朱曉祥 李 剛

(江蘇省木瀆高級中學(xué) 215100)

1 問題提出

高三復(fù)習(xí)中常常可以看到這樣的現(xiàn)象:教師在備課中不重視回歸教材及課程標(biāo)準(zhǔn),按照復(fù)習(xí)資料里的內(nèi)容進(jìn)行備課,學(xué)生通過不停的刷題來努力提高成績．誠然,復(fù)習(xí)資料可以減輕教師選題的工作量,但是,在復(fù)習(xí)中,僅僅通過講題及做題是否真的可以切實(shí)提高學(xué)生的能力及素養(yǎng)?復(fù)習(xí)的有效性及高效性究竟如何?在倡導(dǎo)提升學(xué)生核心素養(yǎng)、提高有效教學(xué)的背景下,這是我們應(yīng)該在復(fù)習(xí)中思考的問題．筆者在文[1]中提到,復(fù)習(xí)效率偏低,主要存在以下一些現(xiàn)象:(1)重視知識梳理,忽略網(wǎng)絡(luò)建構(gòu);(2)重視解題技巧,忽略思維培養(yǎng);(3)重視題型教學(xué),忽略素養(yǎng)提升．特別是在概念復(fù)習(xí)環(huán)節(jié),給人以一種走馬觀花的感覺．依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(以下簡稱“新課標(biāo)”)要求編寫的人教A版普通高中教科書注重內(nèi)容的整體性,連貫性,突出問題意識,注重對學(xué)生探究能力的培養(yǎng)．本文圍繞人教A版《數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》(以下簡稱教材)中解析幾何內(nèi)容,談?wù)勅绾螌⒔滩闹R與高考試題進(jìn)行有效結(jié)合,達(dá)到提高學(xué)生對知識本質(zhì)的認(rèn)識,提升學(xué)生解題素養(yǎng)的目的,不妥之處,敬請讀者批評指正．

2 從教材到高考設(shè)計的幾條有效途徑

2.1 領(lǐng)悟概念推導(dǎo)過程,總結(jié)方法,提煉思想

數(shù)學(xué)思想根植于知識內(nèi)部,在概念的推導(dǎo)中,蘊(yùn)含了豐富的解決問題的思想和方法,如果教師不能帶領(lǐng)學(xué)生領(lǐng)悟知識背后的深層次的思想和觀念,學(xué)生只能停留在對知識的淺層認(rèn)識層面．特別是在概念回顧流程,如果僅僅是對知識的簡單回顧,只能喚醒學(xué)生對知識的臨時記憶,達(dá)不到深度理解的效果,要能夠讓學(xué)生熟練運(yùn)用知識解決問題,必然需要引導(dǎo)學(xué)生對知識進(jìn)行深度理解,教師要能夠充分運(yùn)用教材中設(shè)置的思考、探究等欄目,幫助學(xué)生挖掘蘊(yùn)含于知識內(nèi)部的思想,并通過配置相應(yīng)的高考題進(jìn)行強(qiáng)化．

案例1在進(jìn)行點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)時,教材思考給出了這樣的問題:反思求解過程,你發(fā)現(xiàn)引起復(fù)雜運(yùn)算的原因了嗎?由此能否給出簡化運(yùn)算的方法?

通過回顧教材給出的解法中的方程組

將①變形為

兩式平方相加整理可得

可見,在計算一些復(fù)雜的式子時,要關(guān)注條件和目標(biāo)的結(jié)構(gòu)特征,結(jié)合整體思想,通過配湊來簡化運(yùn)算．聯(lián)想2022年新課程1卷第21題解析幾何解答題(題略),在文[2]中筆者給出了“齊次化”的處理策略(具體解答過程可參考文[2]解法4),這樣的運(yùn)算技能以及包含的運(yùn)算思想,只有當(dāng)學(xué)生在對概念的探究中有了深刻認(rèn)識,進(jìn)行了深度理解,才能靈活運(yùn)用于解題中．

2.2 挖掘例題內(nèi)涵,注重通法,凸顯本源

教材中的例題具有典型性,常常可以推廣到一般情形,形成定理、推論、公式等．解答中蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想及方法．在設(shè)計中,要充分認(rèn)識例題的教學(xué)價值,在掌握通性通法的前提下,挖掘其深刻內(nèi)涵,進(jìn)行引申及推廣．

案例2教材第108頁例3(題略)蘊(yùn)含了重要的結(jié)論,可以進(jìn)行一般化推廣.

“點(diǎn)差法”是解決中點(diǎn)弦問題的常用方法,結(jié)合圓錐曲線的對稱性,一類有關(guān)中點(diǎn)弦問題就有了解決的通性通法．

聯(lián)想2021年全國1卷第21題解析幾何解答題(題略),需要證明△PQG是直角三角形,如果能夠利用橢圓對稱性,結(jié)合推廣1,可避免直線與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)的繁瑣解答,利用“點(diǎn)差法”證得結(jié)果．

圖1

圖2

聯(lián)想2020年新高考1卷第22題解析幾何壓軸題(題略),要證明|DQ|為定值,首先就是要根據(jù)條件AM⊥AN得到直線MN恒過定點(diǎn),這是解決好這一問題的突破口,是這一問題的本質(zhì)．所以對教材例題的處理,特別是高三復(fù)習(xí)回歸教材環(huán)節(jié),不能蜻蜓點(diǎn)水,要從整體觀思考,層層遞進(jìn),實(shí)現(xiàn)從例題到考題的有效銜接．

2.3 重組改編習(xí)題,拓展引申,完善認(rèn)知

新教材在習(xí)題設(shè)置上形式更加豐富,題目層次區(qū)分更加清晰．復(fù)習(xí)鞏固部分主要以鞏固訓(xùn)練為目的,突出基礎(chǔ)知識的訓(xùn)練;綜合運(yùn)用部分將重點(diǎn)內(nèi)容拓展引申,突出基本技能的訓(xùn)練;拓廣探索部分內(nèi)涵豐富,形式多樣,重點(diǎn)突出對學(xué)生問題探究能力的培養(yǎng)．將習(xí)題進(jìn)行拓展引申,幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu),提高思維能力．

案例3教材第138頁第6題(題略)和第146頁第10題(題略)都是直線與拋物線位置關(guān)系中的弦張角為直角問題,根據(jù)題目背景可作適當(dāng)拓展,進(jìn)一步揭示問題的本質(zhì),實(shí)現(xiàn)習(xí)題的考查價值．

引申1已知直線過點(diǎn)(2,0)且與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),求證:OA⊥OB．

引申2已知直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),若OA⊥OB,求證:直線l過定點(diǎn)．

引申3已知直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),若kOA·kOB=-3,求證:直線l過定點(diǎn)．

引申4已知直線l1:y=k1x,l2:y=k2x與拋物線y2=2x分別相交于A,B兩點(diǎn),若直線AB經(jīng)過定點(diǎn),求k1·k2的值．

引申5已知直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),若OA⊥OB,OD⊥AB于點(diǎn)D,求證:存在一個定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值．

將引申5中的拋物線改為橢圓,問題即為2020年新高考1卷第22題解析幾何壓軸題．

圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題是熱點(diǎn)問題,教材習(xí)題多次涉及直線過定點(diǎn)或者參數(shù)為定值問題,為完善對問題的認(rèn)識,將習(xí)題從正向和逆向角度進(jìn)行引申,不斷提出新的問題,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注定點(diǎn)定值問題的求解策略,體會高考源于教材又高于教材,引導(dǎo)教師在復(fù)習(xí)中要重視對教材習(xí)題的研究,從多維角度研究習(xí)題,進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣?實(shí)現(xiàn)從教材習(xí)題到高考題的有效銜接．

2.4 體驗(yàn)探究與發(fā)現(xiàn)過程,領(lǐng)悟本質(zhì),掌握思想

相較于老教材,新教材從體系和結(jié)構(gòu)上都作了較大的調(diào)整,增設(shè)了“探究與發(fā)現(xiàn)”、“閱讀與思考”等欄目,在“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目中,通過問題、思考、探究等環(huán)節(jié),促使學(xué)生加深對概念的認(rèn)識,并能靈活運(yùn)用與解題中．

聯(lián)想2015年江蘇卷第12題:在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個動點(diǎn)．若點(diǎn)P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則實(shí)數(shù)c的最大值為．

如果對漸近線有足夠的理解,從形的角度進(jìn)行分析,可以看到,本題還可以從數(shù)形結(jié)合角度進(jìn)行優(yōu)化運(yùn)算．

只有對概念有了深刻的認(rèn)識,才能實(shí)現(xiàn)解題中概念的靈活運(yùn)用．上述解法2,就是充分認(rèn)識了漸近線的概念,從漸近線角度去解決問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想．

2.5 體驗(yàn)數(shù)學(xué)文化,滲透精神,發(fā)展四能

數(shù)學(xué)史融入教材,有助于幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)的理解,激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,感受數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)研究者在概念獲得及探究過程中的精神．回顧數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史,依托數(shù)學(xué)史料將數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)建模與探究性活動融為一體,發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性,站在前人研究的基礎(chǔ)上重新審視知識,激發(fā)探究熱情,促進(jìn)發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識,提升分析和解決問題的能力,培養(yǎng)創(chuàng)新意識與創(chuàng)新精神．

案例5教材第139頁拓廣探索第12題(題略)的背景知識是阿基米德三角形．如圖3,過點(diǎn)P作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,連接AB,則△PAB為阿基米德三角形．圍繞這個三角形,介紹阿基米德在兩千多年前利用幾何方法開展過對這個三角形的系列研究,得到了相關(guān)性質(zhì)．在復(fù)習(xí)階段,由于學(xué)生已經(jīng)對解析幾何有了整體認(rèn)識,掌握了處理解析幾何問題的常用方法,我們可以將數(shù)學(xué)文化滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)的各個環(huán)節(jié),在復(fù)習(xí)課中,可以進(jìn)一步探究其性質(zhì)．

圖3

性質(zhì)1如圖4,已知過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P,則PF⊥AB．

圖4

性質(zhì)2如圖4,已知過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P,則P在拋物線的準(zhǔn)線上．

性質(zhì)3如圖4,已知過拋物線y2=2px(p>0)準(zhǔn)線上任一點(diǎn)P作拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B,則直線AB過焦點(diǎn)F．

性質(zhì)4已知過拋物線y2=2px(p>0)焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),過A,B兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)P,若C為AB中點(diǎn),則PC∥x軸或與x軸重合．

聯(lián)想2019年新課標(biāo)3卷文科數(shù)學(xué)第21題(題略),△ABD就是阿基米德三角形,考查的重點(diǎn)即為性質(zhì)3．

將拋物線性質(zhì)推廣到橢圓和雙曲線,同樣存在阿基米德三角形,特別是拋物線的兩條切線的交點(diǎn)軌跡為直線,自然聯(lián)想橢圓和雙曲線中兩條切線的交點(diǎn)的軌跡是什么．聯(lián)想2014年廣東卷理科第20題(題略),通過聯(lián)立切線方程,整體消參可求得點(diǎn)P的軌跡為圓,借此進(jìn)一步介紹“蒙日圓”．

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化是高考命題的重要資源,通過數(shù)學(xué)文化合理創(chuàng)設(shè)情境,以此搭建學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)與探究新知的橋梁．如上,挖掘并研究阿基米德三角形的性質(zhì),對培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)有積極的促進(jìn)作用,也可以幫助學(xué)生更好地理清知識的發(fā)生和發(fā)展過程,幫助學(xué)生在了解新知識生成過程的基礎(chǔ)上提高基于已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)去探索未知世界的基本意識和能力[4]．

3 幾點(diǎn)思考

隨著新課程改革的推進(jìn),新高考試卷的不斷創(chuàng)新,學(xué)生的數(shù)學(xué)能力不再是通過刷題就能夠提升的,因此,教師要鉆研課標(biāo)、高考評價體系及教材,特別是教材給教學(xué)提供了很好的藍(lán)本．高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)要回歸教材,這個過程不能是簡單的回顧教材知識,而是要通過回歸教材尋找問題的本源,從而實(shí)現(xiàn)將知識與方法串起來,提升知識建構(gòu)的目的．

3.1 回歸教材,探尋知識與方法生成的“源頭”

教材是數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)教育家研究的結(jié)晶,在知識探究與習(xí)題解答中蘊(yùn)含著豐富的思想與一般的規(guī)律．教師要能夠充分認(rèn)識教材承載的培養(yǎng)學(xué)生能力的重要功能,領(lǐng)會知識生成與發(fā)展脈絡(luò),挖掘蘊(yùn)含其中的思想方法,讓學(xué)生不僅知其然,更知其所以然．

高三復(fù)習(xí)要重視回歸教材,這個過程不是對知識的簡單羅列,而是要去挖掘方法的由來,去探究知識的本源．例如,點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)方法多樣,整體思想是簡化運(yùn)算的重要思想,要能夠熟練運(yùn)用整體思想解題,首先就是要經(jīng)歷這樣的體驗(yàn),或者說,只有親身經(jīng)歷了這樣的探究過程,才能對整體思想有深刻的認(rèn)識,才能在后續(xù)處理相關(guān)問題中熟練運(yùn)用．

3.2 重視聯(lián)系,編織知識與方法的結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)

復(fù)習(xí)課是以喚醒與鞏固學(xué)生所學(xué)知識,重構(gòu)學(xué)生知識體系的課型．在新課教學(xué)時,由于受到諸多因素的影響,學(xué)生對知識的理解是碎片化的,在復(fù)習(xí)課教學(xué)中,如何對已學(xué)知識體系進(jìn)行梳理,重構(gòu)知識與方法體系,需要教師挖掘隱藏于教材中的知識的整體關(guān)聯(lián)性,站在整體觀高度,將零散的知識與方法編織成網(wǎng),讓學(xué)生深刻理解知識之間的整體關(guān)聯(lián)．

以案例2和3為例,教材中的例題和習(xí)題蘊(yùn)含著豐富的拓展資源．知識角度,主要包含圓錐曲線基本內(nèi)容及直線與圓錐曲線位置關(guān)系;方法角度,重點(diǎn)考查“設(shè)而不求”與“點(diǎn)差法”兩種方法．在復(fù)習(xí)中,要提升學(xué)生的能力,如果僅僅停留在知識的淺層認(rèn)識是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,教師要能夠充分利用好這些資源進(jìn)行拓展,實(shí)現(xiàn)點(diǎn)→線→面的層層遞進(jìn),這樣有助于拓寬學(xué)生的視野．教材中的例題和習(xí)題具有基礎(chǔ)性和典型性,是將知識進(jìn)行有效拓展的很好的素材,例如案例2中的橢圓可以推廣到雙曲線和拋物線,案例3中的拋物線可以推廣到橢圓和雙曲線,將這些內(nèi)容合理串起來,編織成網(wǎng),達(dá)到會一題,通一類的目的．

3.3 引領(lǐng)探究,提升深度學(xué)習(xí)的能力

新課標(biāo)指出:數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程引入的一種新的學(xué)習(xí)方式,有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程,初步理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系,初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過程,體驗(yàn)創(chuàng)造的激情,建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神;有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力;有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力[3]．復(fù)習(xí)課主要以知識鞏固與題型教學(xué)為主,教師要帶領(lǐng)學(xué)生回歸教材,回顧教材中概念、公式的來龍去脈,體會概念證明或者公式推導(dǎo)中蘊(yùn)含的重要思想方法;要研究例題和習(xí)題典型性,拓展其功能;要了解數(shù)學(xué)史,讓學(xué)生了解所學(xué)知識的來龍去脈,感受數(shù)學(xué)家們的探究精神,激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情以及探究的意識．上述5個案例,都可以在課堂中引領(lǐng)學(xué)生主動探究,多角度、多觀點(diǎn)提出問題,并對問題進(jìn)行深入研究,以期提升深度學(xué)習(xí)的能力．

高三復(fù)習(xí)時間緊、任務(wù)重,如何通過復(fù)習(xí)切實(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),如何幫助學(xué)生跳出刷題的怪圈,實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效,是每一位高三教師需要思考的問題．教材和高考真題是復(fù)習(xí)的寶貴資源,要能夠以典型問題為抓手,重視教材中知識解決體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想和方法,重視例題和習(xí)題的教學(xué)功能,通過建立教材與高考題的有效對接,挖掘試題的背景,尋找問題的本源,突出知識的建構(gòu),發(fā)展學(xué)生的思維,使高三復(fù)習(xí)更有效．