摘 要：直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段.文章基于直觀想象的立體幾何最值問題的解決，將動態(tài)問題靜態(tài)化，空間圖形平面化，幾何問題代數(shù)化，加強了問題的可視化、可解化，推動了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：直觀想象；化動為靜；化曲為平；化折為直；化形為數(shù)

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1008-0333（2023）22-0034-03

立體幾何，其核心是“立體”問題與“幾何”問題，其本質(zhì)是平面幾何的三維化，是代數(shù)問題的幾何化.立體幾何的考查中常常涉及距離、角度、面積和體積等最值問題，此類最值問題的考查，往往與其他多個模塊的知識融合交匯，如平面幾何、函數(shù)、向量等，因此備受命題者青睞.此類問題的求解，不僅需要豐富的空間想象能力、扎實穩(wěn)定的運算能力，還需靈活運用轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等方法將動態(tài)問題靜態(tài)化、空間問題平面化、幾何問題代數(shù)化.這些等價轉(zhuǎn)化都是建立在學(xué)生對空間幾何體的精準(zhǔn)認(rèn)識、熟練認(rèn)知的基礎(chǔ)上，同時要求學(xué)生必須具備“直觀想象”素養(yǎng).

1 借助直觀想象，動態(tài)問題靜態(tài)化

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)[1].數(shù)學(xué)教學(xué)要注重培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).正如史寧中教授所說：“數(shù)學(xué)的結(jié)論常常是‘看出來的，不是‘證出來的.這種‘看依賴的就是數(shù)學(xué)直觀.直觀不是‘教出來的，而是學(xué)生自己‘悟出來的，這就需要經(jīng)驗積累.”

教材，便是學(xué)生經(jīng)驗萌生的搖籃.新課標(biāo)新要求下的新高考，對立體幾何問題的命制充分體現(xiàn)了以各版本教材為基礎(chǔ)，將核心素養(yǎng)融入試題.因此，教學(xué)時教師應(yīng)充分利用好教材中的例題和習(xí)題，深度挖掘教材中隱含的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，幫助學(xué)生積累解決問題的經(jīng)驗，切實提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].

鏈接教材 （人教A版必修二119頁練習(xí)第3題）將一個棱長為6 cm的正方體鐵塊磨制成一個球體零件，則可能制作的最大零件的體積為.

解析 當(dāng)球與正方體內(nèi)切時體積最大，為36πcm3.

評析 從問題表象看是一個將正方體磨制成球體、從外向內(nèi)、削棱去角的過程，問題的實質(zhì)可以看成正方體內(nèi)部有一個球，不斷膨脹后達到極限狀態(tài)——與正方體的六個面均相切，即為正方體的內(nèi)切球時不能再膨脹.

這是一個借助幾何直觀，通過尋找臨界狀態(tài)，將動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)問題，即“化動為靜”的過程.

案例1 已知四面體ABCD的棱長滿足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，現(xiàn)將四面體ABCD放入一個軸截面為等邊三角形的圓錐中，使得四面體ABCD可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動，則圓錐側(cè)面積的最小值為.

解析 由題意可得：使得四面體ABCD可以在圓錐中任意轉(zhuǎn)動且圓錐側(cè)面積最小時的臨界狀態(tài)即為四面體的外接球，也恰為圓錐的內(nèi)切球.要解決本題則需要解決兩個靜態(tài)問題：（1）四面體的外接球半徑R；（2）圓錐的內(nèi)切球半徑為R時求圓錐的側(cè)面積.首先解決第一個問題：這個四面體的特征——對棱相等，這一特征我們可以借助構(gòu)造“長方體”模型的方法來直觀求解外接球的半徑.設(shè)長方體三條側(cè)棱長為a，b，c，則a2+b2=4，b2+c2=4，c2+a2=1，三式相加得a2+b2+c2=92，故外接球半徑為R=324.再來解決第二個問題：軸截面為等邊三角形，邊長為2r，所以圓錐的內(nèi)切球半徑即為等邊三角形內(nèi)切圓半徑，由13×32×2r=324，解得r=364，所以圓錐的側(cè)面積為S=12×2πr×2r=2πr2=27π4.

2 借助直觀想象，空間圖形平面化

空間問題平面化即降維是處理立體幾何問題的一種重要的思想方法．空間問題平面化，就是將空間的點、線、面的關(guān)系平鋪到同一平面上進行研究，在這個平面中將已知和目標(biāo)的各個元素串聯(lián)在一起，通過研究各元素間的關(guān)系，使得空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.

案例2 已知某圓錐的母線長為3，底面半徑為1，則該圓錐的體積為.設(shè)線段AB為該圓錐底面圓的一條直徑，一質(zhì)點從A出發(fā)，沿著該圓錐的側(cè)面運動，到達點B后再沿側(cè)面回到點A，則該質(zhì)點運動路徑的最短長度為.

解析 （1）利用圓錐的軸截面可求得高為32-1=22，所以圓錐體積V=13Sh=13π×12×22=223π.

（2）設(shè)圓錐頂點為S，沿著母線SA將圓錐的一半側(cè)面展開，可得側(cè)面展開圖是圓心角∠ASB=π3的扇形，在正△ASB中，從A到B的弦長為3，故所求最短路徑為6.

評析 曲面上路徑最短問題，可以借助平面上的常用結(jié)論——兩點間距離線段最短，借助幾何轉(zhuǎn)化，將曲面問題化為平面問題——化曲為平.既然有化曲為平，那折線段最短問題又怎么解決？

案例3 （多選）如圖1所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，P是A1B上的一動點，則（）.

解析 （1）求DP的最小值即求點D到線段A1B的距離，在等腰△A1BD中利用等面積即可求，選A.

（2）解決折線段和最小問題，教師可先給出如下引導(dǎo)問題：

一個質(zhì)點在長方體表面從點A出發(fā)運動到點C1的過程中，運動的最短路徑長度為.

將平面ABB1A1和平面BCC1B1沿BB1展開，則最短路徑為線段AC1的長度，為22.

再來解決題設(shè)問題：當(dāng)點P在A1B上運動，A1B是平面ABA1和平面A1BC1的交線，因此將平面ABA1和平面A1BC1沿A1B展開，AP+PC1的最小值即為線段AC1的長.如圖2，AB=1，A1C1=2，

評析 折面上路徑和最短問題，依然可以類比前面已經(jīng)解決了的曲面上線段最短問題的解決策略——化折為直.將折面沿交線展開平鋪，這樣折線段最短就可以轉(zhuǎn)化為直線段長度和的問題，此轉(zhuǎn)化可以將立體幾何問題化歸為平面幾何問題.

3 借助直觀想象，幾何問題代數(shù)化

代數(shù)重點研究數(shù)字和文字的代數(shù)運算理論和方法；幾何主要研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì).代數(shù)與幾何相輔相成，融為一體.通過轉(zhuǎn)化與化歸，我們可將立體幾何的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，借助函數(shù)求出最值.

案例4 已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上，若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該正四棱錐體積的取值范圍是.

解法2 建立以正四棱錐側(cè)棱長為變量的函數(shù)求最值：設(shè)底面中心為M，球心為O，外接球的半徑為R，設(shè)OP=OA=R，則由43πR3=36π，解得R=3.由（PM-3）2+MA2=9，得PM2-6PM+9+MA2=9，即PM=l26，MA2=l2-l436，即AC2=4l2-l49.故正四棱錐體積V=13×（2l2-l418）×l26=1324（36l4-l6）.令f（x）=1324（36x2-x3），x∈［9，27］，則f ′（x）=1324（72x-3x2）.令f ′（x）=0，解得x=24.從而由函數(shù)f（x）在［9，24）上單調(diào)遞增，在（24，27］上單調(diào)遞減，知V∈［274，643］.

評析 該題考查的是錐體體積的取值范圍的求解問題，可以引入兩個變量，借助兩個變量之間的等量關(guān)系先消元，再通過求導(dǎo)判斷出目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性，從而求出目標(biāo)函數(shù)的值域，即將幾何問題代數(shù)化來解決立體幾何中的最值問題.

基于直觀想象的立體幾何最值問題的解決，改變了原有問題的抽象狀態(tài)，將問題具體化、形象化，使學(xué)生在解決問題的過程中不再是面臨冰冷的數(shù)學(xué)符號和圖形，而是通過直觀想象加強了問題的可視化、可解化，使學(xué)生在問題的解決過程中推動了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)的培養(yǎng).因此，立體幾何教學(xué)中，我們應(yīng)該繼續(xù)專研教材教法，重視知識的交匯，將直觀想象落到實處，促進學(xué)生核心素養(yǎng)的提升，讓想象與推理并重，幾何與代數(shù)齊飛.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 岳峻，楊憶婷.數(shù)學(xué)可視化：提升直觀想象素養(yǎng)的有效途徑[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（22）：25-28.

［責(zé)任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-05-05

作者簡介：王芬芬（1982.11-），女，江蘇省南京人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.