張海燕

摘要：?jiǎn)卧虒W(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)以單元作為教學(xué)設(shè)計(jì)的主體，在設(shè)計(jì)中教師要整體化地把握單元的目標(biāo)、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容與作業(yè)等.本文將數(shù)學(xué)史融入單元教學(xué)，以《弧長(zhǎng)》與《扇形的面積》為例，聚焦內(nèi)容本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系規(guī)劃單元，融入數(shù)學(xué)史幫助學(xué)生理解公式本質(zhì)，運(yùn)用一貫的情景引入與課堂活動(dòng)突顯單元整體.

關(guān)鍵詞：?jiǎn)卧虒W(xué)；數(shù)學(xué)史；弧長(zhǎng)；扇形的面積；核心素養(yǎng)

單元教學(xué)設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)教師整體化地把握整個(gè)單元的內(nèi)容，結(jié)合多種教學(xué)形式和教學(xué)策略，在一個(gè)單元周期內(nèi)幫助學(xué)生完成對(duì)一個(gè)知識(shí)單元的相對(duì)完整的學(xué)習(xí).單元教學(xué)與常規(guī)教學(xué)相比較，單元教學(xué)在結(jié)構(gòu)上更具連貫性與完整性，以單元為教學(xué)設(shè)計(jì)的著力點(diǎn)，基于學(xué)生學(xué)情，構(gòu)建關(guān)注知識(shí)結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系的教學(xué)方式，有利于學(xué)生整體性地建構(gòu)知識(shí)內(nèi)容，且能在一定程度上提高課堂教學(xué)效率.將數(shù)學(xué)史融入單元教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，呈現(xiàn)貫穿整個(gè)單元的核心與本質(zhì)，學(xué)生可以跟隨著前人的足跡感受數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)的價(jià)值與魅力.本文以滬教版初中數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第四章《圓與扇形》第2節(jié)《弧長(zhǎng)》與第4節(jié)《扇形的面積》的教學(xué)為例，探討如何在單元教學(xué)設(shè)計(jì)中進(jìn)行單元規(guī)劃、融入數(shù)學(xué)史料、設(shè)計(jì)整體的教學(xué)環(huán)節(jié)與活動(dòng).

1聚焦內(nèi)容本質(zhì)與內(nèi)在聯(lián)系規(guī)劃單元

本單元是滬教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)第一學(xué)期第四章《圓和扇形》.教材中的課序?yàn)椋?.1 圓的周長(zhǎng)（1課時(shí)），4.2弧長(zhǎng)（1課時(shí)），4.3圓的面積（2課時(shí)），4.4扇形的面積（2課時(shí)）.本單元在第1節(jié)第1課時(shí)《圓的周長(zhǎng)》與第3節(jié)第1課時(shí)《圓的面積》的研究中，運(yùn)用化曲為直、無(wú)限逼近的極限思想得到圓的周長(zhǎng)、面積公式.第2節(jié)第1課時(shí)《弧長(zhǎng)》與第3節(jié)第1課時(shí)《扇形的面積》運(yùn)用弧與圓周、扇形面積與圓的面積間部分與整體之比轉(zhuǎn)化為圓心角與周角之比推出弧長(zhǎng)與扇形面積的公式.弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一部分，扇形的面積是圓面積的一部分.基于這種部分與整體的關(guān)系（如圖1所示），本單元將分為兩個(gè)專(zhuān)題，專(zhuān)題一《圓的周長(zhǎng)與面積》，通過(guò)化曲為直、無(wú)限逼近的極限思想學(xué)習(xí)圓周長(zhǎng)與面積的公式.專(zhuān)題二《弧長(zhǎng)與扇形的面積》，運(yùn)用弧長(zhǎng)與周長(zhǎng)之比、扇形的面積與圓面積之比均等于圓心角與周角之比推導(dǎo)弧長(zhǎng)與扇形面積公式，感受部分與整體之間的關(guān)系.

2本單元相關(guān)的史料素材

弧長(zhǎng)與扇形的面積公式由圓的周長(zhǎng)與面積公式推導(dǎo)得到，在歷史上證明圓的周長(zhǎng)與面積公式的方法豐富多樣，核心都是圍繞著微積分方法與極限思想.

古希臘思想家阿基米德（公元前287年—公元前212年）運(yùn)用無(wú)限逼近的極限思想來(lái)得到圓的面積公式.我國(guó)漢代的《九章算術(shù)》中記載了圓的面積公式“半周半徑相乘，得積步”，也就是半周乘以半徑得到圓面積.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225年—公元295年）在《九章算術(shù)注》中提出了“割圓術(shù)”的方法，德國(guó)數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒（公元1571年—公元1630年）在思考酒桶體積算法時(shí)，想出了圓的面積的計(jì)算方法.本次單元教學(xué)選擇了開(kāi)普勒求圓的面積的方法，這個(gè)方法可以更好地體現(xiàn)扇形的面積是圓的面積的一部分，也可以從幾何的角度更直觀地闡釋教材中的方法，即由公式恒等變形得到圓的面積公式1/2Cr以及扇形面積公式1/2lr.

3教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)與解析

3.1實(shí)際情境貫穿單元，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

《弧長(zhǎng)》一課的引入環(huán)節(jié)，以學(xué)生準(zhǔn)備迎新年活動(dòng)中需要為道具扇子準(zhǔn)備亮晶晶的毛條彩帶裝飾扇子邊沿的實(shí)際情景引出求扇形弧長(zhǎng)的問(wèn)題，從學(xué)生的親身經(jīng)歷創(chuàng)設(shè)“情境”，讓他們能夠“觸景生情”.用問(wèn)題“把扇子抽象成為一個(gè)圖形并試著畫(huà)出這個(gè)圖形”幫助學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察生活，將實(shí)物“扇子”抽象為一個(gè)扇形，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用建模的方法解決生活中的問(wèn)題.在畫(huà)扇形的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)到弧是圓的一部分，感受弧與圓之間部分與整體的關(guān)系，為弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo)做鋪墊.

在《扇形的面積》一課的最后學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)中，回歸到《弧長(zhǎng)》引入環(huán)節(jié)的情境中，提出問(wèn)題“如果我們想為上節(jié)課中迎新年活動(dòng)的這把扇子制作一幅美麗的扇面，那么我們能求出這個(gè)扇面的面積嗎？”繼續(xù)解決精美扇面的面積問(wèn)題，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活又回歸到生活的應(yīng)用價(jià)值.學(xué)生可以運(yùn)用在《扇形的面積》中學(xué)到的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)及扇形的面積四個(gè)量的關(guān)系解決相同實(shí)際情景下的問(wèn)題.這樣，學(xué)生對(duì)四個(gè)量之間的依賴(lài)關(guān)系的本質(zhì)才會(huì)有更深刻的理解.

以學(xué)生身邊的實(shí)際情景作為引入本專(zhuān)題的問(wèn)題，同時(shí)也是本單元結(jié)束的最后一個(gè)問(wèn)題，可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了首尾呼應(yīng)，體現(xiàn)了教學(xué)內(nèi)容的整體感.

3.2公式推導(dǎo)深化理解，感悟內(nèi)容本質(zhì)

學(xué)生經(jīng)過(guò)第二章分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)后已經(jīng)知道部分與整體的關(guān)系可以用分?jǐn)?shù)，也就是幾分之幾表示.在《弧長(zhǎng)》的教學(xué)中通過(guò)問(wèn)題鏈，能激勵(lì)學(xué)生自主思考，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到弧是圓的一部分，弧的大小與圓心角的大小有關(guān).學(xué)生自然地結(jié)合本單元學(xué)習(xí)圓的面積公式的經(jīng)驗(yàn)說(shuō)出“沿半徑將圓360等分，每一份弧所對(duì)應(yīng)的圓心角是1°，弧長(zhǎng)占圓周長(zhǎng)的幾分之幾就等于它所對(duì)圓心角占圓周角（360°）的幾分之幾”.教師再追問(wèn)“這樣等分的依據(jù)是什么？橢圓可以這樣等分嗎？”讓學(xué)生意識(shí)到等分的依據(jù)是圓的旋轉(zhuǎn)不變性.在此環(huán)節(jié)中，學(xué)生對(duì)弧與圓之間的部分與整體關(guān)系的深刻理解是學(xué)習(xí)扇形的面積的基礎(chǔ).

在《扇形的面積》的教學(xué)中，復(fù)習(xí)回顧推導(dǎo)弧長(zhǎng)公式的方法，類(lèi)比弧長(zhǎng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，運(yùn)用扇形的面積與圓的面積之間的關(guān)系（部分與整體），學(xué)生可以自然地說(shuō)出“扇形面積占圓面積的幾分之幾等于扇形所對(duì)的圓心角占圓周角的幾分之幾”.課堂中扇形的面積公式的自然生成正是對(duì)單元教學(xué)意義與價(jià)值的反饋與印證.

3.3融入數(shù)學(xué)史，理解公式本質(zhì)

利用部分與整體的關(guān)系，學(xué)生在弧長(zhǎng)公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)上可以直接類(lèi)比得到扇形的面積公式，推導(dǎo)出扇形的面積公式后再運(yùn)用弧長(zhǎng)與扇形的面積公式變形，學(xué)生可以自主推導(dǎo)出扇形的面積還可以等于扇形的弧長(zhǎng)與半徑乘積的一半，即S_扇=1/2l_弧r.

歷史上開(kāi)普勒通過(guò)無(wú)窮分割法求扇形的面積，可以幫助學(xué)生從幾何直觀的角度對(duì)代數(shù)式恒等變形得到的公式S_扇=1/2l_弧r給予形象的解讀，而這種求扇形的面積的方法正是對(duì)本單元第二節(jié)無(wú)窮分割法求圓的面積的呼應(yīng)，在課堂中引入這部分?jǐn)?shù)學(xué)史，可以更好地闡釋了運(yùn)用化曲為直、無(wú)限逼近思想方法推導(dǎo)扇形面積與圓面積公式的一致性，也再一次讓學(xué)生深刻地感受到扇形的面積與圓的面積之間部分與整體關(guān)系的本質(zhì)，更為由公式變形得到扇形的面積公式S_扇=1/2l_弧r提供了直觀的幾何視角.在推導(dǎo)出扇形的面積公式后，一位學(xué)生主動(dòng)舉手分享了他的想法.

教學(xué)片段：

生：其實(shí)也可以把扇形的面積用S_扇=1/2l_弧r表示，因?yàn)樵趧倓偽覀兺茖?dǎo)出的公式S_扇=n/360πr²中，360是180的2倍，而l?。絥180πr，所以可以把扇形的面積公式變形為S_扇=1/2·n/180πr·r也就是S扇=12l弧r.

師：這位同學(xué)用公式變形的方式得到了用弧長(zhǎng)與半徑求扇形面積的公式.像他一樣發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論的同學(xué)請(qǐng)舉手.大多數(shù)同學(xué)通過(guò)公式變形已經(jīng)得到了求扇形的面積的另一個(gè)公式，這就是教材第115頁(yè)給出的第二個(gè)扇形的面積公式.

問(wèn)題：我們知道第一個(gè)公式S_扇=n/360πr²表示扇形的面積與圓的面積的比等于扇形的圓心角與圓周角之比.那么S_扇=1/2l_弧r表示什么呢？

師：17世紀(jì)譽(yù)滿(mǎn)歐洲的天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒通過(guò)幾何的方法得出這個(gè)扇形面積公式.當(dāng)時(shí)開(kāi)普勒正在他自己的婚禮上思考酒桶體積算法，但他卻首先想出了計(jì)算圓和扇形的面積的方法，我們來(lái)看看他是怎么想的.

將圓從半徑出發(fā)，分割成若干等份，在學(xué)習(xí)圓的面積推導(dǎo)公式過(guò)程中，我們知道分割的份數(shù)越多，每個(gè)小扇形就越接近于一個(gè)小三角形.

現(xiàn)在將其展開(kāi)，如圖2所示，讓圓周拉直接近于一條線段，每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)到對(duì)邊的距離都是圓的半徑，它們的面積和就是圓的面積，陰影部分的面積和就是扇形AOB的面積.

現(xiàn)在讓所有小三角形的頂點(diǎn)與圓心重合，那么這些三角形將轉(zhuǎn)化為與原三角形等底等高的三角形，它們的面積不改變.圓的面積就等于△OCD的面積，扇形AOB面積等于三角形OA′B′的面積，所以S_扇=1/2l_弧r.

圖2

3.4課堂活動(dòng)巧銜接，突顯關(guān)系本質(zhì)兩節(jié)課的課堂活動(dòng)互相銜接（如表1），《扇形的面積》中的第1題正是《弧長(zhǎng)》中的第1題，這樣的設(shè)計(jì)讓學(xué)生感受弧長(zhǎng)與扇形的面積之間的關(guān)聯(lián)，體會(huì)在已知半徑與圓心角的條件下扇形的大小已經(jīng)被確定，即可以求出弧長(zhǎng)也可以求扇形的面積.通過(guò)變換已知量、未知量、已知數(shù)據(jù)的形式，結(jié)合學(xué)生計(jì)算方法的對(duì)比及教師的不斷追問(wèn)，幫助學(xué)生體會(huì)到圓心角、半徑、弧長(zhǎng)和扇形的面積四個(gè)量關(guān)系的本質(zhì)，即已知兩個(gè)量可求出另外兩個(gè)量.在《扇形的面積》課堂活動(dòng)環(huán)節(jié)結(jié)束時(shí)，請(qǐng)一位學(xué)生談?wù)動(dòng)心男w會(huì)？學(xué)生很自然地說(shuō)出這四個(gè)量里只要知道兩個(gè)就可以求出另外兩個(gè).

4教后感悟與反思

4.1感悟部分與整體的相對(duì)關(guān)系

滬教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)第一學(xué)期除第一章《數(shù)的整除》為約分、通分及化簡(jiǎn)運(yùn)算這些奠定知識(shí)基礎(chǔ)外，從第二章《分?jǐn)?shù)》、第三章《比和比例》到第四章《圓和扇形》三個(gè)章節(jié)的核心思想都是在幫助學(xué)生建立相對(duì)量的概念，也就是部分與整體之間的關(guān)系.

雖然學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)了倍數(shù)，但只僅限于兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，在小學(xué)學(xué)習(xí)了總體與部分的概念，但仍需借助把總體看作單位“1”來(lái)理解整體，學(xué)生在六年級(jí)通過(guò)《分?jǐn)?shù)》與《比和比例》兩個(gè)章節(jié)的學(xué)習(xí)，基本能夠理解部分與部分、部分與整體之間的關(guān)系，會(huì)求一個(gè)量是另一個(gè)量的幾分之幾，并可以將部分與部分、部分與整體的關(guān)系用比來(lái)表達(dá).以此為基礎(chǔ)，本節(jié)課在設(shè)計(jì)弧長(zhǎng)公式推導(dǎo)以及通過(guò)類(lèi)比得到扇形的面積公式推導(dǎo)的教學(xué)環(huán)節(jié)中，著重幫助學(xué)生理解并運(yùn)用相對(duì)量的概念將弧長(zhǎng)與圓周長(zhǎng)之比或扇形的面積與圓的面積之比轉(zhuǎn)化為圓心角與周角之比，這也是弧長(zhǎng)與扇形的面積公式的核心，同時(shí)也是貫穿本單元教學(xué)設(shè)計(jì)的主線.

4.2恒等變形與方程思想的運(yùn)用

代數(shù)式及方程的恒等變形是初等數(shù)學(xué)重要的知識(shí)與技能之一，也是解決函數(shù)及方程問(wèn)題的重要前提和手段，還蘊(yùn)含著代數(shù)的思想方法.掌握并靈活運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，能提高學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維能力.在弧長(zhǎng)公式以及扇形的面積公式的課堂活動(dòng)環(huán)節(jié)中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)圓心角、半徑、弧長(zhǎng)、扇形的面積四個(gè)量之間的關(guān)系時(shí)，可以運(yùn)用恒等變形將未知量用兩個(gè)已知量表示，得到“知二求二”的結(jié)論，這為未來(lái)的方程以及代數(shù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

4.3從直觀感知到理性認(rèn)識(shí)的轉(zhuǎn)化

本單元建立在學(xué)生小學(xué)時(shí)已經(jīng)直觀認(rèn)識(shí)圓的基礎(chǔ)上，學(xué)生在小學(xué)知道圓心、半徑等相關(guān)概念，知道圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，對(duì)圓有較強(qiáng)的直觀感受與豐富的生活體驗(yàn).本單元的教學(xué)設(shè)計(jì)著重幫助學(xué)生逐步地從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、測(cè)量、分析、計(jì)算與應(yīng)用的方式掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)、圓的面積、弧長(zhǎng)及扇形的面積的計(jì)算公式，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)圖形與幾何的相關(guān)內(nèi)容打下基礎(chǔ).

4.4古今相融、首尾呼應(yīng)的育人價(jià)值

在本單元主題二《弧長(zhǎng)與扇形的面積》部分的教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程中，《4.2弧長(zhǎng)》從班級(jí)身邊正在發(fā)生的實(shí)際情景出發(fā)，激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的求知欲.《4.4扇形的面積》再次回到相同情景解決藝術(shù)節(jié)道具扇子的制作問(wèn)題，此環(huán)節(jié)既檢驗(yàn)了教學(xué)目標(biāo)“體會(huì)圓心角、半徑、弧長(zhǎng)、扇形的面積四個(gè)量之間的數(shù)量關(guān)系”的落實(shí)情況，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)從實(shí)際問(wèn)題中來(lái)到生活中去的育人價(jià)值.

在扇形的面積的教學(xué)中引入開(kāi)普勒分割酒桶得到扇形的面積的方法，幫助學(xué)生體會(huì)公式S_扇=1/2l_弧r的幾何含義，再一次引導(dǎo)學(xué)生感受在學(xué)習(xí)本單元上一個(gè)主題《圓的周長(zhǎng)與面積》中運(yùn)用的化曲為直、無(wú)限逼近的思想方法，體現(xiàn)了本單元的整體性與連貫性.

5結(jié)語(yǔ)

單元教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效途徑，在《圓與扇形》的單元設(shè)計(jì)中，筆者將《弧長(zhǎng)》與《扇形的面積》整合為一個(gè)模塊組織教學(xué)，更好地讓學(xué)生感受本單元中弧長(zhǎng)與圓的周長(zhǎng)，扇形的面積與圓的面積之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)圓心角、半徑、弧長(zhǎng)、扇形的面積四個(gè)量之間的關(guān)系，感悟單元知識(shí)結(jié)構(gòu)與本質(zhì)，為學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).將數(shù)學(xué)史融入到本單元的教學(xué)，可以在教學(xué)中讓學(xué)生對(duì)化曲為直的思想有初步的感知與理解，也可以從幾何角度更直觀地闡釋公式本質(zhì)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活又高于生活，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，體現(xiàn)“立德樹(shù)人”的生命體驗(yàn)和教育價(jià)值.參考文獻(xiàn)：

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