李曉焱　閆樹(shù)熙　馬崛

摘? 要：該文以高等數(shù)學(xué)經(jīng)典知識(shí)點(diǎn)定積分的概念為例，結(jié)合地方區(qū)域特色，挖掘陜北文化資源，將優(yōu)秀文化資源融入到地方高校的高等數(shù)學(xué)課程中。根據(jù)課程特點(diǎn)，確立思政目標(biāo)，探尋思政元素切入點(diǎn)，設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程。在此基礎(chǔ)上，提出“潤(rùn)物無(wú)聲”的思政實(shí)施方法，對(duì)理工類教師開(kāi)展課程思政具有積極的借鑒意義.

關(guān)鍵詞：理工類課程；課程思政；高等數(shù)學(xué)；定積分；實(shí)施方法

中圖分類號(hào)：G641? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2096-000X（2023）26-0164-06

Abstract： This paper is aimed at offering some implementation methods of integrating the ideological and political factors with the science and engineering courses in local colleges and universities， taking the concept of point definite integral in classical knowledge of Advanced Mathematics as an example. By exploring the local and cultural characteristics， setting pre-class emotion and moral aim， the paper seeks possible ways for teaching design. Based on this curriculum design， the ideological and political education is carried out in an imperceptible but effective way. This paper hopes to offer some practical reference significance for other teachers in relative courses.

Keywords： science and engineering courses; curriculum ideology and politics; Advanced Mathematics; definite integral; implementation method

2021年3月，教育部辦公廳發(fā)布的《關(guān)于開(kāi)展課程思政示范項(xiàng)目建設(shè)工作的通知》強(qiáng)調(diào)，全面推進(jìn)不同類型學(xué)校的課程思政建設(shè)理論研究和教學(xué)實(shí)踐，探索創(chuàng)新課程思政建設(shè)方法路徑，加快形成“校校有精品、門(mén)門(mén)有思政、課課有特色、人人重育人”的良好局面[1]。高等數(shù)學(xué)課程是高等院校面向理工類、經(jīng)管類等專業(yè)大一學(xué)生開(kāi)設(shè)的一門(mén)公共理論必修課，著重培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力、幾何直觀和空間想象能力，以及熟練的運(yùn)算能力，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和今后從事科學(xué)研究活動(dòng)奠定了必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。其授課時(shí)間長(zhǎng)、覆蓋廣，在榆林學(xué)院，每年有8個(gè)學(xué)院近2 100名本科生學(xué)習(xí)該門(mén)課程。作為一名高等數(shù)學(xué)任課教師，如何在專業(yè)知識(shí)講授的同時(shí)能用好課堂主渠道，深入知識(shí)的內(nèi)涵，充分挖掘思政元素，幫助學(xué)生樹(shù)立科學(xué)正確的人生價(jià)值觀，已成了尤為迫切需要解決的問(wèn)題。

立德樹(shù)人，在思政課程中引領(lǐng)、在通識(shí)類課程中浸潤(rùn)、在社科類課程中深化[2]。然而，理工類課程邏輯性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)、應(yīng)用性強(qiáng)，與思政似乎“風(fēng)馬牛不相及”?；谏鲜鎏攸c(diǎn)，使得思政元素自然無(wú)聲地融入相比人文社科類課程更具有挑戰(zhàn)性[3]。究其原因，首先是課程固有的理性思維與思政傾向的感性思維很難做到真正意義上融合，其次傳統(tǒng)理工類課程往往重認(rèn)知輕情感，重講解輕互動(dòng)，重考試輕能力，致使思政元素“刻意”生硬地走進(jìn)課堂，難以達(dá)到“潤(rùn)物無(wú)聲”的效果。盡管具有很大的挑戰(zhàn)性，但目前高等院校大部分的理工類教師已悄然在自己的課程中進(jìn)行了課程思政的探索與實(shí)踐[4-6]，并逐步開(kāi)展課程思政示范項(xiàng)目建設(shè)工作。

本文以高等數(shù)學(xué)定積分的概念為例，面向經(jīng)管類學(xué)生創(chuàng)設(shè)有地域特色的、有陜北文化氣息的教學(xué)案例，讓學(xué)生產(chǎn)生共鳴。課中對(duì)課程內(nèi)容適當(dāng)優(yōu)化，降低學(xué)習(xí)難度，處理好定量和定性、具體和抽象、主觀判斷和邏輯推理等關(guān)系。主要采用啟發(fā)式、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式的教學(xué)方法讓學(xué)生更好地融入課堂，突出以學(xué)生為中心的理念，借助多媒體直觀、細(xì)致地演示“分割、近似代替、求和、取極限”的過(guò)程， 使得復(fù)雜的問(wèn)題可視化，從而加深對(duì)抽象理論的理解。引導(dǎo)學(xué)生概括出定積分的概念，啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)會(huì)解決問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，并提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力。

一? 課程思政目標(biāo)

讓學(xué)生了解陜北地域特色文化，充分利用紅色資源，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣；介紹中國(guó)古代著名的劉徽“割圓術(shù)”，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)文化自信；在理解概念、升華思想的過(guò)程中激發(fā)學(xué)生的求知欲，主動(dòng)參與課堂討論，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和探索未知世界的精神；應(yīng)用高等數(shù)學(xué)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，增加學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感；通過(guò)定積分思想中量變與質(zhì)變的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生正確的價(jià)值觀，增強(qiáng)實(shí)現(xiàn)強(qiáng)國(guó)夢(mèng)的決心和信心，最大化地發(fā)揮高等數(shù)學(xué)獨(dú)特的文化育人功能，使得應(yīng)用型本科院校經(jīng)管類的學(xué)生拓寬數(shù)學(xué)的知識(shí)性和人文性。思政目標(biāo)如圖1所示。

二? 教學(xué)設(shè)計(jì)思路

定積分的概念是高等數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，在力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生命科學(xué)和社會(huì)科學(xué)等許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。本節(jié)課以“創(chuàng)設(shè)問(wèn)題—探究問(wèn)題—解決問(wèn)題—應(yīng)用問(wèn)題”作為主線，針對(duì)學(xué)生熟悉陜北窯洞的特點(diǎn)，從需要多少?gòu)埪榧堎N窗戶引入曲邊梯形的面積計(jì)算問(wèn)題，借鑒劉徽“割圓術(shù)”的思想找到解決問(wèn)題的方案和步驟。進(jìn)一步提及定積分在其他領(lǐng)域的背景和應(yīng)用，將這些問(wèn)題歸結(jié)為一類特殊和式的極限，找出解決此類應(yīng)用問(wèn)題的共性，從共性中抽象出定積分的概念，同時(shí)開(kāi)闊學(xué)生的知識(shí)視野。針對(duì)學(xué)生來(lái)自經(jīng)管類專業(yè)的特征，利用所學(xué)知識(shí)解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中的收益問(wèn)題，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力，體會(huì)學(xué)以致用、用以促學(xué)的學(xué)習(xí)意義。

（一）? 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題

2021年9月13日，在陜西省榆林市考察調(diào)研的習(xí)近平總書(shū)記來(lái)到楊家溝革命舊址強(qiáng)調(diào)“要充分運(yùn)用紅色資源”“賡續(xù)紅色血脈”[7]。窯洞作為陜北一張響亮的名片，為中國(guó)革命史寫(xiě)下了濃墨重彩的一筆，如圖2所示?，F(xiàn)如今窯洞不僅是陜北人的居住場(chǎng)所而且是紅色文化教育基地。從窯洞的窗格的外部形態(tài)引發(fā)學(xué)生思考，為什么窯洞依山開(kāi)鑿建成拱形？是因?yàn)辄S土黏性大，直立性強(qiáng)，而拱頂?shù)某兄啬芰Ρ绕巾敽?，能更好地防止泥土掉落，這樣修建才有支撐力，堅(jiān)固耐勞，也充分體現(xiàn)了我國(guó)勞動(dòng)人民的智慧。在陜北，每到過(guò)年會(huì)把窯洞的窗格重新貼上麻紙，這樣既顯得明亮又保暖散氣，那對(duì)于這樣一個(gè)拱形窗格，我們需要買(mǎi)多少?gòu)埪榧埬兀繉?duì)于這個(gè)問(wèn)題，祖先的智慧就是數(shù)小方格的個(gè)數(shù)，邊上的非方格也用方格來(lái)代替，每個(gè)小方格的面積易算，窯洞窗格的近似面積也就可以算出來(lái)，需要的麻紙也就確定了。然而窯洞是拱形的，它的準(zhǔn)確面積又如何算呢？

基于此背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題：如何計(jì)算拱形窗格的準(zhǔn)確面積？進(jìn)一步提問(wèn)，如何計(jì)算平面曲邊圖形的面積呢？

（二）? 探究問(wèn)題

提到面積，同學(xué)們并不陌生，回顧中學(xué)計(jì)算過(guò)的平面圖形的面積，有矩形、梯形、圓和橢圓等規(guī)則圖形的面積，對(duì)于不規(guī)則平面圖形的面積即一般曲邊圖形的面積中學(xué)并未學(xué)到。其實(shí)，求曲邊圖形的面積是個(gè)古老的問(wèn)題，早在公元263年，我國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家劉徽就創(chuàng)立了“割圓術(shù)”。所謂“割圓術(shù)”就是利用圓內(nèi)接正多邊形的面積無(wú)限逼近圓的面積，當(dāng)邊數(shù)不能再增加時(shí)，就是圓面積。他在“割圓術(shù)”中提出“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣”，這被視為中國(guó)古代極限觀念的佳作。通過(guò)介紹劉徽“割圓術(shù)”，讓學(xué)生切實(shí)感受到民族的自豪感及對(duì)中國(guó)文化的認(rèn)同感，樹(shù)立遠(yuǎn)大的理想和堅(jiān)定的信念。學(xué)生在課堂上不僅能夠?qū)W到基礎(chǔ)知識(shí)，還可以開(kāi)拓境界，熏陶心靈，有利于學(xué)生的身心發(fā)展。

那么，我們能否把“割圓術(shù)”中所蘊(yùn)藏著的“以直代曲、無(wú)限逼近”的數(shù)學(xué)思想用到求曲邊圖形的面積中呢？要解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，首先需要將拱形窗格放入二維平面中，如圖3所示。建立直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形給出曲邊梯形的定義。

實(shí)際上，會(huì)計(jì)算曲邊梯形的面積，曲邊圖形的面積就迎刃而解了，因?yàn)槲覀兛梢酝ㄟ^(guò)相互垂直的直線將曲邊圖形分割成若干個(gè)曲邊梯形，這樣會(huì)使得問(wèn)題直觀化和簡(jiǎn)單化，也使學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容有感官上的認(rèn)識(shí)，使枯燥的數(shù)學(xué)問(wèn)題顯得更親切。要解決所提出的問(wèn)題，關(guān)鍵點(diǎn)在于如何處理曲邊梯形中的這條曲線。如果這條曲線是直線，那由矩形的面積公式就可以得到，而現(xiàn)在是曲線，當(dāng)然不能用公式。接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們留意窗格外部形態(tài)特點(diǎn)及引導(dǎo)學(xué)生思考矩形與曲邊梯形的本質(zhì)區(qū)別在哪里，抓住問(wèn)題的核心，啟發(fā)學(xué)生思考。經(jīng)過(guò)學(xué)生認(rèn)真討論，總結(jié)為這條曲線是連續(xù)的，由連續(xù)函數(shù)的定義可知曲邊梯形的高f（x）在很小的一段區(qū)間上變化是微小的，幾乎不變。因此把曲邊梯形分割成許多個(gè)窄曲邊梯形，用這些窄曲邊梯形的面積和近似代替曲邊梯形的面積，當(dāng)然誤差一直存在，用什么方法可以使誤差盡量減??？此時(shí)需要多媒體動(dòng)態(tài)展示分割越來(lái)越多就越接近準(zhǔn)確值的過(guò)程，從而引出極限的思想。探究問(wèn)題的設(shè)計(jì)過(guò)程中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常用的以簡(jiǎn)單的圖形逼近復(fù)雜的圖形的思想，為學(xué)習(xí)多重積分奠定基礎(chǔ)。

（三）? 解決問(wèn)題

根據(jù)上一節(jié)討論的結(jié)果，借助于PPT演示每一步動(dòng)畫(huà)，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受無(wú)限逼近過(guò)程的同時(shí)，繼續(xù)思考如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述每一步的分析過(guò)程。分為四步：分割→近似代替→求和→取極限（圖4）。

這里需要學(xué)生注意兩點(diǎn)：一是乘積和式本身雖然與兩個(gè)“任意”有關(guān)，但是乘積和式的極限值與兩個(gè)“任意”是無(wú)關(guān)的；二是在取極限時(shí)要保證無(wú)限細(xì)分，就是要讓每個(gè)小區(qū)間都要無(wú)限縮小，使得當(dāng)n→∞時(shí)，不僅把區(qū)間[a，b]分得無(wú)限多，而且還要讓每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度？駐xi無(wú)限小。通過(guò)逐步層層推導(dǎo)，得出曲邊梯形的面積。常言道“冰凍三尺，非一日之寒；滴水穿石，非一日之功”。無(wú)限細(xì)分，積“小”成多，積沙成塔，最終使得窄矩形的面積和無(wú)限逼近曲邊梯形的面積。這種由量變引起質(zhì)變的過(guò)程蘊(yùn)含著由量變到質(zhì)變的辯證關(guān)系。

求曲邊梯形的面積屬于幾何問(wèn)題，實(shí)際上，不均勻密度的細(xì)棒質(zhì)量、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、旋轉(zhuǎn)體的體積、變力沿直線所做的功、物體的引力、液體的壓力、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題、風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)和投資決策等問(wèn)題都可歸結(jié)為這樣一個(gè)特殊乘積和式的極限。這些問(wèn)題背景完全不同，但是在處理問(wèn)題上有很多共性，引導(dǎo)學(xué)生分組討論歸納總結(jié)得出共性，首先所要求的量都對(duì)區(qū)間具有可加性；其次解決這類問(wèn)題的方法與步驟完全相同，都是通過(guò)這四步得到，分割是為了近似代替，求和是為了取極限得到精確值；最后就是所求的量的極限結(jié)構(gòu)式是相同的，都是特殊乘積和式的極限。那么我們拋去所有背景，把這些共性抽象為一個(gè)一般的數(shù)學(xué)概念，即定積分的概念，也稱黎曼積分。結(jié)合四步解決問(wèn)題的過(guò)程板書(shū)概念，對(duì)定積分的記號(hào)進(jìn)行說(shuō)明，那么曲邊梯形的面積就可表示為

在定積分的定義中，兩個(gè)“任意性”學(xué)生不容易理解，一是小區(qū)間分割的任意性，二是小區(qū)間取點(diǎn)的任意性。若定義中的任意性減少一個(gè)，或分割為等分時(shí)小區(qū)間內(nèi)取點(diǎn)的任意性，或者保留分割的任意性而小區(qū)間內(nèi)取點(diǎn)全部為小區(qū)間左或右端點(diǎn)，就會(huì)給出定積分的兩個(gè)等價(jià)定義[8]。另外，對(duì)于定積分定義，討論較多的是如何利用定積分的定義探討極限問(wèn)題，也是考研和參加競(jìng)賽的同學(xué)必須掌握的內(nèi)容。將[a，b]等分，取？孜i為每個(gè)小區(qū)間的端點(diǎn)，則

掌握定義的同時(shí)也要讓學(xué)生深入理解定積分思想方法的精髓。概念中蘊(yùn)含了四步深厚的數(shù)學(xué)思想，其中“化整為零，積零為整”背后的哲學(xué)思想記錄著新中國(guó)的崛起，中國(guó)自20世紀(jì)50年代起，每五年繪制一份五年計(jì)劃，對(duì)國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展做出規(guī)劃。從“一五”到“十四五”一以貫之的目標(biāo)就是實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代化，五年一小步，積小勝為大勝，積跬步而至千里，從量變到質(zhì)變，每一個(gè)五年都是在中國(guó)特色社會(huì)主義道路路標(biāo)的向?qū)虑斑M(jìn)的，都是向強(qiáng)國(guó)夢(mèng)漸進(jìn)的行軍，愿同學(xué)們?yōu)閷?shí)現(xiàn)中國(guó)夢(mèng)努力奮斗、勤奮學(xué)習(xí)，而我們學(xué)習(xí)的過(guò)程就是在求解曲邊梯形的面積的過(guò)程。每一天認(rèn)認(rèn)真真地努力便構(gòu)成學(xué)習(xí)的小梯形，最終構(gòu)成自我成長(zhǎng)的大梯形。如今，“十四五”規(guī)劃必將帶領(lǐng)我們向著社會(huì)主義現(xiàn)代化強(qiáng)國(guó)和更具有幸福感的未來(lái)邁進(jìn)。

（四）? 應(yīng)用概念

定積分概念可以說(shuō)是高等數(shù)學(xué)課程中最經(jīng)典的定義，是后繼學(xué)習(xí)多重積分、曲線、曲面積分概念的鋪墊。概念本身具有計(jì)算的技巧性和高度的抽象性，是學(xué)生最不容易理解的概念之一。看似抽象的數(shù)學(xué)概念，其實(shí)都有實(shí)際背景，使得教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)在講授的過(guò)程中遇到各種困難。為解決實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生根據(jù)客觀現(xiàn)象對(duì)知識(shí)進(jìn)行凝練，將客觀規(guī)律濃縮到定積分的概念中，體會(huì)概念中化整為零、以直代曲、積零為整和無(wú)限逼近的數(shù)學(xué)思想過(guò)程。最后應(yīng)用概念解決經(jīng)濟(jì)學(xué)中的收益問(wèn)題，如假設(shè)商品的價(jià)格P是銷售量x的函數(shù)P=P（x），計(jì)算當(dāng)銷售量從a到b時(shí)的收益為多少？（設(shè)x為連續(xù)變量）。學(xué)生探索利用定積分的概念解決問(wèn)題。鼓勵(lì)學(xué)生課后搜集更多關(guān)于定積分概念的其他案例，認(rèn)真學(xué)習(xí)文化知識(shí)，學(xué)以致用，增加學(xué)生的社會(huì)責(zé)任感。

至此，我們已經(jīng)會(huì)用定積分的概念來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，那么再回到一開(kāi)始提出的問(wèn)題，如何計(jì)算窯洞拱形窗格的準(zhǔn)確面積？由實(shí)際的測(cè)量數(shù)據(jù)可知，如圖5所示。

如果直接利用定義去計(jì)算，學(xué)生會(huì)遇到什么困難？這也正是下節(jié)課要講的知識(shí)點(diǎn)微積分的基本公式——牛頓-萊布尼茨公式。并指出概念是從客觀現(xiàn)象中抽象出來(lái)的，蘊(yùn)涵著唯物辯證的哲學(xué)思想。體會(huì)積分思想中量變與質(zhì)變的關(guān)系，學(xué)會(huì)處理非均勻分布總量的問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)價(jià)值觀和鉆研精神，感受數(shù)學(xué)的妙用，激發(fā)學(xué)生在學(xué)習(xí)中思考數(shù)學(xué)的熱情。

三? 課程思政融入高等數(shù)學(xué)的實(shí)施方法

理工類課程開(kāi)展課程思政是“育人”這一教育本質(zhì)對(duì)課程的內(nèi)在需求，是新時(shí)代中國(guó)語(yǔ)境下的“課程觀”，聚焦的是學(xué)生情感、態(tài)度、價(jià)值觀的變化成長(zhǎng)。因此，本文根據(jù)理工類課程的特點(diǎn)，針對(duì)經(jīng)管類學(xué)生的特性，從教學(xué)方法、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)模式和教學(xué)情感等方面挖掘思政元素，探尋切入點(diǎn)，以高等數(shù)學(xué)定積分的概念為例，確立課程思政目標(biāo)；設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，尋求“潤(rùn)物無(wú)聲”的思政實(shí)施方法；對(duì)于不同專業(yè)不同課程，構(gòu)建典型思政案例，依托教學(xué)研究活動(dòng)，形成課程思政研討的和諧氛圍，將成功的思政案例進(jìn)行推廣并實(shí)踐。

事實(shí)上，在理工類課程中，很多課堂中的細(xì)節(jié)也體現(xiàn)著思政。例如，在遇到難題時(shí)研討、質(zhì)疑、辯論，數(shù)學(xué)推導(dǎo)的縝密，小心求證的謹(jǐn)慎等都是思政元素融入的契機(jī)。而且，在很多文獻(xiàn)中，教師都提及了思政素材的準(zhǔn)備，包括歷史任務(wù)、文化傳承、歷史沿革、社會(huì)時(shí)事、行業(yè)現(xiàn)狀及前沿發(fā)展等，這些都是教師在教學(xué)準(zhǔn)備中需要時(shí)常探索的思政素材。很多課程的思政案例文獻(xiàn)還明確指出了思政素材與教學(xué)內(nèi)容之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并寫(xiě)入教學(xué)大綱。思政素材準(zhǔn)備可以讓思政隨時(shí)發(fā)生，而不僅僅是在課程或單元開(kāi)始。

思政融入課程的關(guān)鍵在于恰到好處地把握融入的時(shí)機(jī)。事先準(zhǔn)備好的思政教學(xué)設(shè)計(jì)，優(yōu)點(diǎn)在于教師容易進(jìn)行課堂把控，但不恰當(dāng)設(shè)計(jì)往往使思政在教學(xué)中變得過(guò)于顯眼和生硬。因此，思政融入的另一條途徑是學(xué)生主動(dòng)，即準(zhǔn)備好素材，因課堂而變。教師可以在回答學(xué)生問(wèn)題、解決學(xué)生困難或在學(xué)生提出質(zhì)疑時(shí)巧妙的融入。例如，在本節(jié)內(nèi)容中，學(xué)生會(huì)質(zhì)疑為什么不用窄梯形的面積作近似代替呢？教師試問(wèn)：用窄梯形代替后，無(wú)限細(xì)分的極限表達(dá)式如何表示？是不是更為復(fù)雜？這種以學(xué)生為主動(dòng)的思政方式，看似帶有隨機(jī)性，但又有必然性，其優(yōu)點(diǎn)在于讓思政變得順理成章、潤(rùn)物無(wú)聲。

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第一作者簡(jiǎn)介：李曉焱（1984-），女，漢族，陜西榆林人，碩士，副教授。研究方向?yàn)閹缀魏瘮?shù)論。