鄔烈榮++毛敏君

摘 要：直觀想象無(wú)論哪種表現(xiàn)形式，都離不開(kāi)“圖形”這一載體，而作圖、識(shí)圖能力的提高需要教師結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容精心設(shè)計(jì)、引導(dǎo).可以通過(guò)設(shè)置直覺(jué)想象的意境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，將學(xué)生的思維放飛，去探索發(fā)現(xiàn).

關(guān)鍵詞：直觀想象；章頭圖；新思維、

直觀是指通過(guò)對(duì)客觀事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí).想象是指人在頭腦里對(duì)已儲(chǔ)存的表象進(jìn)行加工改造形成新形象的心理過(guò)程.因此，所謂“直觀想象”是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.直觀想象在數(shù)學(xué)教學(xué)中主要表現(xiàn)形式有：首先利用圖形描述數(shù)學(xué)問(wèn)題和構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型；其次利用圖形理解數(shù)學(xué)問(wèn)題；最后利用圖形探索和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題等.由此可見(jiàn)直觀想象無(wú)論哪種表現(xiàn)形式，都離不開(kāi)“圖形”這一載體，而學(xué)生作圖、識(shí)圖能力的提高，需要教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容認(rèn)真編排和精心設(shè)計(jì)在教學(xué)過(guò)程中逐漸培育的.下面就談?wù)勅绾闻嘤龑W(xué)生直觀想象核心素養(yǎng)的一些做法，愿與大家分享.

一、剖析章頭圖

數(shù)學(xué)教材的每一章開(kāi)始都配有章頭圖，對(duì)本章內(nèi)容起到導(dǎo)入作用.教師應(yīng)對(duì)此引起足夠重視[1]，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)章頭圖的意境去感悟“為什么學(xué)本章”，并對(duì)章頭圖進(jìn)行挖掘與延伸，指導(dǎo)學(xué)生去探索“本章將學(xué)習(xí)什么”以及“怎么學(xué)本章”，明確本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)與學(xué)習(xí)方法，為本章的學(xué)習(xí)做好鋪墊工作.這樣，知識(shí)內(nèi)容與現(xiàn)實(shí)生活一開(kāi)始便有了直觀聯(lián)系，既有助于學(xué)生知識(shí)體系的形成，同時(shí)也能豐富學(xué)生的直觀想象能力.

如人教版數(shù)學(xué)必修4第一章的章頭圖如下：

圖1中所展示的是“月相”和“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”的場(chǎng)景，可以讓學(xué)生直觀感受循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的自然現(xiàn)象，這正是本章要學(xué)習(xí)的“周期性”.我們可以引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際生活中再尋找一些有關(guān)“周期性”的事物，如“摩天輪”“潮汐變化”等，讓這些現(xiàn)實(shí)的直觀激勵(lì)起學(xué)生學(xué)習(xí)本章的興趣和激情，架起直觀想象的思維.同時(shí)利用好此圖引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一個(gè)學(xué)習(xí)的預(yù)期：如何刻畫周期性的變化規(guī)律？指導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)鋪：用怎樣的函數(shù)刻畫？該函數(shù)有哪些性質(zhì)？該函數(shù)能發(fā)揮哪些作用？從而形成一張知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，再逐一探究，使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)內(nèi)容不光是數(shù)學(xué)知識(shí)本身，更是來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活的直觀展示.

二、駕馭直觀圖形

數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字、符號(hào)和圖形三大語(yǔ)言，很多時(shí)候?qū)W生的思維斷檔緣于題設(shè)中的文字、符號(hào)語(yǔ)言到相應(yīng)的圖形語(yǔ)言的通道并不清晰.這便需要教師選擇幾何背景豐富的知識(shí)點(diǎn)（如函數(shù)、向量等）為例，讓學(xué)生體會(huì)用圖形描述、理解、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，感悟直觀圖形的必要性和重要性，并進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)的積累，潛移默化中提升直觀想象能力.

如（2016，全國(guó)卷2，12）已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，則（ ）

教師不妨引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建一個(gè)直觀模型如一次函數(shù)，借助該函數(shù)的直觀性來(lái)解決此題.

由圖可知，交點(diǎn)有2個(gè)，即，且，故選.

對(duì)抽象事物性質(zhì)的探究，一直以來(lái)讓學(xué)生感到不知所措，如果教師能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)主動(dòng)尋找對(duì)應(yīng)的具體事例，使自己的思維得到該具體事例的支撐，將“一般”的抽象通過(guò)“具體”的直觀模型巧解題目，如此，不僅讓抽象不再抽象，同時(shí)也能讓學(xué)生更直觀地理解抽象性質(zhì)的本質(zhì)：函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（0，1）對(duì)稱，從而想象出個(gè)交點(diǎn)分對(duì)，每對(duì)橫坐標(biāo)之和為0，縱坐標(biāo)之和為2，即所求答案為.

又如（2016，浙江卷文，15）：已知平面向量a，b，，，若e為平面單位向量，則的最大值是_________.

向量是聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁，代數(shù)偏坐標(biāo)法的運(yùn)算，幾何偏作圖識(shí)圖能力.在此題的解法上，很多學(xué)生都會(huì)首選坐標(biāo)法，其中一種做法如下：

如圖建系，設(shè)

，

，

此處的范圍，便可借助直線與圓的位置關(guān)系直觀求解， 不妨令，，

，經(jīng)檢驗(yàn)等號(hào)可取，

的最大值為.

坐標(biāo)法雖是用代數(shù)方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，但代數(shù)和幾何本就是“同根生”的關(guān)系，且不說(shuō)本題借助直線與圓的位置關(guān)系直觀求解，即便是建系和設(shè)點(diǎn)，也都離不開(kāi)圖形的支持，它也是用圖形來(lái)描述和理解問(wèn)題的手段.對(duì)坐標(biāo)法解題我們表示肯定，但向量的幾何背景也提醒著教師從“形”的角度來(lái)引導(dǎo)學(xué)生理解向量，培養(yǎng)作圖識(shí)圖的思維習(xí)慣，提升直觀想象能力.此題從“形”角度解題如下：

圖4

若與同號(hào)，

，

由圖可知取等時(shí)與同號(hào)， 的最大值為；

若與異號(hào)或其中之一為0時(shí)，

，取等號(hào)時(shí)，綜上，的最大值為.

向量的題型出題時(shí)多用符號(hào)、文字進(jìn)行描述，反過(guò)來(lái)，不妨引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形進(jìn)行再探究，用圖形的變化對(duì)試題進(jìn)行反思創(chuàng)新，又何嘗不可呢？如上述圖中，點(diǎn)位置會(huì)隨點(diǎn)位置的改變而改變，原題是已知點(diǎn)求點(diǎn)，不妨改編為已知點(diǎn)求點(diǎn)，即已知的最大值求的最值，此題便是2016年浙江高考數(shù)學(xué)理科試卷第15題的出題方向，所以只要抓住了向量的圖形屬性，借助圖形語(yǔ)言識(shí)圖、辨圖，無(wú)論題目如何改變，我相信通過(guò)長(zhǎng)期的有效經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生能逐漸理解“萬(wàn)變不離其宗”的規(guī)律.

三、促生新思維生成

直覺(jué)思維，是指對(duì)一個(gè)問(wèn)題未經(jīng)逐步分析，僅依據(jù)內(nèi)因的感知迅速地對(duì)問(wèn)題答案作出判斷、猜想和設(shè)想.著名數(shù)學(xué)家徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺(jué)也是不斷提高的.”數(shù)學(xué)直覺(jué)完全可以通過(guò)有意識(shí)的訓(xùn)練和培養(yǎng)來(lái)提高.

如：垂徑定理的逆定理：是圓的一條弦（非直徑），且是中點(diǎn)，則OMAB即.

在橢圓中是否有類似結(jié)論呢？于是通過(guò)圖形變化以及數(shù)據(jù)驗(yàn)證促生出橢圓的一個(gè)性質(zhì)：不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓，

相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則.

橢圓作為圓錐曲線其中一員，在雙曲線與拋物線中是否也具有這樣的結(jié)論呢？我們?cè)俅瓮ㄟ^(guò)數(shù)據(jù)驗(yàn)證促生出雙曲線的一個(gè)性質(zhì)：不過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則.（與橢圓的結(jié)論高度統(tǒng)一）

同時(shí)也促生拋物線的一個(gè)性質(zhì)：不過(guò)原點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則（其中是中點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

像這樣，僅僅依據(jù)橢圓與圓的直覺(jué)聯(lián)系，便可將兩種不同事物融匯成一種內(nèi)在相同的本質(zhì)與規(guī)律，這種跳躍式思維雖然具有不可靠性，但卻能幫助學(xué)生作出創(chuàng)造性預(yù)見(jiàn)，在創(chuàng)造活動(dòng)中有著非常積極的作用.

如：（2015年溫州市高三第一次適應(yīng)性測(cè)試）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且離心率等于.點(diǎn)分別為橢圓的左右頂點(diǎn)，是橢圓上不同于頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，且的面積等于.

（?。┣髾E圓的方程.（略）

（ⅱ）過(guò)點(diǎn)作交橢圓于點(diǎn)，求證：.

學(xué)生對(duì)“”的等價(jià)代數(shù)條件“”的驗(yàn)證手段并不明確，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生在橢圓題型中遇到“疑難雜癥”時(shí)，利用橢圓與圓的仿射變化，將橢圓問(wèn)題“回歸”到圓的角度中來(lái).通過(guò)圓的一個(gè)性質(zhì)：直徑所對(duì)的圓周角是直角，即，促生出橢圓的一個(gè)性質(zhì)：

經(jīng)過(guò)橢圓中心的任意一條弦的兩端與橢圓上任一點(diǎn)的連線的斜率乘積為.于本題而言，意味著，故只需驗(yàn)證是否成立即可.讓學(xué)生體會(huì)“山窮水盡疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的直覺(jué)感受，同時(shí)為本題提供了另一種嶄新的思維方式.

總之，德國(guó)教育家第斯多惠曾說(shuō)過(guò)：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒和鼓舞.”因此，教師在有意識(shí)地培育學(xué)生“直觀想象”的核心素養(yǎng)中，不妨通過(guò)設(shè)置直覺(jué)想象的意境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)，把主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，對(duì)學(xué)生的大膽設(shè)想予以肯定，對(duì)其合理成分進(jìn)行鼓勵(lì)，激發(fā)學(xué)生自發(fā)性直覺(jué)思維去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.從而在解決問(wèn)題時(shí)插上“直觀想象”的翅膀，讓思維放飛.

參考文獻(xiàn)：

[1]任偉芳.為培育核心素養(yǎng)凸顯概念教學(xué)過(guò)程而設(shè)計(jì)——對(duì)“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”一課的點(diǎn)評(píng)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬），2016（11）：16-17.