文/黃維英

數(shù)學概念是用數(shù)學語言和數(shù)學符號表達現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的“結(jié)果”，具有抽象性、復(fù)雜性[1]。在傳統(tǒng)的小學數(shù)學教學中，部分教師應(yīng)用樣例，引導學生經(jīng)歷數(shù)學概念形成過程，了解數(shù)學概念。同時，教師重點強調(diào)概念中的關(guān)鍵內(nèi)容，并組織多樣的練習活動，幫助學生認知概念。但是在如此教學中，學生會在腦海中建立固定的概念意象，無法建立深刻認知，在解決問題時還會遇到諸多問題。錯誤樣例是數(shù)學樣例的重要類型，是以學生概念學習中出現(xiàn)或可能出現(xiàn)的錯誤，或概念中的關(guān)鍵點、重難點，或概念中的規(guī)則、知識外延等為依據(jù)，設(shè)計出的不正確的例子[2]。教師應(yīng)用錯誤樣例實施數(shù)學概念，可以在彌補傳統(tǒng)概念教學不足的基礎(chǔ)上，助推學生扎實理解、掌握概念。對此，教師可進行“應(yīng)用錯誤樣例實施小學數(shù)學概念教學”研究，著力探索錯誤樣例的應(yīng)用價值、設(shè)計原則和應(yīng)用策略。

一、應(yīng)用錯誤樣例實施數(shù)學概念教學的價值

（一）促使學生真正掌握數(shù)學概念

數(shù)學概念是現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)屬性的具體表現(xiàn)。數(shù)學家們經(jīng)過不斷探索，從現(xiàn)實世界中抽象出數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性，繼而用簡約、嚴謹?shù)恼Z言進行描述。一般情況下，數(shù)學概念的含義是用一句話描述，這句話簡約、嚴謹，反映著數(shù)學概念的本質(zhì)特征。在學習數(shù)學概念時，學生不僅要認知數(shù)學概念的本質(zhì)特征，還要認知數(shù)學概念的非本質(zhì)特征。應(yīng)用錯誤樣例的實質(zhì)是讓學生發(fā)現(xiàn)錯誤、改正錯誤、解釋錯誤，由此辨析數(shù)學概念的本質(zhì)特征與非本質(zhì)特征。由此可見，教師通過應(yīng)用錯誤樣實施概念教學，可以使學生從本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征入手，真正掌握數(shù)學概念。

（二）促使學生主動參與概念教學

概念教學應(yīng)該是以生為本的活動。在應(yīng)用錯誤樣例時，學生會化被動為主動，自覺經(jīng)歷觀察、了解、辨析、總結(jié)這一過程，由淺入深地走進數(shù)學概念深處，把握實質(zhì)，加深對概念的理解。同時，學生會因此積累概念學習經(jīng)驗，獲得概念學習滿足感，繼而自覺投入概念學習活動中，遷移已有認知，發(fā)現(xiàn)錯誤、改正錯誤、解釋錯誤，實現(xiàn)意義建構(gòu)。在此過程中，學生會鍛煉思維能力、探究能力、抽象能力等，增強學習水平，助推概念教學提質(zhì)增效。

二、合理設(shè)計小學數(shù)學概念錯誤樣例的原則

（一）遵循針對性原則，設(shè)計錯誤樣例

錯誤樣例是數(shù)學概念教學的助力，具有針對性。在學習數(shù)學概念時，大部分學生會在關(guān)鍵點、易錯點上遇到諸多問題。這些問題會阻礙學生真正理解數(shù)學概念。教師可以遵循針對性原則，以關(guān)鍵點、易錯點為入手點，合理設(shè)計錯誤樣例，“對癥下藥”，使學生通過改正、解釋錯誤，掌握關(guān)鍵點內(nèi)容、易錯點內(nèi)容，深刻認知數(shù)學概念。

例如，在學習百分數(shù)的概念時，大部分學生會在百分數(shù)的意義上犯錯，認為“百分數(shù)就是分母是100的分數(shù)”。對此，教師可設(shè)計錯誤樣例：

調(diào)酒師精心調(diào)出三杯雞尾酒。第一杯的酒精度是38%，第二杯的酒精度是25%，第三杯的酒精度是3%。其中，第一杯雞尾酒的酒精含量最高，可以用分數(shù)表示為。這個分數(shù)中分子表示38 毫升，分母表示100毫升。在該錯誤樣例中，“分子表示38 毫升，分母表示100 毫升”這一答案是錯誤的。但是，大部分學生在已有認知作用下，很容易判對。正確答案應(yīng)當是“分母100 表示將第一杯雞尾酒的總量看成100 份，分子38 表示純酒精占其中的38 份”。通過對比錯誤和正確答案，學生認識到“百分數(shù)就是分母是100 的分數(shù)”的淺表認識是錯誤的，從而正確認識百分數(shù)的意義。

（二）遵循典型性原則，設(shè)計錯誤樣例

應(yīng)用錯誤樣例旨在幫助學生利用數(shù)學概念解決數(shù)學問題。在解決數(shù)學問題時，大部分學生會因概念認知不深刻，出現(xiàn)諸多錯誤。部分錯誤具有典型性，是大部分學生都會犯的錯誤。對此，教師可以遵循典型性原則，審視學生的問題解決情況，發(fā)現(xiàn)典型性問題，設(shè)計錯誤樣例，使學生發(fā)現(xiàn)、改正、解釋錯誤，加深對概念的理解，同時汲取經(jīng)驗，避免此后犯同樣的錯誤。

例如，在解決比例問題時，部分學生會在比例后寫上單位。針對此情況，教師設(shè)計錯誤樣例：

（1）紅紅的體重為20 kg，媽媽的體重為50 kg。紅紅和媽媽的體重比是2∶5。

（2）亮亮身高0.6 m，爸爸身高1.8 m。亮亮和爸爸的身高比是1∶3。

根據(jù)兩個題目，可以列出這樣的比例：20 kg∶50 kg=0.8 m∶2 m。

面對如此樣例，學生會認真對比，發(fā)現(xiàn)第三個答案和前兩個答案的差異——帶上了單位。面對如此發(fā)現(xiàn)，教師鼓勵學生分析比例后是否要帶單位。在分析時，不少學生回顧比例的概念，探索關(guān)鍵信息——式子，確定比例后不帶單位。由此可見，學生借助錯誤樣例，可以把握數(shù)學概念的關(guān)鍵信息，借此完善認知，加深理解。

（三）遵循過程性原則，設(shè)計錯誤樣例

數(shù)學概念教學具有過程性。在學習概念的過程中，學生會在個性認知的作用下，出現(xiàn)諸多出人意料的問題。這些問題正是教師設(shè)計錯誤樣例的入手點。所以，在進行數(shù)學概念教學時，教師可以遵循過程性原則，緊扣學生的問題，設(shè)計錯誤樣例。

例如，在學習比例概念時，有一個學生提出問題：“比和比例是一樣的嗎？”部分學生經(jīng)過思考后，給出肯定回答。教師把握時機，設(shè)計錯誤樣例。

25 比10 表示25 除以10，這是一個比，比值是2.5。25 比10 記作25 ∶10，也可以寫作25/10。在比例中，25比10 就等于分數(shù)中的。

此錯誤樣例中的概念等化是錯誤的，但是很多學生沒有發(fā)現(xiàn)此錯誤。教師把握時機，講述比和比值的概念。之后，教師引導學生閱讀、分析錯誤樣例，找出錯誤答案。在已有認知的支撐下，學生邊閱讀邊思考，自覺對比比和比值，發(fā)現(xiàn)錯誤答案。經(jīng)過一番分析、判斷，不少學生認識到：“‘比值’可以用小數(shù)、分數(shù)、整數(shù)來表示；‘比’有‘前項’‘后項’‘比號’同時存在，也可以用分數(shù)形式表示。在用分數(shù)形式進行表示時，比的前項相當于分子，比的后項相當于分母”。學生通過分析錯誤樣例，可以及時解決問題，強化概念認知。

三、應(yīng)用錯誤樣例實施數(shù)學概念教學的策略

數(shù)學概念教學由課堂導入、課堂講解和課堂練習這三個環(huán)節(jié)構(gòu)成。在實施概念教學時，教師可以這三個環(huán)節(jié)為立足點，聯(lián)系教學內(nèi)容，應(yīng)用相應(yīng)的錯誤樣例，使學生不斷體驗發(fā)現(xiàn)、改正、解釋錯誤這一活動，由淺入深地認知數(shù)學概念，鍛煉多樣能力。

（一）在課堂導入環(huán)節(jié)應(yīng)用錯誤樣例

課堂導入環(huán)節(jié)是數(shù)學概念課堂教學的起點。在導入環(huán)節(jié)應(yīng)用錯誤樣例有重要作用，如調(diào)動學生已有知識儲備，增強學生的學習欲望。又如，教師可以鼓勵學生主動辨析數(shù)學概念，解決問題，加深對概念的理解，同時進入數(shù)學概念課堂，推動課堂教學發(fā)展?；诖耍趯嵤?shù)學概念教學時，教師可以立足導入環(huán)節(jié)，應(yīng)用錯誤樣例。

例如，在進行倒數(shù)練習活動之前，學生體驗了概念學習活動，了解了倒數(shù)概念。在練習活動的導入環(huán)節(jié)，教師先組織猜謎活動。在活動中，教師讀出字謎：“‘吞’字上下顛倒是什么字？”“‘呆’字上下顛倒是什么字？”此時，大部分學生高度集中注意力，積極思維，在腦海中想象顛倒前后的漢字，并踴躍作答。教師追問：“根據(jù)顛倒前后的漢字，大家可以想到什么數(shù)學內(nèi)容？”在已有數(shù)學認知的支撐下，學生異口同聲地說出“倒數(shù)”。教師就此進行贊賞，并呈現(xiàn)錯誤樣例，引導學生進行判斷：（1）的倒數(shù)是；（2）的倒數(shù)是；（3）2.3 的倒數(shù)是3.2。

在判斷時，學生在第三個問題上出現(xiàn)不同的看法。對此，教師鼓勵學生描述倒數(shù)的概念。有學生說道：“兩個數(shù)相乘是1，這兩個數(shù)互為倒數(shù)?！痹谠搶W生的描述下，其他學生改正自己的看法，加深對倒數(shù)概念的認知，為進行練習做好準備。

教師如此應(yīng)用錯誤樣例，既可以使學生進入數(shù)學課堂，又可以使學生彌補概念認知不足，明確感知數(shù)學概念，一舉兩得。

（二）在課堂講解環(huán)節(jié)應(yīng)用錯誤樣例

課堂講解環(huán)節(jié)是概念教學的關(guān)鍵環(huán)節(jié)， 也是學生理解概念的重要環(huán)節(jié)。錯誤樣例是學生理解數(shù)學概念的輔助。在課堂講解環(huán)節(jié)，教師應(yīng)以數(shù)學概念為基點，組織探究活動。在這個過程中，教師要及時了解學生概念探究情況，并應(yīng)用錯誤樣例，使學生發(fā)現(xiàn)、改正、解決錯誤，加深對數(shù)學概念的理解。

例如，在學生學習圓的概念時，教師可組織操作活動，并根據(jù)學生操作情況，呈現(xiàn)錯誤樣例。具體而言，在講到圓的半徑時，教師提出操作任務(wù)：“請大家使用圓規(guī)，分別畫出兩腳距離為3 cm、5 cm、6 cm 的圓。”在此任務(wù)的推動下，學生動手操作，畫出大小不同的圓?；诖耍處熥穯枺骸皥A規(guī)的兩腳距離是圓的什么？如果問所畫出的圓有多大，要如何回復(fù)？”學生帶著問題審視所畫出的圓，并結(jié)合教材內(nèi)容，認真思考。有學生說道：“圓規(guī)兩腳距離是圓的半徑。所畫出的分別是半徑為3 cm、5 cm、6 cm 的圓?！苯處煂Υ诉M行贊賞，并總結(jié)半徑的概念及符號表示。之后，教師鼓勵學生畫出比半徑為6 cm 的圓還要大的圓，讓學生繼續(xù)認知圓的半徑。教師趁機呈現(xiàn)錯誤樣例。

圓心決定圓的位置，面積決定圓的大小。

面對錯誤樣例，學生紛紛審視操作過程，對比不同大小的圓。此時，大部分學生發(fā)現(xiàn)“面積是它所占的平面的大小。當圓規(guī)的兩腳距離越大時，畫出的圓越大。這說明，半徑越大，圓越大?！被诖?，教師鼓勵學生改正錯誤樣例。有學生說道：“圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小?！睂W生因此加深對圓的半徑的認知。之后，教師按照如此方式，繼續(xù)組織操作活動，展現(xiàn)錯誤樣例，使學生探究直徑。

實踐表明，學生通過分析、改正、解釋錯誤樣例，可以深刻理解數(shù)學概念，把握數(shù)學概念的特征，高效解決數(shù)學問題，增強概念學習效果。

（三）在課堂練習環(huán)節(jié)應(yīng)用錯誤樣例

課堂練習是學生解決問題的環(huán)節(jié)。數(shù)學概念是學生解決問題的“工具”。在解決問題時，學生會辨析數(shù)學概念，加深理解。對此，在數(shù)學課堂練習環(huán)節(jié)，教師可以依據(jù)學生概念學習情況，呈現(xiàn)相關(guān)的錯誤樣例，引導學生遷移認知，分析并改正錯誤，強化認知。

例如，在學生學習約分后，教師在課堂練習環(huán)節(jié)，呈現(xiàn)錯誤樣例：

在分析時，學生紛紛回想約分的概念，做出判斷。有學生確定這兩個答案是錯誤的。于是，教師鼓勵學生說出正確答案及理由。有學生說道：“第一個式子看似將分子和分母都約盡了，但是它們并沒有除以同一個數(shù)。這樣導致約分前后的兩個分數(shù)不相等。是最簡的，無須約分?！庇袑W生說道：“第二個分數(shù)沒有約盡。還可以繼續(xù)約分，得到?！备鶕?jù)學生的作答情況，教師發(fā)問：“什么是約分？”學生回顧課堂學習內(nèi)容和錯誤樣例，總結(jié)約分的概念。之后，教師設(shè)計難度不同的練習題，引導學生進行約分。在這個過程中，教師巡視課堂，發(fā)現(xiàn)學生的練習錯誤，作為錯誤樣例，引導學生繼續(xù)改正、解釋概念錯誤。

通過這樣的課堂練習，學生靈活應(yīng)用了數(shù)學概念，糾正了錯誤樣例，加深了對數(shù)學概念的理解。

四、結(jié)束語

綜上所述，教師有效設(shè)計錯誤樣例，并應(yīng)用于不同教學環(huán)節(jié)，可以使學生獲得概念學習的主動權(quán)，充分發(fā)揮自主性，分析、改正、解釋錯誤，加深對數(shù)學概念的理解，同時鍛煉思維能力、數(shù)學表達能力等，切實實現(xiàn)錯誤樣例的價值，增強數(shù)學概念教學效果?；诖?，在小學數(shù)學概念教學中，教師應(yīng)關(guān)注錯誤樣例，結(jié)合數(shù)學概念，遵循針對性原則、典型性原則和過程性原則，精心設(shè)計錯誤樣例，并以課堂教學環(huán)節(jié)為入手點，靈活應(yīng)用錯誤樣例，使學生彌補前概念不足，積極探究新概念，扎實掌握新概念，同時鍛煉多樣能力，做到學有所得，提高概念學習的質(zhì)量。