歐陽順湘

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)理學(xué)院 518055)

1 引言

數(shù)學(xué)家們歷來提倡讀大師的原著以獲得啟發(fā). 如阿貝爾通過閱讀高斯的《算術(shù)研究》而受益很深,并說:“要想在數(shù)學(xué)上取得進(jìn)展,就應(yīng)該閱讀大師的而不是他們的門徒的著作.”伍鴻熙在[15]中勸告讀者多讀大師作品,舉例言安德烈·韋伊(André Weil)就是通過閱讀高斯的著作獲得靈感而提出韋伊猜想的,又講到韋伊勸年輕人一定要找高斯、歐拉等第一流的數(shù)學(xué)家的全集來讀. 李文林在[8]中寫道:“閱讀數(shù)學(xué)家特別是數(shù)學(xué)大師們的原始著述,是了解數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展的最直接與最可靠的途徑. 同時,這些原始著述向我們提供了數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的范例,學(xué)習(xí)歷史范例,可以‘促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的藝術(shù),揭示數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法’,推動現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)研究.”

近年來,人們越來越重視數(shù)學(xué)史相關(guān)材料在數(shù)學(xué)教育中的作用[5-7],認(rèn)為歷史范例可以在強(qiáng)調(diào)過程的數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮作用,可以將數(shù)學(xué)家創(chuàng)造數(shù)學(xué)真理的思維過程活生生地展現(xiàn)在學(xué)生面前,在某種程度上改變那種從公式到公式、從定理到定理的教學(xué)程式[6,7]. 無疑,數(shù)學(xué)史中最具啟發(fā)作用的范例在大師的原著中. 因此,從原著中汲取營養(yǎng)是自然而重要的. 只是為了教學(xué)的目的,有時可能需要將原著中的材料進(jìn)行合理采取、適當(dāng)整理與必要闡釋.

阿基米德是數(shù)學(xué)史上公認(rèn)的最偉大的幾位數(shù)學(xué)家之一,其作品《圓的度量》[1,pp.282-288]是數(shù)學(xué)歷史上的珍寶.《圓的度量》包含三個命題. 第三個命題就是阿基米德著名的關(guān)于圓周率的上、下界的估計(jì):

這個結(jié)論或許是《圓的度量》中最受人關(guān)注的部分.劉徽是我國魏晉時期杰出的數(shù)學(xué)家,他在《九章算術(shù)注》中對“圓田術(shù)”給的約1800個字的注,包含了奇妙的“割圓術(shù)”,給出了圓周率的估計(jì).對初學(xué)者而言,“割圓術(shù)”原文可能稍顯晦澀,但其思想簡潔漂亮.輔以合適的解釋,中學(xué)師生能理解阿基米德、劉徽原著中關(guān)于圓周率估計(jì)的內(nèi)容.

劉徽與阿基米德是光耀千古的中西雙壁,劉徽《九章算術(shù)注》中的“割圓術(shù)”足與阿基米德的《圓的度量》媲美,甚至更為精妙.將他們估計(jì)圓周率的數(shù)學(xué)技術(shù)和思想進(jìn)行比較研究,可以更好地學(xué)習(xí)其中的數(shù)學(xué)思想,更清晰地認(rèn)識到中外古代數(shù)學(xué)家們的智慧.

本文的主要目的是希望將阿基米德估計(jì)圓周率的原本方法以較友好的方式呈現(xiàn)給讀者,同時簡要介紹劉徽的“割圓術(shù)”,并對他們的方法進(jìn)行對比,討論其異同與優(yōu)劣.

(2.1)

這里的估計(jì)分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)在于它們非常接近真實(shí)值:

類似地,阿基米德在計(jì)算中還未加解釋地用到如下大數(shù)平方根的估計(jì)

以及

2.1 佩爾方程

所謂佩爾方程是指正整數(shù)對(x,y)所滿足的方程x2-Ny2=1,其中N為無平方因子的正整數(shù).如果(x,y)是一組解,則由

2652-3×1532=-2, 13512-3×7802=1,

(p,q)=(70226,40545)=(2652+1,265×153)

是佩爾方程p2-3q2=1的解,因而有

2.2 調(diào)日法

下列引理被稱為調(diào)日法,常歸于我國南北朝時期數(shù)學(xué)家何承天.該方法通過調(diào)整有理數(shù)的分子分母以得到更佳近似值.

證明第一個結(jié)論可以用常規(guī)方法證明.第二個結(jié)論只要多次應(yīng)用第一個結(jié)論即可得證.

圖1 希臘階梯示意圖(如由可得對此兩數(shù)應(yīng)用調(diào)日法可得

2.3 連分?jǐn)?shù)法

2.4 巴比倫法

設(shè)a0>0,

(2.2)

巴比倫法可以從我們現(xiàn)在熟悉的牛頓迭代法得到.設(shè)f(x)=x2-3,則牛頓迭代公式為

簡單整理易知

圖2 開方近似值的幾何示意圖

(2.3)

它只不過是完全平方展開式的簡單應(yīng)用:

利用我們現(xiàn)在的知識,易理解(2.3)是麥克勞林級數(shù)展開的簡單應(yīng)用:對任意|x|<1,有

近似公式(2.3)也等價于巴比倫方法:

克萊因認(rèn)為阿基米德很可能是用如下與(2.3)有關(guān)聯(lián)的公式[3]

(2.4)

(未完待續(xù))