融合。

一、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)現(xiàn)狀

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程的教學(xué)中主要存在以下問題：

第一，重理論輕應(yīng)用。對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本知識、原理等理論講授比較詳細(xì)，與實(shí)際生活相關(guān)的案例講得比較少，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力培養(yǎng)不夠。

第二，教學(xué)模式落后。傳統(tǒng)的教學(xué)模式中以教師講授為主，缺乏課堂互動(dòng)，學(xué)生是被動(dòng)學(xué)習(xí)，不能很好調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，課堂教學(xué)目標(biāo)難以完成。

第三，考核方式單一。在考核方式方面，以期末考試成績?yōu)橹?，平時(shí)成績以考勤和作業(yè)進(jìn)行評價(jià)，占比較小。同時(shí)這種考核方式只考核了學(xué)生知識掌握情況，缺少能力和素質(zhì)的考核和評價(jià)。

針對教學(xué)過程中存在的問題，有必要對概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)進(jìn)行改革，國內(nèi)許多教師在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)改革方面取得了一定的成果。例如，臧鴻雁、劉林、張志剛[1]給出了兩個(gè)教學(xué)案例，其中一個(gè)是利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的知識點(diǎn)，給出了新冠篩查中逐一檢驗(yàn)和分組檢驗(yàn)的問題，并進(jìn)行了問題的引申研究；結(jié)合概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中相關(guān)系數(shù)定義以及基于概率的信息熵的概念，給出了圖像加密的安全性問題的教學(xué)案例，通過案例教學(xué)，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)能夠培養(yǎng)學(xué)生利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識分析和解決實(shí)際問題的意識和能力。徐爾等[2]進(jìn)行翻轉(zhuǎn)課堂和線上線下混合式教學(xué)，實(shí)施全程性和多元化的考核方式，從“知識傳授型”“能力培養(yǎng)型”轉(zhuǎn)變。吳波[3]以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)為案例，對金課的特征進(jìn)行分析，從教學(xué)的難度、教學(xué)的深度、教學(xué)的廣度、教學(xué)的高度、教學(xué)的強(qiáng)度、教學(xué)的精度和教學(xué)的溫度七個(gè)方面進(jìn)行闡述和分析，在分析過程中列舉了大量的案例，具有一定的示范性和推廣性。

二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程思政的研究現(xiàn)狀

立德樹人是高等學(xué)校的根本任務(wù)，也是時(shí)代賦予高等學(xué)校的歷史使命。為了落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，要把立德樹人體現(xiàn)在各門課程的教學(xué)中，滲透到各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中。而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是與實(shí)際生活密切相關(guān)的一門課程，如何挖掘課程思政元素，并有效融入教育教學(xué)過程中是任課教師面臨的重要課題。

法國著名的數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾說過一句名言：生活中那些重要的問題絕大部分屬于概率問題。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程在課程思政方面具有一定的先天優(yōu)勢。目前，已有部分教師在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程思政方面進(jìn)行了探索和實(shí)踐，例如，沈愛婷、張玉[4]在教學(xué)過程中貫徹“以人為本”的教育理念，從學(xué)生的角度和實(shí)際情況出發(fā)，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和開展教學(xué)，在古典概率中以“生日問題”“體育競賽中，三局兩勝還是五局三勝對于實(shí)力較強(qiáng)的隊(duì)有利”案例來增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；以“設(shè)備維護(hù)”為案例，引導(dǎo)學(xué)生利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的思想和方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決實(shí)際問題的能力。閆莉等[5]從以“新冠疫情的基本再生數(shù)95%的置信區(qū)間”為例，引入置信區(qū)間、置信上限、置信上限等概念，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。劉淑環(huán)[6]以教學(xué)案例引入大量的生活常識、諺語、搭建知識結(jié)構(gòu)體系等教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生把概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識應(yīng)用于實(shí)際生活，將辯證唯物主義、社會主義核心價(jià)值觀等思政元素融入課程教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)立德樹人的目標(biāo)，以“三個(gè)臭皮匠，賽過諸葛亮”為案例，體現(xiàn)出團(tuán)隊(duì)合作的力量。張艷偉[7]主要從思政教育融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的方法、實(shí)施步驟兩個(gè)方面來闡述如何在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中進(jìn)行課程思政，在實(shí)施步驟方面，從概率統(tǒng)計(jì)概念、概率統(tǒng)計(jì)定理、概率統(tǒng)計(jì)原理、概率統(tǒng)計(jì)方法四個(gè)方面來闡述實(shí)施課程思政的過程。

三、BOPPPS 教學(xué)模式

BOPPPS模式以交際法和建構(gòu)主義為理論依據(jù)，基于以學(xué)生為中心的基本教學(xué)理念，根據(jù)人的注意力集中時(shí)間一般為15分鐘內(nèi)的自然特點(diǎn)，采取模塊化分解的方式，將教學(xué)過程切割為5～15分鐘的多個(gè)教學(xué)模塊。BOPPPS模式將教學(xué)過程劃分為引入（Bridgein）、目標(biāo) （Objective）、前測 （Pre-assessment）、參與式學(xué)習(xí) （Participatory learning）、后測 （Postassessment）和小結(jié) （Summary）6 個(gè)教學(xué)模塊。上述6個(gè)教學(xué)模塊構(gòu)成一個(gè)完整的、有效的課堂教學(xué)過程。該教學(xué)模式根據(jù)學(xué)生和教師特點(diǎn)、實(shí)際情況進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，并且非常注重學(xué)生的參與式學(xué)習(xí)，能夠有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性。

BOPPPS教學(xué)模式作為一種理念比較先進(jìn)，實(shí)踐性比較強(qiáng)的教學(xué)模式，國內(nèi)很多教師在教學(xué)過程中積極進(jìn)行教學(xué)改革實(shí)踐，利用BOPPPS教學(xué)模型進(jìn)行教學(xué)創(chuàng)新。例如，王麗霞、李雙東[8]以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程中極大似然估計(jì)法的教學(xué)為例，分析BOPPPS教學(xué)模式引入獨(dú)立學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程教學(xué)的可行性和實(shí)踐效果。儲亞偉、葉薇薇、王海坤[9]以“一階非齊次線性微分方程的解法”為例，探討了基于BOPPPS教學(xué)模式的高等數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)的方法，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，將數(shù)學(xué)思想方法融入課堂教學(xué)，以學(xué)生為中心、以問題為導(dǎo)向的探究式教學(xué)，注重知識的認(rèn)知過程，強(qiáng)調(diào)從已知到未知的自然過渡的互動(dòng)式教學(xué)。

四、BOPPPS 模式下“離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望”教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）導(dǎo)入（Bridge-in）

導(dǎo)入作為教學(xué)的第一個(gè)環(huán)節(jié)，對課堂教學(xué)起到至關(guān)重要的作用。如果導(dǎo)入案例選擇有新意，能夠吸引學(xué)生，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和好奇心，進(jìn)而跟隨教師進(jìn)行課堂的學(xué)習(xí)。本節(jié)課，教師可以先讓學(xué)生觀看一段關(guān)于沉迷于購買彩票，最后走上歧途的視頻報(bào)道，提出一個(gè)問題：國家發(fā)行“福利彩票”“體育彩票”的初衷是為了讓人一夜暴富嗎？為什么有些人為購買彩票而傾家蕩產(chǎn)，甚至走上歧途？學(xué)生在觀看完視頻后，針對上面兩個(gè)問題進(jìn)行討論，得出結(jié)論并進(jìn)行分享。針對學(xué)生的分享情況，教師進(jìn)行評價(jià)和引導(dǎo)，并向?qū)W生說明通過本節(jié)課知識的學(xué)習(xí)，可以探尋國家發(fā)行彩票的初衷。

以人們比較關(guān)注的彩票問題為引例，既能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生不要沉迷于一夜暴富的美夢，真正體會幸福是奮斗出來的。

（二）教學(xué)目標(biāo)（Objective）

在多媒體PPT中列出學(xué)生要達(dá)成的學(xué)習(xí)目標(biāo)，具體包括知識目標(biāo)、能力目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)。

知識目標(biāo)：理解離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義以及隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望公式，會利用離散型隨機(jī)變量的定義及公式進(jìn)行計(jì)算，掌握常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、探究知識的能力；提高學(xué)生分析與解決實(shí)際問題的能力。

素質(zhì)目標(biāo)：學(xué)生能更加體會到“只要人人都獻(xiàn)出一點(diǎn)愛，世界將變成美好的明天”，培養(yǎng)學(xué)生的奉獻(xiàn)精神；具有規(guī)則意識，能自覺遵守各類規(guī)則；能透過表面現(xiàn)象看到本質(zhì)。

（三）前測（Pre-assessment）

前測階段主要是用于測評學(xué)生現(xiàn)有的知識水平，了解學(xué)生對與本節(jié)課相關(guān)知識的掌握情況。以習(xí)題的形式在學(xué)習(xí)通里面發(fā)布古典概率的計(jì)算、正項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)等內(nèi)容，對學(xué)生進(jìn)行測試，把握學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握情況，進(jìn)而調(diào)整教學(xué)安排。

（四）參與式學(xué)習(xí)（Participatory learning）

本階段是課堂教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，參與式學(xué)習(xí)的過程強(qiáng)調(diào)通過生生互動(dòng)、師生互動(dòng)來實(shí)現(xiàn)課程核心內(nèi)容的交互式學(xué)習(xí)。參與式學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為主體、以教師為主導(dǎo)，通過分組討論和問題驅(qū)動(dòng)進(jìn)行實(shí)施，激發(fā)學(xué)生進(jìn)行自主思考和凝練總結(jié)，整個(gè)參與式學(xué)習(xí)過程是不斷提出新問題、解決問題的一個(gè)過程。

首先結(jié)合離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，讓學(xué)生討論算術(shù)平均和加權(quán)平均的區(qū)別和聯(lián)系，為什么要求級數(shù)絕對收斂，并給出結(jié)論。教師強(qiáng)調(diào)在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望時(shí)，融入思政元素，要嚴(yán)格按照規(guī)則進(jìn)行計(jì)算，否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤。一方面對概念的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行強(qiáng)調(diào)，另一方面引導(dǎo)學(xué)生在生活中一定要嚴(yán)格遵守規(guī)則，遵紀(jì)守法（如交通規(guī)則、學(xué)校規(guī)章制度等），否則會付出慘重代價(jià)。

讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)期望的定義計(jì)算兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布和泊松分布的數(shù)學(xué)期望，并讓學(xué)生進(jìn)行分享自己的結(jié)果。教師根據(jù)學(xué)生的分享情況進(jìn)行點(diǎn)評和講解。

例1 （彩票的真實(shí)價(jià)值，以福彩3D直選為例）從0～9中任選3個(gè)數(shù)字排成一列進(jìn)行投注，中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金為1 000元。該彩票中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的期望值是多少？

解：用x表示彩票中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金，則隨機(jī)變量X的取值為0元和1000元，而中獎(jiǎng)的概率為1/1000，因此隨機(jī)變量x的分布列為

X 0 1000 P 0.999 0.001

由數(shù)學(xué)期望的定義可知，

E(X)=0×0.999+1000×0.001=1

即該彩票中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的期望值是1元。

通過計(jì)算可知，2元錢購買的一張彩票真實(shí)價(jià)值在1元左右，剩余的1元錢用于什么呢？從中國福利彩票官網(wǎng)公開的信息可知，中央專項(xiàng)彩票公益金具體支出包括以下方面：支持地方社會公益金、扶貧事業(yè)、殘疾人事業(yè)、醫(yī)療救助、教育助學(xué)、養(yǎng)老公共服務(wù)、文化公益事業(yè)、紅十字事業(yè)、法律援助等。

通過計(jì)算彩票中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的期望值或一張彩票的真實(shí)價(jià)值，了解福利彩票公益金的分配和使用情況，讓學(xué)生自己體會國家發(fā)行福利彩票的初衷，不是為了讓人們一夜暴富，而是為了人們獻(xiàn)出一點(diǎn)愛心，為國家的公益事業(yè)做出貢獻(xiàn)。

例2 （免費(fèi)摸獎(jiǎng)的真相）袋中有大小相同的球20個(gè)，10個(gè)10分，10個(gè)5分，從中摸出10個(gè)球，摸出的球分?jǐn)?shù)之和即為中獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)，獲獎(jiǎng)如下：

等級 分?jǐn)?shù) 獎(jiǎng)金 等級 分?jǐn)?shù) 獎(jiǎng)金一等獎(jiǎng) 100 2500元 六等獎(jiǎng) 65 8元二等獎(jiǎng) 50 1000元 七等獎(jiǎng) 70 5元三等獎(jiǎng) 95 176元 八等獎(jiǎng) 85 3元四等獎(jiǎng) 55 88元 九等獎(jiǎng) 90 2元五等獎(jiǎng) 60 44元 十等獎(jiǎng) 75或85 -22元

以免費(fèi)摸獎(jiǎng)為例，利用古典概率計(jì)算每次中獎(jiǎng)的概率，可以得到每次摸獎(jiǎng)中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金的期望值，來揭示免費(fèi)摸獎(jiǎng)的真相，讓學(xué)生體會到不要被表面現(xiàn)象所迷惑，需要透過現(xiàn)象看到本質(zhì)。

（五）后測（Post-assessment）

后測指在學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)后，對教學(xué)效果進(jìn)行評價(jià)，以了解學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)成效是否達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，為后續(xù)的教學(xué)做鋪墊。具體為：給出一些具有實(shí)際應(yīng)用背景的例題，把實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，得到離散型隨機(jī)變量的分布列，利用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式進(jìn)行計(jì)算。

為了提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，考查學(xué)生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握情況，讓學(xué)生利用古典概率和離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為福彩中心設(shè)計(jì)一種彩票，并說明設(shè)計(jì)理由和分析優(yōu)缺點(diǎn)。

（六）總結(jié)（Summary）

課堂總結(jié)能夠幫助學(xué)習(xí)者回顧和整理所學(xué)內(nèi)容、形成總體認(rèn)識，促進(jìn)學(xué)習(xí)者反思自己的學(xué)習(xí)成果，并提供機(jī)會將所學(xué)知識系統(tǒng)化?？偨Y(jié)本次課主要內(nèi)容為：“三公式三結(jié)論”，即三個(gè)離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式，三個(gè)常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。通過比較簡單的語言，把本節(jié)課的核心框架進(jìn)行總結(jié)，便于學(xué)習(xí)進(jìn)行理解和掌握。

五、結(jié)束語

本文基于BOPPPS教學(xué)模型對離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，通過改變傳統(tǒng)教學(xué)模式，學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)過程中能夠積極參與教學(xué)過程，體現(xiàn)了教師主導(dǎo)、學(xué)生主體的教學(xué)理念。同時(shí)在教學(xué)中融入的課程思政元素，將概率統(tǒng)計(jì)知識與思想教育進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，逐步把本課程打造為不僅含有豐富專業(yè)知識元素，還包含豐富思政元素的課程，幫助學(xué)生樹立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀，培養(yǎng)合格的社會主義建設(shè)者和接班人。