張一檣

【摘? 要】? 在初中幾何三角形問(wèn)題的學(xué)習(xí)中，題目往往側(cè)重考查基本圖形，同時(shí)條件和問(wèn)題靈活多變，易成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).梳理核心知識(shí)，把握基本圖形，適當(dāng)變式拓展是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的關(guān)鍵.本文以2021年杭州中考數(shù)學(xué)第21題為例，談?wù)勅绾瓮诰蛟囶}內(nèi)涵，進(jìn)行變式拓展.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學(xué)；三角形；變式練習(xí)

1? 試題呈現(xiàn)

2021年杭州中考數(shù)學(xué)第21題：如圖1，在△ABC中，∠ABC的角平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，AE⊥BC于點(diǎn)E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．

（1）求證：AB＝BD；

（2）若AE＝3，求△ABC的面積．

本題以三角形為背景，考查角平分線的意義，三角形內(nèi)角和、外角，等腰三角形的性質(zhì)和判定、解直角三角形、三角形的面積等知識(shí)，難度中等.

2? 變式探究

仔細(xì)觀察本題的圖形，不難發(fā)現(xiàn)本質(zhì)是由一副三角板背靠背拼接而成.這對(duì)特殊三角形是初中幾何三角形問(wèn)題的基本圖形.深究此題，可以拓展延伸出很多內(nèi)容，本題的變式可以有以下幾個(gè)方面.

2.1? 條件不變，改變問(wèn)題

變式1? 如圖2，增加線段AE和BD的交點(diǎn)O，不改變?cè)}的條件，改變問(wèn)題.

（1）求證：AO =BO；

（2）若AE =3，求OD∶OB的值.

證明? （1）因?yàn)锳E⊥BC，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，

可得∠ABD =∠BAE =30°，

所以AO=BO.

解? （2）在Rt△AEB中，BE =，AB =，

在Rt△BOE中，OE =1，BO =2，

因?yàn)椤螧AD =180° -∠ABC -∠C =75°，

∠ADB =∠C +∠DBC =75°，

所以∠BAD =∠ADB，AB =BD =，

所以O(shè)D∶OB =.

在原圖的基礎(chǔ)上繼續(xù)深究，不難發(fā)現(xiàn)，圖中每一個(gè)角的度數(shù)都是確定的，進(jìn)而可以發(fā)現(xiàn)△AOD∽△CBA.因此，第二問(wèn)也可以進(jìn)一步加大難度，改編為思維含量更高的題型，如：求AD的長(zhǎng)、求四邊形ODCE的面積等，充分考查相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)技能.

變式2? 如圖2，不改變?cè)}的條件，改變問(wèn)題.

（1）求證：△AOD∽△CBA.

（2）若AE =3，求AD的長(zhǎng).

證明? （1）因?yàn)锳E⊥BC，∠ABC＝60°，∠C＝45°，

可得∠EAC＝∠C =45°，

∠BAE＝90° -∠ABC=30°，

又BD平分∠ABC，

則∠ABD =∠ABC =30°，

所以∠AOD =∠ABD+∠BAE = 60°，

則∠AOD =∠ABC，

所以△AOD∽△CBA.

解? （2）由（1）可得，在Rt△AEC中，AE = EC =3，

則AC =，

在Rt△AEB中，BE =，AB =，

則BC =3+.

由變式1得，AO =BO =2，

因?yàn)椤鰽OD∽△CBA，

所以，

得，

所以AD =.

2.2? 改變條件，深挖問(wèn)題

若改變?nèi)前瀵B放的方式，變背靠背為重疊放，可以產(chǎn)生新的情境.

變式3? 如圖3，在Rt△AEC中，∠AEC= 90°，∠ABE的角平分線BD交AE邊于點(diǎn)D．已知∠ABE =60°，∠C=45°．

（1）求證：AD=BD；

（2）若AE =3，求△ABC的面積．

證明? （1）由題可知，∠ABD＝∠ABE=30°，∠C＝∠EAC = 45°，

則∠BAC=∠ABE-∠C=15°，

∠BAE=∠EAC -∠BAC =30°，

所以∠BAE =∠ABD，

所以AD=BD.

解? （2）若AE＝3，則CE =3，BE =，BC =3-，

所以.

也可以去掉原題中AE這條高，使圖形變得更為簡(jiǎn)單，考查學(xué)生做輔助線構(gòu)造特殊直角三角形的能力.例如：

變式4? 如圖4，在△ABC中，已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．若AB＝3，求△ABC的面積．

分析? 當(dāng)三角形的問(wèn)題中出現(xiàn)特殊角時(shí)，應(yīng)把特殊角放到直角三角形當(dāng)中去尋找邊角關(guān)系，因此過(guò)點(diǎn)A向BC邊作垂線段，構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，解直角三角形，原題就可迎刃而解.

原題的圖形由于其固定性，因此所有的線段和角度都是確定可求的，我們也可以打開(kāi)思路，讓圖形動(dòng)起來(lái)，使問(wèn)題變得更為靈活開(kāi)放.去掉圖形，改編成如下問(wèn)題：

變式5? 已知在△ABC中，AB =2，AC =，BC邊上的高AE =，求∠BAC的度數(shù).

解? 根據(jù)題意構(gòu)造圖形，如圖5.由AB =2，AC =，

AE =可知，∠BAE =30°，∠CAE =45° .

若高AE在△ABC內(nèi)，則∠BAC =∠CAE +∠BAE = 75°.

若高AE在△ABC外，則∠BAC =∠CAE -∠BAE =15°.

在無(wú)圖的情況下，需要學(xué)生自行作圖嘗試進(jìn)行分析.由于三角形的高不確定，這個(gè)問(wèn)題有兩種情況，需要分類討論.這樣的問(wèn)題，考驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的敏感度，作圖能力和分類討論思想.也可以在學(xué)生探究出兩種情況的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步引導(dǎo)他們，圖中還有哪些量可以求？如求BC的長(zhǎng)，求△ABC的面積等，以此拓展學(xué)生思維的深度.

3? 結(jié)語(yǔ)

從這道簡(jiǎn)單的中考題里，我們通過(guò)改變問(wèn)題、改變條件等方式，探究出了三角形一系列問(wèn)題的廣闊天地.在八年級(jí)時(shí)，這道題的圖形可以利用三角形內(nèi)角和來(lái)研究角度，在九年級(jí)則可以利用勾股定理和相似研究線段長(zhǎng)度、周長(zhǎng)、面積等.不論哪種問(wèn)題，到最后都回歸到某一個(gè)三角形中，尤其是特殊三角形中.因此，把握基本圖形，掌握核心知識(shí)方法，鎖定三角形再展開(kāi)研究，這是日常教學(xué)中我們應(yīng)讓學(xué)生意識(shí)到的.

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