楊?？?(江蘇省泰州市姜堰區(qū)第四中學 225500)

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)指出:要注重教學內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化[1]85.由此可見,“結(jié)構(gòu)化”是數(shù)學教學的基本要求.那么,數(shù)學概念教學如何引導學生通過“結(jié)構(gòu)化”教學促進其深度學習呢?最近,在一場特級(骨干)教師“牽手農(nóng)村教育”送教活動中,筆者觀摩了一位青年教師執(zhí)教的一節(jié)“二次函數(shù)”課,引發(fā)了對指向深度學習的結(jié)構(gòu)化概念教學的思考.

1 教學片斷

本節(jié)課內(nèi)容選自蘇科版教材九年級下冊第五章《二次函數(shù)》第一節(jié),下面呈現(xiàn)教學簡案及筆者的分析與思考.

片段1 舊知回顧

問題1 一般地,在一個變化的過程中有兩個變量x和y,如果對于變量x的值,變量y都有的值與之對應,那么我們稱y是x的,其中x是,y是.

追問1:何為一次函數(shù)(正比例函數(shù))?

追問2:何為反比例函數(shù)?

片段2 新知探究

問題2 一粒石子投入水中,激起的波紋不斷向外擴展,擴大的圓的面積S與半徑r之間的函數(shù)關系式是什么?

問題3 用籬笆圍成一個長方形的生物園來飼養(yǎng)兔子,已知籬笆的長是16 m,寫出兔子的活動范圍y與長方形的長x之間的函數(shù)關系式.

追問:這兩個函數(shù)關系式中自變量的次數(shù)分別是多少?

問題4 一面長與寬之比為2∶1的矩形鏡子,四周鑲有邊框．已知鏡面的價格是120元/m2,邊框的價格是30元/m,加工費為45元．設鏡面寬為xm,求總費用y(元)與鏡面寬x之間的函數(shù)關系式.

追問1:鏡面的費用、邊框的費用、總費用怎么表示?

追問2:這三個函數(shù)關系式有什么共性?

片段3 新知鞏固

問題5 下列哪些函數(shù)是二次函數(shù)?為什么?如果是二次函數(shù),請指出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)以及常數(shù)項.

(1)y=1+x2;(4)y=2x2-3x3+1;

(3)y=t(1+t); (6)y=22-x.

問題6 如果函數(shù)y=xk2-2+kx-2是二次函數(shù),則k的值是多少?

追問:依據(jù)剛剛學習的二次方程,你能怎么變式?

問題7 用16 m長的籬笆圍成一邊靠墻(墻長6 m)的長方形的生物園飼養(yǎng)小兔,設垂直于墻的一邊長為xm,長方形的面積記為ym2．求y與x之間的函數(shù)關系式.

追問:自變量的取值范圍是什么?

片段4 歸納建構(gòu)

問題8 這節(jié)課學習了哪些知識?

問題9 收獲了哪些思想方法?

問題10 后續(xù)可能會研究什么內(nèi)容?

問題11 課堂上我還存在的困惑是什么?

……

2 教學分析

這節(jié)課能引導學生主動探索,課堂教學重點突出、選例經(jīng)典、講解細致,教學活動逐步深入、層層遞進,達成了知識與技能的學習目標.

一是回顧已有知識,在復習中做好鋪墊.課堂伊始,教師直接拋出函數(shù)的概念問題,先問什么是函數(shù),直接復習函數(shù)的概念,再通過追問,回顧一次函數(shù)和反比例函數(shù)的概念,為二次函數(shù)概念的學習做好方法的準備.貌似開門見山,直入主題,卻會讓學生對函數(shù)的概念越發(fā)迷糊.

二是基于已有認知,在類比中形成概念.在“片斷2”中,教師從學生已有認知和生活經(jīng)驗出發(fā),設計了三個問題,列出函數(shù)表達式,教師追問三個函數(shù)的共性,在學生的思考與交流中得出二次函數(shù)的概念和一般形式,并類比一次函數(shù)得到二次函數(shù)的三種特殊形式,且強調(diào)實際問題要考慮自變量的取值范圍,基本完成了概念教學任務.

三是通過問題解決,在辨析中內(nèi)化概念.“片斷3”通過具體問題的辨析內(nèi)化二次函數(shù)概念,在觀察、思考和交流中,明確了函數(shù)表達式的等號右邊是自變量的二次整式,最高次數(shù)為2;通過問題變式訓練,強化了二次函數(shù)存在的條件是二次項系數(shù)不為0;通過實際問題的研究,強調(diào)了自變量取值范圍問題.

四是著眼知識技能,在反思中歸納建構(gòu).“片斷4”引導學生從函數(shù)知識、數(shù)學方法和方向引領三個方面自主建構(gòu),并借助一次函數(shù)的學習,明確了二次函數(shù)后續(xù)研究的方向與路徑,啟發(fā)學生對本節(jié)課的內(nèi)容提出自己的困惑和質(zhì)疑,培養(yǎng)其提出問題的能力.但由于時間分布不太合理,該環(huán)節(jié)顯得匆忙,沒有達到預期的效果.

3 教學改進

深度教學是在有效教學的基礎上,深挖教材與資源,引發(fā)學生更深層次的思考,使其能夠善于發(fā)現(xiàn)新問題、提出新觀點、探索新方法[2].《課標2022》強調(diào)要以整體觀和聯(lián)系觀開展數(shù)學教學[1]85-86.比如,如何關注知識的內(nèi)部聯(lián)系,以聯(lián)系觀念開展概念教學?如何充分體現(xiàn)學生主體性?如何讓數(shù)學核心素養(yǎng)落地?這些都是初中數(shù)學教師應該思考的問題.基于此,筆者從三個方面對本節(jié)課進行優(yōu)化設計.

3.1 以結(jié)構(gòu)化的方法激發(fā)學生提出深度問題

對初中生來說,函數(shù)是比較抽象的概念.針對函數(shù)這一特點,可先適當?shù)瘮?shù)概念.

問題1 一粒石子投入水中,激起的波紋不斷向外擴展,所形成的圓的周長C與半徑r之間的函數(shù)表達式為,這是函數(shù).

問題2 用籬笆圍成一個長方形的生物園來飼養(yǎng)小兔,已知長方形面積為16 m2,長為xm,寬為ym,則y與x的函數(shù)表達式為,這是函數(shù).

追問1:兩題有什么共性?

追問2:你怎樣認識函數(shù)是解決問題的有效手段?

設計意圖根據(jù)學生已有認知,基于結(jié)構(gòu)化、條理化的安排,從問題情境出發(fā),圍繞教材中“石子投入水中的波紋”和“籬笆飼養(yǎng)小兔”兩個問題展開追問,引導學生認識到建立函數(shù)模型是解決問題的有效手段,從而感受到二次函數(shù)概念學習的必要性.

3.2 以結(jié)構(gòu)化的思維引導二次函數(shù)概念的生成

如何充分調(diào)動學生的思維,克服學生想得少、學得淺,知識理解不連貫的問題?筆者以為,可在前一環(huán)節(jié)基礎上,以問題串的形式繼續(xù)追問,結(jié)構(gòu)化地指引學生深度思考.

問題3 一粒石子投入水中,激起的波紋不斷向外擴展,所形成的圓的面積S與半徑r之間有何關系?

追問1:當r確定時,圓的面積S確定嗎?

追問2:S是r的函數(shù)嗎?

追問3:理由是什么?

追問4:這個函數(shù)我們學過嗎?

設計意圖在這個過程中,教師只是追問“所形成的圓的面積S與半徑r之間有何關系?”,啟發(fā)學生思考,而不直接點出函數(shù)關系,旨在利用賦值法,給定r一個值,S就有唯一確定的值,從而滲透“對應聯(lián)動”的變量關系,如此復習了函數(shù)概念,并由內(nèi)向外剖析函數(shù)概念,為引入二次函數(shù)做好鋪墊.這種教學方式既充分利用了問題情境資源,又能抓住數(shù)學概念之間的內(nèi)部聯(lián)系.

問題4 用16 m長的籬笆圍成一個長方形的生物園飼養(yǎng)小兔,你將如何來研究生物園的面積?

追問1:怎么研究?小學學過什么方法嗎?

追問2:可否有更好的方法來解決問題?

追問3:請問y=-x2+8x是函數(shù)嗎?

追問4:同學們,這個函數(shù)你們學過嗎?

設計意圖問題的設問貌似很散,但學生基于上一問自然會想到賦值.通過討論、交流,發(fā)現(xiàn)賦值的局限性,進而聯(lián)想到設出變量,尋找等量關系,列出等式(函數(shù)),再有意識地規(guī)范書寫,引導學生進一步識別函數(shù),如此既內(nèi)化了函數(shù)概念,又為引入二次函數(shù)做好準備.

問題5 一面長與寬之比為2∶1的矩形鏡子,四周鑲有邊框．已知鏡面的價格是120元/m2,邊框的價格是30元/m,加工費為45元．你會如何研究總費用?

追問1:總費用由什么組成?怎么表示?

追問2:未知量如何表示?

追問3:這個y=240x2+180x+45是函數(shù)嗎?

追問4:理由是什么?

設計意圖學生在掌握函數(shù)概念的基礎上,通過自主完成問題5,自然生成二次概念.而追問1和2旨在提醒學生用變量關系來轉(zhuǎn)化問題,追問3和4旨在引導學生建立函數(shù)模型解決問題.經(jīng)過3個問題的追問引導,強化函數(shù)與二次函數(shù)概念的關聯(lián),如此二次函數(shù)概念水到渠成,實現(xiàn)了概念的結(jié)構(gòu)化教學.

3.3 以結(jié)構(gòu)化的觀念強化概念的深度理解應用

問題6 二次函數(shù)有何特征?我們是如何將實際問題數(shù)學化的?

追問1:函數(shù)描述的是什么關系?

追問2:建立函數(shù)模型解決實際問題的關鍵是什么?

追問3:我們運用了哪些思想和方法?

追問4:接下來期待學習函數(shù)的什么知識來有效解決實際問題?

設計意圖課堂小結(jié)的重點是引導學生把知識、方法、思想結(jié)構(gòu)化,旨在幫助學生梳理數(shù)學知識、方法與思想,實現(xiàn)知識的銜接、方法的關聯(lián)、思維的升華.筆者的小結(jié)教學中,引導學生在自主歸納、自主反思、自主質(zhì)疑的基礎上,設計出如 圖1所示的結(jié)構(gòu)圖,并通過問題追問,讓學生把握建立函數(shù)模型解決實際問題的關鍵,感受數(shù)學思想和方法,同時明確后續(xù)的研究方向與路徑,提出新的質(zhì)疑.

圖1 函數(shù)知識結(jié)構(gòu)圖

4 教學思考

結(jié)構(gòu)化概念教學可以從多方面促進學生理解概念、“生長”概念,達成深度學習.在教學中,數(shù)學育人要用數(shù)學的方式[3].教師可以聯(lián)系舊知,尋求起點對比分析、加強溝通,可以逆向思維,探索知識異同,可以總結(jié)經(jīng)驗、拓展延伸,還可以綜合實踐、創(chuàng)新應用等,真正引導并幫助學生構(gòu)建理性的思維體系,使他們能夠以結(jié)構(gòu)化的眼光去看待知識的學習過程,進而可以系統(tǒng)掌握學習的知識和技能.

4.1 確定結(jié)構(gòu)化單元學習目標

結(jié)構(gòu)化單元的學習目標是促進學生深度學習的助推劑,如何設計結(jié)構(gòu)化的學習目標就顯得特別重要.筆者在本節(jié)課的設計中,把知識目標設定為“函數(shù)→二次函數(shù)”的遞進式目標,方法目標設定為“實際問題→數(shù)學問題→學會用函數(shù)模型解決問題”的目標.通過問題串追問,指引學生深度思考,讓學生在潛移默化中獲得“知識→能力→素養(yǎng)”的發(fā)展.

4.2 構(gòu)建整體關聯(lián)的結(jié)構(gòu)體系

蘇科版初中數(shù)學教材函數(shù)內(nèi)容分為八年級上冊的一次函數(shù)、八年級下冊的反比例函數(shù)和九年級下冊的二次函數(shù)3個板塊.面對這種板塊式、間斷式設計,用傳統(tǒng)的方法進行碎片化教學顯然效果不理想,有必要精心安排教學內(nèi)容并進行整合、優(yōu)化和關聯(lián),通過單元主題式教學方式,實現(xiàn)學生數(shù)學知識與數(shù)學方法的結(jié)構(gòu)化和思維能力與數(shù)學素養(yǎng)的最優(yōu)化.