林昭巒

［摘? 要］ 數(shù)學模型是聯(lián)系生活實際與數(shù)學學科的橋梁，學生建構(gòu)數(shù)學模型的過程既是將生活實際“數(shù)學化”的過程，又是學生的思維得以有效訓練的過程。文章認為創(chuàng)設生活情境為建模的基礎，抽象事物本質(zhì)為建模的關鍵，滲透數(shù)學思想是建模的靈魂，解決實際問題是建模的拓展。

［關鍵詞］ 模型；建模；數(shù)學思想

學生建構(gòu)數(shù)學模型的過程既是訓練思維的過程，也是“數(shù)學化”的過程。數(shù)學建模能有效地幫助學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學、創(chuàng)造數(shù)學、形成解題技巧和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)等。在小學數(shù)學建模教學中，教師應從知識的本質(zhì)與價值著手，進行深度剖析與思考，力求讓學生感悟數(shù)學建模的過程，為形成良好的模型思想奠定基礎。

一、創(chuàng)設生活情境——建模的基礎

數(shù)學模型是聯(lián)系數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的橋梁，任何模型的獲得都源自對實際生活的抽象。因此，教師要創(chuàng)設豐富的生活情境給學生感知知識再創(chuàng)造的機會，讓學生在情境，中感知生活與數(shù)學的自然聯(lián)系，為科學建模奠定基礎。

建模之前，學生需要對模型的原有形態(tài)有一個大致的了解，只有掌握模型原有形態(tài)的特點，才能從真正意義上通過模型來簡化問題。但是，小學生的生活閱歷尚淺，認知水平不高，對生活實際問題的理解不夠深刻，這些會導致學生從實際問題中抽象模型時出現(xiàn)障礙。想要在這方面有所突破，教師應組織學生參加社會實踐活動，引導學生親歷生活實際，獲得良好的生活體驗，讓學生主動獲取相關的數(shù)學信息與材料，增強數(shù)學意識。

教師在創(chuàng)設問題背景時，應考慮學生的認知水平，分析學生是否對背景材料感興趣。當然，創(chuàng)造性地使用教材也是一個好方法，教材是教學的主要依據(jù)，是學生賴以學習的根本。結(jié)合教學內(nèi)容創(chuàng)設情境，既可以彌補只依靠教材教學所帶來的枯燥性與抽象性，又能豐富學生的認知背景，為簡化問題、建構(gòu)模型的教學奠定基礎。

案例1? “平均數(shù)”的教學

情境：某小學正在建造花圃，磚塊堆放的位置影響了學生的正常通行。如圖1，甲、乙兩組學生準備將這些磚塊清理掉，并在教師的組織下進行了1分鐘的搬磚比賽。

問題：（1）通過讀題審題，大家獲得哪些信息？

（2）哪組搬得快？為什么？（從圖1所提供的信息來看，甲組一共搬了15塊磚，乙組一共搬了12塊磚，顯然是甲組搬的總量多，由此可確定甲組搬得快）

（3）若乙組來1名學生幫忙，他1分鐘可以搬4塊磚，此時乙組所搬磚塊的總量就是16塊，由此可判定乙組贏得了比賽，對嗎？

（4）若你是甲組成員之一，對這個比賽有沒有反對意見？為什么？

（5）比賽必須講究公平，在人數(shù)不相同的情況下，不能用比總數(shù)的方法來確定比賽勝負。在人數(shù)不同的情況下，有沒有辦法來判斷哪組搬得快呢？

（6）既然大家提出利用平均數(shù)來比較，究竟什么是平均數(shù)呢？（要求學生結(jié)合自身已有的認知經(jīng)驗進行解釋）

（7）這里我們涉及兩種（磚塊數(shù)量與平均數(shù)）評判勝負的標準，你們覺得這兩種標準在適用范圍上有什么區(qū)別？

豐富的生活情境與平均數(shù)的意義有機地融合在一起，在激發(fā)學生探索欲的同時還將平均數(shù)的本質(zhì)隱含在情境中。這個情境具有模糊性與開放性特征，學生不能在短時間內(nèi)就完全認清情境的內(nèi)涵。因此，教師通過分層提問的方式，激發(fā)學生的思維矛盾，讓學生自主獲得更好的評判標準，為平均數(shù)的出場做了充足的準備。隨著問題的有序推進，學生的認知也隨之深入。

此過程是幫助學生從常見的生活比賽場景中抽象平均數(shù)的過程，這不僅反映出甲、乙兩組搬運速度的快慢，還讓學生從中感知平均數(shù)的概念。通過生活情境導入，促使學生自主建構(gòu)模型，初步認識平均數(shù)的意義。

二、抽象本質(zhì)屬性——建模的關鍵

讓學生在教學活動中，經(jīng)歷觀察、分析、比較、判斷等過程，抽象出數(shù)學事物的本質(zhì)屬性是建模的關鍵，這也是數(shù)學建模最重要的環(huán)節(jié)。培養(yǎng)學生的能力是數(shù)學教學的主要目標，一直以來，能力立意的教學原則讓教師越來越注重培養(yǎng)學生的自主概括與抽象能力，期望學生在學習過程中通過自主探索抽象出數(shù)學事物的本質(zhì)。

案例2? “分數(shù)的初步認識”的教學

分數(shù)的本質(zhì)是什么呢？這是本節(jié)課教學的重點與難點。為了引導學生自主抽象出分數(shù)的本質(zhì)，筆者結(jié)合學生的實際情況，設計了三個環(huán)節(jié)來開展教學。

1. 鋪墊

筆者利用多媒體的直觀演示功能，展示盤子里裝有1塊蛋糕的圖片，提出問題：這里有1塊蛋糕，現(xiàn)在將這塊蛋糕平均分給4個小朋友，每個小朋友能獲得多少蛋糕呢？

生1：每個小朋友都可以獲得這塊蛋糕的1/4。

師：不錯，大家是怎么想到1/4這個數(shù)的？

生2：結(jié)合我們的生活實際，將1個物品平均分成4份，那么每1份應該是原來這個物品的1/4，因此每個小朋友所獲得的蛋糕為原蛋糕的1/4。

教師肯定了學生的說法，并用PPT展示具有典型意義的圖片（如圖2），讓學生從中感知圖形與分蛋糕情境類似的體驗，強化學生對1/4的理解。

2. 思辨

筆者借助多媒體展示被布遮擋的蛋糕的圖片，要求學生說一說布下的蛋糕該怎么分。

生3：我們可以將布下的蛋糕平均分成4份，每個小朋友1份。

師：這塊布下面到底有多少蛋糕呢？我們一起將布揭開看一看（利用多媒體的動畫功能，揭開布，展示布下的8塊蛋糕），現(xiàn)在該怎么分呢？

生4：每個小朋友要得到這些蛋糕的1/4，但是有8塊蛋糕……

生5：剛才圖片展示了1/4的表達方式，但這里有8塊蛋糕，貌似不能用剛才的圖片來解釋。

生6：其實我們可以將這8塊蛋糕理解為原來的1大塊蛋糕，現(xiàn)在我們依然把它們平均分為4份，每人獲得其中的1/4。

生7：貌似可以這么理解，原來將1塊蛋糕理解為一個整體，現(xiàn)在我們將8塊蛋糕理解為一個整體，那么每個小朋友都可以獲得這些蛋糕的1/4，同樣也可以用圖2來表示。

師：非常棒！生7提到“整體”這個詞，特別有意義。確實，我們可以先將兩次待分配的蛋糕理解成一個整體，然后將它們平均分為4份，那么每個小朋友所獲得的量即為原蛋糕總量的1/4。

3. 提升

師：通過剛才的分析，我們解決了“布下蛋糕的總數(shù)為8塊，將它們平均分給4個小朋友”的問題。假設盤子里有12塊蛋糕，我們該怎么用圖來表示這些蛋糕的1/4呢？

（學生畫圖，交流）

生8：通過分析，發(fā)現(xiàn)依然可以用圖2來表達這12塊蛋糕的1/4。

師：哦，此話怎講？為什么可以通用圖2這幅圖？

生9：我們將這12塊蛋糕理解為大長方形，4個小朋友每個人獲得其中的1份，就是獲得該長方形的1/4，因此用圖來表達的形式是一樣的。

師：綜上，我們發(fā)現(xiàn)不論是1塊蛋糕，還是8塊、12塊蛋糕，都可以用圖2來表示其中的1/4這張圖還能表達多少塊蛋糕的1/4呢？

（學生交流）

生10：可以表示16、20、24、28、32……

師：總之，圖2所代表的是一個整體，也就是說不論這個大長方形表示的是多少塊蛋糕，若將它平均分為4份，則陰影部分所表示的是這些蛋糕的1/4。

隨著教師循循善誘的引導與學生的自主探索，學生的思維經(jīng)歷“猜想—操作”的變化過程。隨著各種觀點的提出、辯論與分析，學生對“1塊蛋糕的1/4”和“某些蛋糕的1/4”有了明確的認識。這個過程不僅凸顯了數(shù)學中的“整體”的重要性，還讓學生抽離了“蛋糕數(shù)量”這個非本質(zhì)屬性特征。隨著認識的逐漸深入，學生抽象出分數(shù)的本質(zhì)，成功地建立了1/4的直觀模型，其思維能力在此過程中得以快速提升。

三、滲透數(shù)學思想——建模的靈魂

數(shù)學思想在數(shù)學學習中的重要性是不言而喻的，它是數(shù)學教學的精髓與靈魂。在數(shù)學建模教學中，教師應立足于學生的視角，通過各種手段滲透數(shù)學思想方法，力爭讓學生的思維在潤物細無聲的感悟與體驗中不斷加寬與加厚，形成各種數(shù)學思想方法，提高數(shù)學應用能力。

案例3? ?“簡單的排列組合”的教學

本節(jié)課對于小學生來說確實比較抽象，為了讓學生能明白排列組合的內(nèi)涵，教師可以在本節(jié)課滲透分類討論的思想方法，以引導學生進行有效推理，自主建構(gòu)知識體系。

問題情境：小明到超市購買冰激凌，看到香草味的冰激凌標價為5元，他手中有1張5元、2張2元、5張1元的紙幣，若購買1個冰激凌，有多少種付款方式？

（學生分組交流，將討論結(jié)果填入表格1）

師：只有這幾種方案嗎？有沒有遺漏？

（學生支支吾吾，無法確定）

師：現(xiàn)在我們假設小明依次按照5、2、1元的順序付款，若將他手中所擁有的錢幣根據(jù)其面值與張數(shù)排列，可得表2。

師：觀察表2，現(xiàn)在你們覺得找全了沒有？

生（齊聲）：找全了！

師：為什么這么肯定？一定沒有遺漏嗎？

生：因為是按照順序逐一尋找的，每種情況都考慮到了，不存在遺漏的可能。

原本雜亂無章的排序方法，隨著教師巧妙引導而理順了，學生的思維實現(xiàn)了從無序到有序的轉(zhuǎn)化。分類討論的過程讓學生充分感知分類討論思想的重要性。

四、解決實際問題——建模的拓展

小學生受認知水平與生活經(jīng)驗的限制，對生活事物的認識還比較膚淺。將課堂上所建構(gòu)的數(shù)學模型用來分析生活實際中的數(shù)學現(xiàn)象，不僅能有效地激發(fā)學生的探索欲，還能拓展模型的應用范圍，深化學生對模型的理解，為他們靈活應用模型奠定基礎。同時，學生在感知學以致用的過程中，還能充分體悟到數(shù)學獨有的魅力。

案例4? “抽屜原理”的教學

抽屜原理是有些學生學習的薄弱之處，其實只要學生在掌握模型的基礎上，弄清知識的本質(zhì)，這些問題并不難解決。

師：抽屜原理由德國數(shù)學家狄利克雷于1834年提出。我們以鴿子飛回籠子為例，有6只鴿子進入5個籠子，至少有幾只鴿子會飛入同一個籠子？

生1：列式為6÷5=1…1，1+1=2，由此可確定至少有2只鴿子會飛入同一個籠子。

師：這個問題中的鴿子與籠子分別對應抽屜原理中的什么？

生2：鴿子與之前我們研究的小球相對應，而鴿籠則與抽屜相對應。

師：很好，這也是人們將“抽屜原理”稱為“鴿籠原理”的原因。既然存在鴿籠原理、抽屜原理，那么我們將筆袋理解為抽屜，是否有筆袋原理呢？比如，講臺上有4個筆袋，5支鉛筆，至少有幾支鉛筆在同一個筆袋中？

生3：至少有2支鉛筆在同一個筆袋中。

師：若有4個零錢包，5張紙幣，不論怎么分配，至少有幾張紙幣在同一個零錢包內(nèi)？

生4：不論如何分配，至少有2張紙幣在同一個零錢包內(nèi)。

師：這是不是很有意思？抽屜原理可以有如此豐富的應用，它在我們生活實際中隨處可見。其實，遇到此類問題，我們只要辨別出誰是“抽屜”，誰是“物品”，即可解決問題。比如，咱們班30個學生中至少有8名學生的生日在同一個季節(jié)，聰明的你們能否應用抽屜原理進行解釋？

生5：綜上所述，我們可將30名學生的生日視為“物品”，將四季視為“抽屜”，列式為：30÷4=7…2，7+1=8，因此30名學生中至少有8人的生日在同一個季節(jié)內(nèi)。

師：非常好！在宋代的《梁溪漫志》中，曾運用抽屜原理來批駁“算命”。由此可見，數(shù)學模型由生活抽象而來，最終又應用到生活中去。這些模型應用在實際生活中時，顯得更具生命力。

總之，在新課標的指導下，現(xiàn)階段的數(shù)學教學應注重對學生模型思想與實踐能力的培養(yǎng)，尤其是建模教學貫穿所有教育階段。教師應高度重視建模教學的價值與意義，以學生的生活經(jīng)驗為出發(fā)點，尋找合適的素材協(xié)助學生建構(gòu)模型，讓學生獲得可持續(xù)性發(fā)展的能力。