浙江省武義縣教育局教研室 陳 力

數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學要在單元層級的整體中有效實施，主要有兩個切入口：一個是在單元整體思想的統(tǒng)率下，仍舊按照數(shù)學教材的原進度安排進行單元內(nèi)各課時的教學，而它的結(jié)構(gòu)化主要體現(xiàn)為整體思想的統(tǒng)領(lǐng)與共同本質(zhì)的聯(lián)通作用；另一個是用結(jié)構(gòu)化思想基于學生認知特點去審視教材的編排，在“吃透”教材編寫意圖的基礎(chǔ)上，會發(fā)現(xiàn)制約目標實現(xiàn)的一些因素，為了尋找教與學的最優(yōu)發(fā)展路徑，可以對單元內(nèi)的組成結(jié)構(gòu)進行深入分析，然后根據(jù)實際需要進行一些整合與重組，形成新的單元結(jié)構(gòu)體系，并按照整合重組后的結(jié)構(gòu)組成展開教學。本文著重探討第二個切入口，由此，建議教師根據(jù)不同類型的特征采取以下相應(yīng)的整合重組措施。

一、內(nèi)容同類與結(jié)構(gòu)相同者：結(jié)構(gòu)化“合并”

小學數(shù)學的許多知識，屬于同一種類型，特別是后繼型的一些生長課，只是對象不同，而其知識的結(jié)構(gòu)組成形式和運用的思想方法卻都是相同的，對這些同課型的授課對象如果采取“散狀點”小步子的教學方式會有局限性，導(dǎo)致學生缺乏整體建構(gòu)，既不利于牢固記憶又不利于深度理解，更不利于有效遷移。數(shù)學教學實踐中有這樣的現(xiàn)象：學生單學某一個知識點的時候，通過模仿性學習能獲得比較高的正確率，而將整個單元的知識進行綜合以后，學生的混淆率就比較高。由此可見，對這些內(nèi)容同類、結(jié)構(gòu)相同的知識可以把它放在同一節(jié)課進行異同辨析、結(jié)構(gòu)遷移等，以獲得整體關(guān)聯(lián)認知，使之由“碎片化”走向“系統(tǒng)性”。對這些課進行結(jié)構(gòu)化合并教學可采用“長課（合并教授）+短課（練習）”的實施方法。

例如，“正比例與反比例”這一單元，學生是先學正比例內(nèi)容，接著再學反比例內(nèi)容，在學各自的課時內(nèi)容時，學生通過模仿學習再進行答題的錯誤率并不高，但兩個概念綜合之后，學生則出現(xiàn)了比較嚴重的混淆現(xiàn)象，究其原因是對兩個概念缺乏整體對比認知。為了突破這一瓶頸，教師可以將這兩個概念合并在同一堂課上教學，采取“大概念統(tǒng)領(lǐng)”和“大任務(wù)驅(qū)動”的方式，同時呈現(xiàn)以下結(jié)構(gòu)化辨析的材料：①王明7歲前的年齡和體重；②做一批零件，已完成的個數(shù)和剩下的個數(shù)；③圓的周長與直徑；④圓的面積與半徑；⑤面積是12平方厘米的平行四邊形的底和高；⑥張玲的年齡與她媽媽的年齡。學生通過逐層辨析展開分類探究，由“變化方向是一致還是相反”→“變化是否有規(guī)律”→“有規(guī)律的變化中有沒有定量”→“定量中是和一定、差一定還是商一定、積一定”，經(jīng)過不斷地進階對比，最終同步獲得正反比例的概念，并發(fā)現(xiàn)兩者之間既有相同的結(jié)構(gòu)，也有不同的內(nèi)容。在后續(xù)的短課時中，教師可以運用整體的對比性練習進一步進行辨析和鞏固。

又如，“三角形的面積計算和梯形的面積計算”這兩節(jié)課（2課時），教材對其的編排結(jié)構(gòu)也完全相同：導(dǎo)入時由解決現(xiàn)實生活中的任務(wù)進行驅(qū)動→轉(zhuǎn)化為已學過的圖形（拼合法、割補法）→找出轉(zhuǎn)化前后的對應(yīng)關(guān)系→推導(dǎo)出面積公式并用字母表示→公式應(yīng)用。因此，這兩節(jié)課也完全可以合并成同一節(jié)課來上，運用內(nèi)容的同類性進行結(jié)構(gòu)性遷移，在得出計算公式后還可以進行兩者之間的內(nèi)聯(lián)溝通，通過動態(tài)演示課件，將梯形的下底縮短為0，這樣就將梯形轉(zhuǎn)化成了三角形，其計算公式也由“（a+b）×h÷2”變成了“（a+0）×h÷2=ah÷2”，從而使學生獲得融會貫通的深度整體認識。

二、教材序與認知序有偏差：結(jié)構(gòu)化“調(diào)序”

教材的編寫主要以知識的邏輯為脈絡(luò)，遵循由淺入深的螺旋式上升的思路。而學生的認知也有基本規(guī)律，即由易到難、由形象到抽象、由現(xiàn)象到本質(zhì)等。多數(shù)情況下，學生的認知序列與知識的發(fā)展路徑是基本吻合的，但有時也會出現(xiàn)一些偏差。當教材序與學生的認知序發(fā)生偏差時，教師要充分考慮學生的認知特點，可采用結(jié)構(gòu)化“調(diào)序”的策略，對教材進行二次處理或開發(fā)，在依據(jù)充分的前提下，調(diào)整學習內(nèi)容的先后順序，使知識的序更符合認知的序，從而更有利于學生開展整體建構(gòu)的學習，發(fā)展結(jié)構(gòu)化思維能力。

例如，“除法”單元，教材原順序是先學“沒余數(shù)的除法豎式”，再學“有余數(shù)的除法豎式”。教材這樣安排的用意是“沒余數(shù)的除法豎式”結(jié)構(gòu)比較簡單，所以先在“沒余數(shù)”背景下認識“除法豎式”，可以讓學生學得輕松一點，然后小步子地將“豎式”與“余數(shù)”合并成“有余數(shù)的除法豎式”，這樣也遵循了知識的進階規(guī)律。但從“體驗性學習”和“意義建構(gòu)”角度去審視，用“沒余數(shù)的豎式”作為學習材料，學生感受不到除法豎式的價值和必要性，會有一些困惑：如圖1這樣寫豎式也很好計算，圖2中為什么要把“商乘除數(shù)的積”寫出來？豎式中相減都等于0的，不就是把被除數(shù)再抄一遍嗎？這樣寫不是多此一舉嗎？還不如像加、減、乘那樣寫，簡潔又方便。針對學生的這些困惑，如果將“有余數(shù)除法”作為結(jié)構(gòu)化的學習材料，就會出現(xiàn)以下這些認知沖突（思維驅(qū)動的素材）：圖3、4中這個尾巴“3”這樣寫合適嗎？這個“3”得出的過程“看”得見嗎？從這種算式中能看出這個“3” 表示的意思嗎？什么樣的工具能使大家清楚地理解整個計算過程和結(jié)果？……面對這些疑問和沖突，用“有余數(shù)的除法豎式”這一材料就能把除法豎式的工具價值（計算過程與結(jié)果的記錄）凸顯出來，能使學生理解除法豎式結(jié)構(gòu)中每一個“部件”的本質(zhì)內(nèi)涵，并在動手操作的輔助下，結(jié)合豎式中每一步的生成過程理解“余數(shù)”的含義及特征?；谏鲜龇治?，本單元可對教材進行結(jié)構(gòu)化“調(diào)序”，第1課時先學“有余數(shù)的除法豎式”（在現(xiàn)實中“有余數(shù)”是常態(tài)），讓學生對“除法豎式”和“余數(shù)”進行深度體驗和結(jié)構(gòu)化理解，第2課時再將“沒余數(shù)豎式”作為特例（湊巧除完）納入一般豎式中進行溝通，讓學生進行多層次、多形式的鞏固練習。

圖1

圖2

圖3

圖4

三、與其他學科有交叉重復(fù)：結(jié)構(gòu)化“增減”

現(xiàn)代教學強調(diào)多學科融合，重視綜合性學習，因此在數(shù)學教材中會和其他學科有相互交叉的學習內(nèi)容。比如，數(shù)學教材中的“溫度”和科學教材中的“溫度和溫度計”，數(shù)學教材中的“條形統(tǒng)計圖”和科學教材中的“柱狀統(tǒng)計圖”，數(shù)學教材中的“時、分的認識”和科學教材中的“時間在流逝”，等等。面對這些情況，如果學生在科學課程中已經(jīng)學過，在數(shù)學教學時去重復(fù)新授“舊知”，學生會不感興趣，而且浪費時間。針對這些內(nèi)容，教師可采取結(jié)構(gòu)化“增減”的整合重組策略，可以讓學生自學或加快教學重復(fù)的部分，并增加拓展深化的內(nèi)容。

例如，北師大版數(shù)學四年級上冊“溫度”一課，按教材原先安排是本課只學溫度的知識，而不出現(xiàn)其他情景素材，也不出現(xiàn)正負數(shù)的知識。筆者認為，學生在三年級的科學課上已經(jīng)學過關(guān)于溫度的知識，對溫度計也已經(jīng)比較熟悉，因此本節(jié)課應(yīng)進行整合重組，減少對溫度內(nèi)容的學習時間，增加其他素材并與正負數(shù)有機結(jié)合進行學習，在激活學生的生活經(jīng)驗后趁熱打鐵，引導(dǎo)學生將生活經(jīng)驗逐步數(shù)學化、符號化，并創(chuàng)設(shè)沖突讓學生體會負數(shù)產(chǎn)生的必要性。具體做法：首先將“溫度”與其他生活素材進行整合，共同作為正負數(shù)學習的素材，通過記錄相反意義的數(shù)量，初步了解負數(shù)的意義，讓學生在對生活現(xiàn)象的對比研究中很自然地引出“正負數(shù)”；接著讓學生在對生活素材的操作感悟（在溫度計上進行）中認識“正負數(shù)”的特征，理解它們的含義，掌握比較大小的方法；最后進一步利用生活中的素材進行解釋和應(yīng)用，使學生通過鞏固深化完整地建構(gòu)起“正負數(shù)”的概念。整個過程充分體現(xiàn)“問題情境—數(shù)學模型—解釋應(yīng)用”的數(shù)學建模過程，在這一過程中讓學生感受“正負數(shù)”和生活的密切聯(lián)系（數(shù)學模型與生活原型結(jié)構(gòu)上的對應(yīng)性），發(fā)展學生的“數(shù)感”和“符號意識”，實現(xiàn)結(jié)構(gòu)化的理解。在第2課時的教學中，可以進行拓展學習，如讓學生體驗“負數(shù)”的相對性（起點標準動態(tài)變化），還可以安排一些挑戰(zhàn)性練習等。

四、整體教學改革思想應(yīng)用：結(jié)構(gòu)化“統(tǒng)整”

數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學著力培養(yǎng)學生的結(jié)構(gòu)化思維和整體建構(gòu)學習能力，為了實現(xiàn)這一目標，數(shù)學教師頭腦中始終要有結(jié)構(gòu)化思想和整體教學的意識，并在教學實踐中積極地應(yīng)用。應(yīng)用的方法除了前面介紹的“合并”“調(diào)序”“增減”等，有時還需要將這些方法綜合起來運用，根據(jù)整體教學改革的需要，對整個單元的主要內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化統(tǒng)整與重構(gòu)，通過整體規(guī)劃重新“洗牌”，按照有利于學生開展整體建構(gòu)活動的宗旨，設(shè)計新的學習路徑，提供結(jié)構(gòu)化的學習材料，引領(lǐng)他們展開結(jié)構(gòu)化的探索，最終獲得結(jié)構(gòu)化理解和深度認識。

例如，北師大版數(shù)學三年級上冊“多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算”內(nèi)容，教材編排體系是第1課時——兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（不進位）；第2課時——兩位數(shù)乘一位數(shù)（一次進位）；第3課時——兩、三位數(shù)乘一位數(shù)（連續(xù)進位）。該單元有兩個核心目標：體會標準豎式的簡潔性；感受從低位算起的必要性（口算是從高位算起）。如果按照教材順序按部就班地展開學習，學生會對這兩個目標缺乏整體認知，并對其必要性和價值難以獲得深刻體驗。如對于12×4的筆算，學生會有以下算法（見圖4）：

圖4

這些算法在“兩位數(shù)乘一位數(shù)的不進位筆算”中并不顯得“煩瑣”，但三位數(shù)、四位數(shù)（或更多位數(shù)）乘一位數(shù)，用前兩種方法計算寫起來會很長。怎樣才能做到既簡潔又能把計算過程表達清楚呢？這就是標準豎式的價值，因為它是基于位值的數(shù)字計算。另外，如何讓學生體會從低位算起的必要性？如果是“不進位乘法”，從高位算起也很方便。只有“進位乘法”特別是“連續(xù)進位”，才能讓學生體會到從低位算起的優(yōu)勢。因此，為了讓學生獲得深刻的整體體驗，要對本單元進行結(jié)構(gòu)化統(tǒng)整與重構(gòu)：將原來的3課時內(nèi)容通過合并、調(diào)序或增減等手段重新安排內(nèi)容和課時，把“兩位數(shù)”和“多位數(shù)”“不進位”和“進位”整合在一起探索，第1課時是統(tǒng)整內(nèi)容的初步認識，第2課時進行統(tǒng)整內(nèi)容的深入探究，第3課時開展拓展性練習和綜合應(yīng)用，從而使學生展開結(jié)構(gòu)化學習，對“多位數(shù)乘一位數(shù)”的算理和算法進行結(jié)構(gòu)化思考并形成整體性認知結(jié)構(gòu)。

總之，數(shù)學單元結(jié)構(gòu)化教學需要體現(xiàn)單元整體的思想，本文只是從“整合重組”的視角談了常用的四種策略，現(xiàn)實教學中遠不止這些，應(yīng)用的案例也還有很多。只要數(shù)學教師積極地開展探索與實踐，一定能尋找到更多有效的單元整體教學策略，通過深度實施培養(yǎng)學生整體建構(gòu)的學習力。