崔 浩

(北京市第十二中學 100071)

幾年前,筆者在文[1]中論及,利用“坐標法”研究解決圓錐曲線性質及曲線間位置關系等問題時,其策略大致可分為兩類:其一,聯(lián)立相關曲線(包括直線)的方程,解出相關點的坐標,或利用根系關系,完成證明或求解,這類方法具有“生成”特征;其二,先設相關點的坐標,把這些坐標滿足的條件聯(lián)立成方程組,通過化簡方程組,推導變量之間的關系,完成證明或求解,這類方法具有“待定”特征.

經(jīng)過最近幾年的教學實踐,我們已認識到將坐標法的解題規(guī)律按“生成”或“待定”類來提煉,對學生解題策略的制定,起到了很好的定向調控作用.但當問題綜合性很強時,面對繁復的運算,學生往往陷入雖然思路清晰,卻進退維谷的境地.為了更好提升“坐標法”的教學效益,筆者對此作了進一步的研究與思考,現(xiàn)不揣淺陋,與大家交流點滴收獲.

思考之一:“生成”與“待定”兩類方法的運用要有擇簡意識

所以,在解題之初確定解題策略時,一定要把探究、預測、初步演算等功課做足,以選擇最簡解題方案,盡量少走彎路.

思考之二:“生成”或“待定”兩類方法往往需要兼容使用

本題如果我們單純采用“待定”類方法求解,過程坎坷,學生不易逾越.簡述如下:

此過程步步有坑,尤其建立①②與③式的聯(lián)系,能堅持推演到底,一定是數(shù)學運演的強者.所以,半途而廢者不在少數(shù).

相反我們從“生成”方法入手,必要時兼容“待定”方法,可得如下明快的解法:

本題若單純運用“生成”的套路求解,如下步驟是合理的.設直線l的方程為y=kx+m,與橢圓M的方程聯(lián)立解方程組,用k,m表示A,B的坐標,然后建立PA、PB的直線方程,再分別與橢圓聯(lián)立解方程組,用k,m表示點C,D的坐標,最后據(jù)C,D,Q三點共線,確定直線l的斜率k.這個過程看似自然,但運算量之大,幾乎不可能完成.明智的選擇依然是兼容“待定”與“生成”兩類方法,完成求解.

思考之三:提升運算與化簡能力的兩種途徑

由上述我們可以看出,不論采用“生成”或“待定”哪一類方法解決問題,其障礙均在于運算與化簡.尤其當前我們從初中開始,對因式分解、整式、分式、方程(組)等一系列技能訓練,都有削弱的趨勢,這就造成部分學生難以達到運用“坐標法”解題的技能要求,所以,在教學中想方設法降低運算難度,突破運算障礙,應屬當務之急.

途徑1:巧設基本量

何謂基本量?前文中,我們在“生成”類方法中,往往設直線的斜率“k”或截距“b”,在“待定”類方法中,往往設曲線上點的坐標(x1,y1) ,這些都是基本量,它們的共同特征是“變量”,廣義地看,這些“變量”在解題過程中,往往具有函數(shù)(不排除多元)“自變量”的意味,而求解目標通常又與相應的“因變量”有關.所以,用“坐標法”解決問題時,基本量的設定不可或缺.但不同的設法,運算難易程度往往會有很大的差異.

首先,我們對題中的定圓進行預判.先從特殊情況入手,如果將A、B兩點分別放坐標軸上,則形成四條直線,恰好圍成一個菱形A1B1A2B2(如圖),題中的定圓與這四條直線都相切,所以菱形的內切圓就是與AB相切的定圓,其圓心在原點,半徑是O到A1B1的距離.再看一般情況,如果A、B兩點在橢圓上運動起來,在OA⊥OB條件下,證明直線AB總與上述菱形的內切圓相切,即完成證明.為體現(xiàn)基本量設法的多樣性,我們給出幾種不同解法,簡述如下,供讀者體味.

解法3:取四個基本量為A(x1,y1),B(x2,y2),結合OA⊥OB,可得方程組

據(jù)△OAB面積公式,得O到AB距離

一方面整理分子,

所以(x1x2+2y1y2)2+2(x1y2-x2y1)2=36,

因為x1x2+y1y2=0,

在上述四種解法中,解法1、2反映出基本量的常規(guī)選擇方法,但不可避免直線斜率存在與否的討論,運算量不小.解法3雖然避免了直線斜率的討論,但由于四個基本量(兩點坐標)的選擇,幾乎為學生設立了難以逾越的障礙.顯然,解法4基本量的確定,不僅避免了分類討論,運算量也較小,但卻是學生不甚熟悉的,這說明我們在教學中,三角函數(shù)的作用需要加強.

途徑2:深層次挖掘幾何性質

在解析幾何的教學中,“借助幾何性質,簡化代數(shù)運算”的話題,得到許多同行的關注.如文[2],作者利用三角形、特殊四邊形、圓的幾何性質,簡化坐標法運算,收到很好的教學效果,很值得借鑒.

但是對于較難的問題,還需要更深層次地挖掘幾何性質.

例5(2019年全國聯(lián)賽一試第10題)在平面直角坐標系xOy中,圓Ω與拋物線Γ:y2=4x恰有一個公共點,且圓Ω與x軸相切于Γ的焦點F,求圓Ω的半徑.

本題題設簡單,入手也不困難.易知Γ的焦點F(1,0),故圓Ω方程可設為(x-1)2+(y-b)2=b2,|b|為所求.

因圓Ω與拋物線恰有一個公共點,故方程(*)

上述方法雖然不難,但由方程唯一解確定b值,卻成為部分同學的“攔路虎”.如果我們把“圓Ω與拋物線Γ:y2=4x恰有一個公共點”等價轉化為“圓Ω與拋物線Γ:y2=4x在公共點處有相同的切線”,即可得到如下簡約、明快的解法:

例6(2018年全國聯(lián)賽一試第11題)在平面直角坐標系xOy中,設AB是拋物線y2=4x的過點F(1,0)的弦,△AOB的外接圓交拋物線于點P(不同于點O,A,B).若PF平分∠APB,求|PF|的所有可能值.

本題的難點有二:一是如何用A、B兩點的坐標來表示點P的坐標;二是如何刻畫題設條件“PF平分∠APB”.

再看如何運用題設條件PF平分∠APB.常用的處理方式有三種:一是用角平分線定理;二是用點F到直線PA、PB的距離相等;三是用PF與PA、PB的夾角相等.想法雖然合理,但將它們直接代數(shù)化,計算量都很大.那么,還有其它的簡化方法嗎?答案是肯定的.出路還在于深入挖掘幾何性質.

在2018年全國聯(lián)賽提供的本題答案中,對題設“PF平分∠APB”的運用方式是直接把角平分線定理代數(shù)化,運算量較大.考試之后通過對考生的了解發(fā)現(xiàn),多數(shù)考生都卡在這個環(huán)節(jié)上,再加上考試時間緊,能完成此題的人極少.如能象此處這樣處理,相信結果要好得多.