華志遠(yuǎn)

(無(wú)錫市第一中學(xué) 214031)

課堂教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力,關(guān)鍵在于問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)能否指向素養(yǎng)為本的目標(biāo),并在分析、解決問(wèn)題的過(guò)程中,獲得知識(shí)與技能,掌握數(shù)學(xué)思想方法,優(yōu)化思維品質(zhì),發(fā)展核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)問(wèn)題分為結(jié)構(gòu)良好型和結(jié)構(gòu)不良型兩類:結(jié)構(gòu)良好型問(wèn)題是指條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)較為完整,解題的目標(biāo)、過(guò)程和答案是相對(duì)穩(wěn)定的;結(jié)構(gòu)不良型問(wèn)題則是指條件或結(jié)論的信息不完整,導(dǎo)致問(wèn)題結(jié)構(gòu)和解決途徑不明確,從而使問(wèn)題具有一定的選擇性、開放性和探索性.在平時(shí)教學(xué)中,師生大量接觸的是結(jié)構(gòu)良好的題目,解決好這些是保證教學(xué)質(zhì)量的前提;但當(dāng)學(xué)生的心智水平發(fā)展到一定階段時(shí),適時(shí)適度推出一些結(jié)構(gòu)不良型問(wèn)題,可以激發(fā)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí),提高學(xué)生的交流、表達(dá)和解決問(wèn)題能力,同時(shí)倡導(dǎo)對(duì)話式、互動(dòng)式、合作型與探究型的教學(xué)方式,可以推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革,提升學(xué)生的能力素養(yǎng).

1 教學(xué)設(shè)計(jì)的背景和思路

函數(shù)、方程與不等式是高中代數(shù)的主體內(nèi)容,三者之間具有緊密的聯(lián)系.現(xiàn)行教材將不等式提前至必修第一冊(cè)的第二章,以體現(xiàn)它的工具作用,其中,不等式的概念及性質(zhì)是研究的依據(jù),基本不等式是實(shí)現(xiàn)兩個(gè)正數(shù)和與積不等轉(zhuǎn)化關(guān)系的重要模型,一元二次不等式的解法主要是強(qiáng)化二次函數(shù)圖象的應(yīng)用,滲透數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.不等式性質(zhì)的多樣性及運(yùn)用的靈活性,為學(xué)生多層次、多角度、多方位提出、分析和解決問(wèn)題提供了較為廣闊的思維空間,而基本不等式和一元二次不等式應(yīng)用的廣泛性,可以強(qiáng)化不等式的工具作用,溝通與函數(shù)、方程等知識(shí)的聯(lián)系.為此,筆者設(shè)計(jì)并嘗試了這樣一堂不等式的復(fù)習(xí)課.教學(xué)設(shè)計(jì)的總體思路是以兩道不等式經(jīng)典題目為背景,先給出其公共條件,作為問(wèn)題的初始狀態(tài);再讓學(xué)生選擇增加的條件,通過(guò)小組合作討論,提出各自不同的問(wèn)題,作為中間狀態(tài);在此基礎(chǔ)上,經(jīng)過(guò)分析和評(píng)議,篩選出相應(yīng)的結(jié)論,作為問(wèn)題的目標(biāo)狀態(tài),并在實(shí)施解答的過(guò)程中,促進(jìn)認(rèn)識(shí)思路的結(jié)構(gòu)化和系統(tǒng)化,以實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階,同時(shí)給不同層次的學(xué)生提供合作與探究的平臺(tái),以展示學(xué)生思維的閃光點(diǎn),共享探索的經(jīng)驗(yàn)和成果.

2 教學(xué)設(shè)計(jì)的過(guò)程和分析

教學(xué)背景:將全班48人分成12組,每組4人.

問(wèn)題1①a>b>c,②abc=1,在這兩個(gè)條件中任選一個(gè),與條件“a,b,c∈R,a+b+c=0”共同構(gòu)成一個(gè)問(wèn)題的題設(shè).通過(guò)小組討論,能得出哪些結(jié)論?并嘗試解決.

從課堂情況來(lái)看,共有7組選擇的題設(shè)為a,b,c∈R,a+b+c=0,a>b>c;其余5組選擇題設(shè)為a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.學(xué)生小組討論5分鐘后作匯總,教師巡視指導(dǎo).

選擇①的學(xué)生初探后得出以下結(jié)論及問(wèn)題:

(1)由a>b>c,得3a>a+b+c=0,故a>0,3c

(3)二次函數(shù)y=ax2+bx+c開口向上,它有一個(gè)零點(diǎn)為1,另一個(gè)零點(diǎn)為負(fù)數(shù);

(4)求二次函數(shù)y=ax2+bx+c表示的拋物線截x軸所得弦長(zhǎng)的取值范圍.

選擇②的學(xué)生初探后得出以下結(jié)論及問(wèn)題:

(1)由a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1,結(jié)合加法與乘法的運(yùn)算法則,得a,b,c中必有1個(gè)是正數(shù),另外兩個(gè)是負(fù)數(shù);

(2)因a,b,c輪換對(duì)稱,受①的啟發(fā),不妨假設(shè)a>b≥c,則a>0,b<0,c<0;

(3)若再增加一個(gè)條件,如ab+bc+ca=-1,則可以求出a,b,c;

設(shè)計(jì)意圖題設(shè)包含了方程和不等式的性質(zhì),具有豐富的知識(shí)背景和價(jià)值;思考過(guò)程中,用到整體思想、轉(zhuǎn)化思想、消元法、構(gòu)造方程等數(shù)學(xué)思想方法,并對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)提出了要求;由于條件簡(jiǎn)潔明了,變量和諧對(duì)稱,難度合乎學(xué)情,因而能很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生探索的熱情.

雖然學(xué)生開始提出的問(wèn)題較為淺顯,甚至憑直覺就能看出,但隨著討論的深入,思維的碰撞,相互的啟發(fā),認(rèn)識(shí)逐漸走向深刻,因此,教師對(duì)學(xué)生的任何想法,哪怕是錯(cuò)誤的觀點(diǎn),都要給予肯定和鼓勵(lì),并加以引導(dǎo)和修正,使學(xué)生提出有價(jià)值的問(wèn)題.

在學(xué)生初探的基礎(chǔ)上,給出兩道數(shù)學(xué)經(jīng)典題,供學(xué)生思考.

例1設(shè)a,b,c∈R,a+b+c=0,a>b>c,函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,g(x)=-bx.

(1)證明:函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)相異的公共點(diǎn)A,B;

(2)設(shè)A,B在x軸上的射影分別為A1,B1,求線段A1B1長(zhǎng)的取值范圍.

例2設(shè)a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.

(1)證明:ab+bc+ca<0;

設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生思考基礎(chǔ)上,教師的適時(shí)加入,一方面可產(chǎn)生心理學(xué)上所說(shuō)的“同體觀效應(yīng)”,提出的問(wèn)題學(xué)生不感到突兀;另一方面可明確學(xué)生共同的學(xué)習(xí)目標(biāo),提高教學(xué)的實(shí)效.從課堂情況來(lái)看,12個(gè)組中有7組,采用了消元法求解;有3組利用基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化;有2組出現(xiàn)了混合類解法.以下是其中四個(gè)組提供的典型解法(以下解法中,不妨假設(shè)a>0,b<0,c<0).

思路1:從消元法入手,結(jié)合配方法求解.

解法1:(1)由b=-(a+c),得

ab+bc+ca=b(a+c)+ca

=-(a+c)2+ca=-c2-ca-a2,

思路2:從消元法入手,合理選擇主變?cè)?

解法2:(1)由b=-(a+c),得

ab+bc+ca=b(a+c)+ca

=-(a+c)2+ca=-c2-ac-a2,

設(shè)f(c)= -c2-ca-a2,它是關(guān)于c的二次函數(shù),其開口向下,判別式Δ=a2-4a2=-3a2,由a>0,得Δ<0,即f(c) <0, 故ab+bc+ca<0.

思路3:從消元法入手,再構(gòu)造函數(shù)方程.

思路4:從整體法入手,利用基本不等式.

解法4:(1)由條件,得(a+b+c)2=0,

即a2+b2+c2+ 2ab+2bc+2ca=0,

故ab+bc+ca<0.

問(wèn)題2同學(xué)們能否對(duì)上述解法作一些比較、分析和評(píng)價(jià)?

學(xué)生1:本組用的是解法1,通過(guò)消元后,只要用配方法就能解決問(wèn)題,但解法4利用整體變形證明更簡(jiǎn)潔,而用基本不等式求解看似簡(jiǎn)單,其實(shí)不易想到.

教師:解法1把握了實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的特點(diǎn),配方法是數(shù)學(xué)的重要方法;解法2具有主變?cè)囊庾R(shí),發(fā)現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的精髓;解法3構(gòu)造的函數(shù)與方程同樣令人耳目一新;解法4利用整體思想,找到了條件與結(jié)論的聯(lián)系,而利用基本不等式則實(shí)現(xiàn)了兩個(gè)正數(shù)和與積的不等轉(zhuǎn)化關(guān)系,使解題更為簡(jiǎn)潔.

因?yàn)樗伎冀嵌鹊牟町?學(xué)生解題的方法就不同,這正是認(rèn)識(shí)和整合知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系的最佳時(shí)機(jī),以使知識(shí)與技能在運(yùn)用中激活,思想方法的統(tǒng)攝作用得到體現(xiàn),同時(shí),通過(guò)一題多解及分析比較,可以優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì),從而為達(dá)成高階目標(biāo),提供良好的教學(xué)平臺(tái).學(xué)生通過(guò)相互之間的交流、討論、總結(jié)和借鑒,能引發(fā)思維的共鳴,教師的適時(shí)介入,能進(jìn)一步深化認(rèn)識(shí),提升學(xué)生的能力和素養(yǎng).

作業(yè)設(shè)計(jì):(1)完成例1的作答;(2)若a>0,b>0,且a+b=1,構(gòu)造出三個(gè)以上的關(guān)于a,b輪換對(duì)稱的不等式,并加以證明;(3)以例2的求解為素材,寫一篇數(shù)學(xué)小論文.

設(shè)計(jì)意圖課堂上的探索思考與討論交流,深深吸引著全班學(xué)生,但由于時(shí)間關(guān)系,眾多學(xué)生沒(méi)有機(jī)會(huì)發(fā)表自己的想法和觀點(diǎn).作業(yè)(1)可以鞏固雙基,掌握通性通法;作業(yè)(2)可以培養(yǎng)學(xué)生提出、分析、解決新問(wèn)題的能力;作業(yè)(3)主要是激發(fā)學(xué)生的探究性學(xué)習(xí)的意識(shí),構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

3 教學(xué)后的反思和感悟

核心素養(yǎng)具有情境性和實(shí)踐性,這意味著課程改革不能僅停留在更換新的教材,更重要的是促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變,因此,新教學(xué)必須要對(duì)傳統(tǒng)教學(xué)方式作出反思和改進(jìn),如課上以教師講學(xué)生聽為主,課后靠大量練習(xí)強(qiáng)化雙基,但隨著時(shí)間的推移,發(fā)現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)越來(lái)越被動(dòng),兩極分化現(xiàn)象越來(lái)越嚴(yán)重,學(xué)生的能力和素養(yǎng)并沒(méi)有得到實(shí)質(zhì)性的提升,尤其是在遇到一些新問(wèn)題時(shí),學(xué)生依然一籌莫展.為了體現(xiàn)課程改革的導(dǎo)向性,近幾年高考新課程卷推出了結(jié)構(gòu)不良型試題、多項(xiàng)選擇題、探索性試題等多種能力素養(yǎng)類題型,以促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革.美國(guó)心理學(xué)家安德斯·艾利克森曾對(duì)高效學(xué)習(xí)的特點(diǎn)作出以下提煉:設(shè)立定義明確的特定目標(biāo);練習(xí)過(guò)程專注力強(qiáng);練習(xí)后有反饋,并讓學(xué)生學(xué)會(huì)自我監(jiān)測(cè),發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,并作出相應(yīng)調(diào)整;引導(dǎo)學(xué)生走出學(xué)習(xí)舒適區(qū),不斷重塑自我的探索過(guò)程.這樣的高效學(xué)習(xí)能讓學(xué)生建立起良好的心理結(jié)構(gòu),這種專業(yè)化的心理結(jié)構(gòu),能夠提升學(xué)習(xí)者的能力素養(yǎng).

基于上述背景,筆者在課堂教學(xué)中以結(jié)構(gòu)不良型問(wèn)題為載體,嘗試新的教學(xué)方式,以推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的變革.從課堂效果來(lái)看,學(xué)生在開始選擇條件時(shí),小組成員分歧較大,隨著合作交流的深入,各種想法應(yīng)運(yùn)而生,提出了有一定質(zhì)量的問(wèn)題.出示兩個(gè)經(jīng)典例題,可以讓發(fā)散的問(wèn)題適當(dāng)集中,以高質(zhì)量的完成教學(xué)目標(biāo).有了前面合作學(xué)習(xí)的經(jīng)歷和體驗(yàn),學(xué)生獨(dú)立思考后,在小組中的表現(xiàn)變得更積極主動(dòng),數(shù)學(xué)探究的熱情愈加高漲.

以能力素養(yǎng)為本的教學(xué)設(shè)計(jì),不但是數(shù)學(xué)任務(wù)的預(yù)設(shè),而且需要在特定的教學(xué)環(huán)境中,選擇典型學(xué)習(xí)方式,通過(guò)對(duì)話、互動(dòng)、合作和交流,動(dòng)態(tài)地達(dá)成以素養(yǎng)為本的教學(xué)目標(biāo).因此,課堂更具有開放性和探索性,但由于教學(xué)過(guò)程中各種可變的因素較為復(fù)雜,教學(xué)意外隨時(shí)都可能發(fā)生,這對(duì)教師的專業(yè)素養(yǎng)、教學(xué)智慧和交流評(píng)價(jià)等提出了較高的要求.如在本節(jié)課的討論交流中,各小組的代表都會(huì)下意識(shí)地說(shuō)出各自解法的優(yōu)點(diǎn),因此,教師就要從專業(yè)的角度加以評(píng)價(jià),這樣既總結(jié)提煉了思想方法體系,又能讓學(xué)生之間成果共享,互學(xué)互鑒.

教與學(xué)的方式本應(yīng)是多元的,因?yàn)橹挥羞@樣,課堂教學(xué)才會(huì)富有成效,充滿活力,因此,我們必須根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情,探尋與之相匹配的學(xué)習(xí)方式,從而使學(xué)生學(xué)得積極主動(dòng).通過(guò)本節(jié)課的實(shí)踐嘗試,筆者深深感到,合作探究型學(xué)習(xí),對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的交往能力和承受能力,增強(qiáng)學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)和平等意識(shí),發(fā)揚(yáng)合作精神和創(chuàng)新精神,具有積極的教學(xué)意義和重要的育人價(jià)值,同時(shí)在小組中合作學(xué)習(xí),學(xué)生的專注程度大大提高,有時(shí)會(huì)有一些獨(dú)特的見解,收到教學(xué)相長(zhǎng)的效果.希望更多同行,在選擇典型學(xué)習(xí)方式上作思考探索,為構(gòu)建素養(yǎng)為本的課堂付之行動(dòng).