江蘇省無錫市新洲小學 余曉華

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出：數(shù)學課程內容的一大特點就是整體性。如何更好地體現(xiàn)新課標理念的整體性，就是在數(shù)的概念的學習和接受過程中，從數(shù)形成和發(fā)展的角度出發(fā)，溝通知識之間的實質性聯(lián)系，由淺入深，層層遞進，螺旋上升，建立起框架式的結構性知識鏈，從源頭上讓學生感受到整體性的存在。

一、凸顯通碼——計數(shù)單位，感悟數(shù)的概念的一致性

在小學階段，學生主要學習自然數(shù)、整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)，這些數(shù)的產生與發(fā)展都源于人們的生活實踐。

（一）尋找不同數(shù)的同頻點，同聲相應

在最初數(shù)系學習中，學生是從自然數(shù)開始認識數(shù)的。一年級上學期學生在實際情境中感悟并理解數(shù)的意義。從圖1中可以看出，單一情境中，有1個滑梯、2個秋千、3個木馬……在抽象到小圓點時，通過相應的方法，讓學生感受到圓點表示與之相等的數(shù)量，再過渡到數(shù)字表達。還可以給學生創(chuàng)設相關情境：比1多1的是2，比2多1的是3……抽象成一致性的元素單位后，前后之間的關聯(lián)性就更明顯了，可明顯看出數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系是如此緊密。計數(shù)單位依次累積，一個衍生一個……在十進制的助推下，自然數(shù)就這樣產生了，在累積過程中，永遠遵循著同類計數(shù)單位的累積，同一個數(shù)領域的同類疊加，在一個個往后數(shù)的過程中，學生初步體會到了數(shù)是對數(shù)量的抽象，同時也理解了數(shù)的意義，無形中感受到了計數(shù)單位的一致性，從而很好地發(fā)展了數(shù)感這一核心素養(yǎng)。

圖1

在學習數(shù)的認識內容后，學生接下來接觸到的是三年級上學期的分數(shù)，當把一個蛋糕平均分成兩份，沒法用自然數(shù)表示結果的時候，分數(shù)就順其自然地出現(xiàn)了。學生在感受意義的過程中，也捕捉到了最基本的分數(shù)單位：每份大小一樣，兩個就是1，兩個相同的分數(shù)單位可以進行累積。分數(shù)單位其實也就是分數(shù)這個領域中的計數(shù)單位，感悟到了這一點，才能更好地感悟分數(shù)的本質。分數(shù)的累積與自然數(shù)的累積，在本質上是完全一致的。數(shù)家族的規(guī)則是如此統(tǒng)一，且都是同類生長。

學生認識的第三種不同類型的數(shù)是三年級下學期的小數(shù)，小數(shù)是與眾不同的，但是又與分數(shù)有著千絲萬縷的關系。當把“1”平均分成10份，每份是，寫成小數(shù)就是0.1；把“1”平均分成100份，每份是，寫成小數(shù)就是0.01……在這個平均分的過程中，我們看到了小數(shù)產生的全過程，小數(shù)就是分數(shù)的另一種表達形式，同時發(fā)現(xiàn)了小數(shù)最根本的元素——計數(shù)單位：0.1、0.01、0.001……而且0.1、0.1+0.1=0.2、0.2+0.1=0.3……依次往后數(shù)，數(shù)的過程就是計數(shù)單位在逐步累積的過程，而且是相同計數(shù)單位的疊加，產生了不同的小數(shù)，小數(shù)的衍生與自然數(shù)和分數(shù)有著彼此相通的感覺。

（二）探測不同數(shù)的共振帶，同生共長

在整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的產生中，還有著奇妙的同向性，那就是當計數(shù)單位依次累積時數(shù)就變大，當計數(shù)單位依次遞減時數(shù)就相應變小，這個同向性與數(shù)的概念的一致性也有著緊密的聯(lián)系。雖然不同數(shù)位上的數(shù)字所對應的計數(shù)單位不同，但是都有著這樣的同向性，在這樣統(tǒng)一原則的情況下，數(shù)家族穩(wěn)固而持續(xù)地同生共長。

（三）經歷不同數(shù)的數(shù)學化，同條共貫

認識數(shù)的關鍵是理解數(shù)的建構過程，在數(shù)的產生過程中，我們看到了整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)這三種不同類型的數(shù)集之間的一致性，這種一致性是由基本元素即計數(shù)單位所聯(lián)結的。數(shù)的發(fā)展過程就是計數(shù)單位的發(fā)展過程，每個數(shù)位上的計數(shù)單位均不同，但是相互之間卻有著緊密的聯(lián)系，而且有著相同的規(guī)則——滿十進一。因此，計數(shù)單位占據數(shù)的認識中的核心地位，這也是整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的共通之處，數(shù)的意義、數(shù)的大小、數(shù)的表達等都是基于此才有了意義。學生在認識計數(shù)單位的過程中，感悟到了數(shù)的概念本質上的一致性，從而整體把握數(shù)的概念的本質，發(fā)展了持續(xù)的數(shù)感，更學會了用數(shù)學的思維思考問題。

建立數(shù)之間的聯(lián)系，就要以計數(shù)單位為核心要素來統(tǒng)領數(shù)的概念。感悟數(shù)的概念的本質，帶領學生經歷由數(shù)量到數(shù)、由整數(shù)到分數(shù)再到小數(shù)的形成過程。這個過程是知識的發(fā)生、發(fā)展過程，也是數(shù)學化的過程。學生經歷了這個過程，才能夠體會知識的本源性與一致性。

二、通碼衍生——運算規(guī)則，理解加減法運算的一致性

在整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)的學習中，學生有了整體認識和關聯(lián)性思考，打破了知識間的壁壘，這對學習運算是有幫助的，很多問題都會迎刃而解。因此，用聯(lián)系的眼光、整體的方向、全方位的視角學習知識，不僅能夠加深理解，更能達到有效的正遷移，使學生基于數(shù)的概念的一致性進而順理成章地理解數(shù)的運算一致性的合理性。

加、減、乘、除本質上是一體的，所有的運算都可以還原成加法，加法是所有運算的基礎；就算法角度而言，所有運算的根本就是計數(shù)單位與計數(shù)單位的運算。其中起到潤滑劑作用的還是數(shù)的概念中的通碼——計數(shù)單位。

在整數(shù)的加減法運算中，計算原則是相同計數(shù)單位相加減，如：

216+135

=2（百）+1（十）+6（一）+1（百）+3（十）+5（一） （數(shù)的組成）

=（2+1）（百）+（1+3）（十）+（6+5）（一）（加法交換律、加法結合律）

=3（百）+4（十）+11（一）

=3（百）+5（十）+1（一）（滿十進一）

=351

數(shù)的概念是基于計數(shù)單位把數(shù)組裝起來，數(shù)的運算是基于計數(shù)單位把數(shù)拆解開來，再進行同類累積，從而得出結果。

在小數(shù)的加減法中，計算原則同樣是相同計數(shù)單位相加減，如在上面的兩個數(shù)字中間任意位置點上小數(shù)點，求兩數(shù)的和：

2.16+1.35

=2（一）+1（0.1）+6（0.01）+1（一）+3（0.1）+5（0.01）（數(shù)的組成）

=（2+1）（一）+（1+3）（0.1）+（6+5）（0.01）（加法交換律、加法結合律）

=3（一）+4（0.1）+11（0.01）

=3（一）+5（0.1）+1（0.01）（滿十進一）

=3.51

雖然上下兩題的數(shù)字組成一樣，但是因為小數(shù)點的出現(xiàn)，打亂了原來數(shù)的平衡，讓數(shù)字所在數(shù)位上的數(shù)值發(fā)生了變化，所以得出的結果就不一樣了，但是它們的本質是相通的。在第一步寫數(shù)的組成中，將數(shù)打回原形，尋找到這個數(shù)的緣起，即它是怎么來的。在數(shù)的組成中，我們明顯看到了數(shù)的組成的分類，幾個百、幾個十、幾個一……不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的數(shù)值，分類的思想已明顯呈現(xiàn)，通過加法交換律和加法結合律，讓同類的“入一家”，也就是遵循著相同計數(shù)單位“入同一家”的原則，然后才能相加，在加的過程中，同生共長的感覺已然顯現(xiàn)。

不光整數(shù)加法和小數(shù)加法遵循著這樣的原則，整數(shù)減法和小數(shù)減法也遵循著同樣的原則。分數(shù)加減法也同樣都遵循相同計數(shù)單位相加減的原則，分數(shù)中的計數(shù)單位就是分數(shù)單位，分母相同，表示單位相同，分數(shù)在加減的過程中，也是幾個幾分之一加減幾個幾分之一，等同于整數(shù)、小數(shù)中的幾個百加減幾個百，幾個十加減幾個十……與整數(shù)、小數(shù)運算保持了一致。這也就意味著單位個體一樣的同類，才能在均等條件前提下進行加減，與整數(shù)、小數(shù)加減法的計算法則是一致的。

在教學中，學生學習知識的過程是循序漸進的。在這個過程中，教師要揭開數(shù)及其運算表面的層層面紗，讓學生的知識串聯(lián)成鏈，環(huán)環(huán)相扣，螺旋上升，自由生長……那么，學生結構性的知識將成為他以后學習的一個生長點。所以學習完小數(shù)加減法后，教師可以讓學生主動梳理小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的異同，在梳理中逐漸建立關聯(lián)，溝通數(shù)的運算的一致性。同時，在學習完分數(shù)加減法后，教師可以引導學生思考分數(shù)加減法與之前的整數(shù)加減法、小數(shù)加減法是如何嫁接起來的。整體設計教學，在數(shù)的認識、數(shù)的運算的每一節(jié)課中貫徹上述思想，那么在所有數(shù)的概念與運算的學習結束時，就能進行融會貫通的復習，實現(xiàn)算理貫通、算法統(tǒng)整。只有形成結構性的知識，才能更加深化學生對這個知識點的認知。

三、單位創(chuàng)生——穩(wěn)固共識，培養(yǎng)慣性思維

在數(shù)學學習這個漫長的過程中，學生由對數(shù)的概念的一致性溝通過渡到對數(shù)的運算的一致性的理解，而這種一致性對學生的后續(xù)產生的不僅僅是點狀的物理作用，也可以產生有效的“化學反應”，從而使學生對數(shù)學中的一致性產生更為穩(wěn)固的認識。

在“元、角、分”“米、分米、厘米”……這些涉及單位的所有類型的描述中，在進行加減運算時，同樣要遵循相同單位才能相加減的原則，這個原則也是從學生一開始認識這些單位時就形成的固有的認識，元+元、角+角、分+分。在這個過程中，也體現(xiàn)著相同單位相加減，與數(shù)的運算的一致性是同向而馳的。同時這個原則解釋了五年級上學期小數(shù)加減法運算要將小數(shù)點對齊的原因，對學生理解知識起到了畫龍點睛的作用。如4.75元+3.4元，為什么將小數(shù)點對齊再計算結果才是正確的？因為4.75元就是4元7角5分，3.4元就是3元4角，元和元是同類的，角和角是同類的，分和分是同類的，這樣相加才是符合規(guī)則的。在這個過程中，也滲透著相同單位相加減的原則，讓這個一致性產生了良好的輻射作用，學生的思維得到了拓展。其實，所有相關單位都遵循著這樣的一致性，單位量不斷累積繼而產生更大的數(shù)，只是在同類單位中遵循的進率有所不同，所有的同類生長都是一致的，這種一致性也是數(shù)學體系中所有元素生長的根。

為了達成上述目標，教師要重視對教學內容的整體分析，明白“數(shù)”與“運算”的一致性；抓住統(tǒng)領性概念，深化對數(shù)學知識本質的理解，提煉能建立數(shù)學知識間的結構與聯(lián)系、發(fā)揮核心作用的數(shù)學概念；揭開籠罩在數(shù)及其運算表面的層層面紗，由此建構數(shù)學單元學習主題統(tǒng)整下的脈絡清晰、條理分明、相互聯(lián)系的數(shù)學知識體系；設計合理的教學案例，帶領學生經歷知識的發(fā)生、發(fā)展過程，建立知識之間的聯(lián)系，體會知識的本源性、一致性與整體性；引導學生體會不同數(shù)學知識之間數(shù)學學習方法的可遷移性，學會用發(fā)展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，從而有效地發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。