陸穎

［摘 ?要］ 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生切實(shí)體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、探究、驗(yàn)證、建構(gòu)、再發(fā)現(xiàn)、再探究、再驗(yàn)證、再建構(gòu)的完整過程，這樣的探究經(jīng)歷可以促進(jìn)有效數(shù)學(xué)課堂的建構(gòu)。研究者以“釘子板上的多邊形”專題活動(dòng)課為例，提出以動(dòng)手操作為載體，提升專題活動(dòng)的有效性；以探究性問題為驅(qū)動(dòng)，彰顯數(shù)學(xué)探究的思維性；以循序漸進(jìn)的活動(dòng)設(shè)計(jì)為指引，體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的遞進(jìn)性。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)；動(dòng)手操作；問題；建構(gòu)

一、問題的提出

數(shù)學(xué)發(fā)展史的進(jìn)程中，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)定理或公式都需要經(jīng)歷一個(gè)很長(zhǎng)的過程，不僅需要在不完全歸納法后以大量事實(shí)進(jìn)行驗(yàn)證，還需要利用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明來確認(rèn)其正確性。倘若在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生像科學(xué)家一樣經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證的過程，切實(shí)體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、探究、驗(yàn)證、建構(gòu)、再發(fā)現(xiàn)、再探究、再驗(yàn)證、再建構(gòu)的完整過程，想必這樣的探究經(jīng)歷對(duì)學(xué)生而言會(huì)印象深刻，更是彌足珍貴的。

教材中“釘子板上的多邊形”是一節(jié)專題活動(dòng)課，這一內(nèi)容主要是為了讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)探究獲得新的發(fā)現(xiàn)。教學(xué)時(shí)教師要通過合理利用教材，結(jié)合具體的學(xué)情進(jìn)行斟酌，給予學(xué)生經(jīng)歷一次完整的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的真實(shí)體驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)智慧的碰撞。基于以上思考，筆者與教研組的同事進(jìn)行商討，經(jīng)歷了2次教學(xué)嘗試，以進(jìn)行有效數(shù)學(xué)課堂的建構(gòu)。

二、教學(xué)嘗試與思考

（一）初次嘗試

1. 初步感知，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問題：如圖1，請(qǐng)觀察圖形，并獨(dú)立填寫表格。

師：經(jīng)過剛才的獨(dú)立思考，你們一定有了自己的想法和認(rèn)識(shí)，下面分小組討論從表格中能發(fā)現(xiàn)什么？（學(xué)生展開了熱烈討論，思維不斷碰撞，很快有了統(tǒng)一的想法）

生：多邊形的面積即為多邊形邊上的釘子數(shù)的一半。

師：非常好。如果用字母b表示釘子數(shù)，S表示多邊形的面積，可以得出什么公式？

生：S=b÷2。（教師板書）

師：觀察了表格，我們?cè)賮碜屑?xì)觀察這組圖形，你能發(fā)現(xiàn)它有什么特征？（學(xué)生仔細(xì)觀察）

生：在圖形的內(nèi)部都僅有1顆釘子。

師：真是觀察仔細(xì)的好孩子，如果用字母a表示圖形內(nèi)部的釘子數(shù)，則可以將圖形規(guī)律表示為：當(dāng)a=1時(shí)，則S=b÷2。

2. 變化方法，建構(gòu)規(guī)律

師（拾級(jí)而上）：下面再請(qǐng)大家試著在釘子板上任意圍出3個(gè)不同的多邊形，使其內(nèi)部有2顆釘子，并填寫表1。

（教師提出問題后，學(xué)生自主地開展小組合作學(xué)習(xí)，在觀察、比較、辨析、討論、爭(zhēng)辯之后有了發(fā)現(xiàn)）

師：經(jīng)過一段時(shí)間的探究，想必你們都有了自己的發(fā)現(xiàn)，下面每個(gè)小組派一個(gè)代表進(jìn)行分享。（不少組別的學(xué)生都有了發(fā)現(xiàn)，爭(zhēng)先恐后地想要表達(dá)自己的觀點(diǎn)）

生1：多邊形的面積不等于邊上釘子數(shù)的一半，比一半多1。

生2：與我們組的發(fā)現(xiàn)相同。（其他兩個(gè)組也紛紛表示有了相同的發(fā)現(xiàn)）

師：沒有發(fā)表觀點(diǎn)的小組有沒有其他想法呢？愿意同我們說一說嗎？

生3：其實(shí)我們組也有相同的發(fā)現(xiàn)，只是沒有匯報(bào)。

生4：我們組在操作的時(shí)候畫錯(cuò)了一個(gè)圖形，里面圍了3顆釘子。

師：那另外兩個(gè)符合要求的圖形可以得出這個(gè)規(guī)律嗎？

生4：可以。

生5：我們小組在圍圖形的時(shí)候，將圖形不滿整格視為半格數(shù)計(jì)算，得出面積是3，然后感覺錯(cuò)了。

師：那我們就一起來看看他們小組圍成的圖形面積究竟應(yīng)該是多少。（出示圖2）

……

課堂教學(xué)推進(jìn)到此時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)已經(jīng)與教學(xué)設(shè)計(jì)出現(xiàn)了較大的偏差。之后筆者依舊“循規(guī)蹈矩”地組織了規(guī)律的完善與驗(yàn)證環(huán)節(jié)，并完成了教學(xué)任務(wù)。但是這一節(jié)課結(jié)束后，筆者深感疲憊，整節(jié)課沒有達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，同時(shí)課堂中專題活動(dòng)的氛圍并沒有很好地體現(xiàn)出來，學(xué)生也沒有發(fā)揮出自身的主體地位，使得教學(xué)效果不盡如人意。

（二）初次教學(xué)嘗試的反思

筆者的初次教學(xué)嘗試中反映出來的“誤區(qū)”主要體現(xiàn)在以下方面：

首先，在初步探究中，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形并得出“內(nèi)部有1顆釘子”的活動(dòng)設(shè)計(jì)不當(dāng)。不當(dāng)之處主要體現(xiàn)在所有的思維活動(dòng)沒有在實(shí)踐操作中開展，學(xué)生沒有產(chǎn)生主動(dòng)探究的意愿，一切觀察和探究活動(dòng)都是出于教師與教材的要求。

其次，在學(xué)生動(dòng)手操作圍圖形中，由于操作過程的偏頗得出了特殊的圖形，直接將學(xué)生的探究關(guān)注點(diǎn)引向了它處，形成了探究障礙；同時(shí)，倘若去掉探究過程，只安排之后的觀察和分析活動(dòng)，學(xué)生一樣也可以探尋到其中的規(guī)律，因此這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)是否合理有待斟酌。

事實(shí)上，就整節(jié)課而言，并沒有讓學(xué)生感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，學(xué)生也沒有在“從1到2，再?gòu)?到3，直至無限”的規(guī)律發(fā)現(xiàn)中不斷進(jìn)取，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的喜悅。

（三）反思后的行為跟進(jìn)——第二次嘗試

基于以上諸多想法和思考，筆者在反思和提煉之后拾級(jí)而上，進(jìn)行了第二次教學(xué)嘗試。

1. 初次感知，有所認(rèn)識(shí)

探究活動(dòng)1.在釘子板上任意圍出一個(gè)圖形，并用自己的方法求一求圖形面積。

（學(xué)生在自主探究之后進(jìn)行匯報(bào)和展示，氣氛熱烈）

生1：我用數(shù)方格的方法計(jì)算得出這個(gè)圖形的面積。

生2：我是用公式計(jì)算的。

師：那就讓我們一起來看一看你們所圍的圖形，大家仔細(xì)觀察，說一說這些圖形有何特征，其面積大小與什么有關(guān)。（學(xué)生展開了熱烈的討論，很快有了發(fā)現(xiàn)）

師：根據(jù)你們的發(fā)現(xiàn)得出所有圖形的頂點(diǎn)都在釘子上，一般來說我們將這樣的圖形稱為“釘子板上的多邊形”。（出示課題）這些多邊形面積與內(nèi)部的釘子數(shù)及邊上的釘子數(shù)相關(guān)。

師：在研究中，我們一般通過先確定其中一個(gè)數(shù)量大小，然后研究其余兩個(gè)數(shù)量的關(guān)系來研究三個(gè)數(shù)量間的關(guān)系。比如，這里大家圍出的圖形中內(nèi)部釘子數(shù)都是1，那就讓我們從這種內(nèi)部有1顆釘子的圖形開始今天的探究之旅。

2. 初步探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

探究活動(dòng)2.

第一步：獨(dú)立在釘子板上任意圍出一個(gè)多邊形（要求：多邊形的內(nèi)部?jī)H有1顆釘子）；

第二步：數(shù)出該多邊形邊上有多少顆釘子，并通過自己擅長(zhǎng)的方法計(jì)算該多邊形面積；

第三步：組內(nèi)所有學(xué)生的結(jié)果匯總，填寫統(tǒng)計(jì)表2；

第四步：小組合作學(xué)習(xí)并觀察表內(nèi)數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？請(qǐng)?jiān)诮M內(nèi)暢所欲言，大家相互分享自己的發(fā)現(xiàn)。

（學(xué)生在活動(dòng)的引導(dǎo)下，循序漸進(jìn)地進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，在觀察、思考、探索、交流中有了很多發(fā)現(xiàn)）

最終匯總得出：內(nèi)部釘子數(shù)是1時(shí)，多邊形面積＝邊上釘子數(shù)÷2。

師（提煉總結(jié)）：如果用字母S表示多邊形的面積，a表示內(nèi)部釘子數(shù)，b表示釘子數(shù)，則可以用“當(dāng)a=1時(shí)，S=b÷2”來闡述此時(shí)它們的關(guān)系。

3. 深入探究，完善建構(gòu)

師：那么，在剛才研究的基礎(chǔ)上，如果邊上的釘子數(shù)不改變，內(nèi)部釘子數(shù)發(fā)生變化，結(jié)果會(huì)怎么樣呢？下面請(qǐng)大家觀察剛才自己圍出的圖形，并思考：基于原題，如何保證邊上的釘子數(shù)不變，迅速將內(nèi)部的釘子數(shù)變成2？（此問題具有很強(qiáng)的探究性，學(xué)生自主地開展獨(dú)立操作，很快有了自己的想法，并在小組內(nèi)進(jìn)行了互動(dòng)交流）

生：只需將多邊形的一條邊向外拉動(dòng)。

師：非常好，讓我們繼續(xù)進(jìn)一步的研究。

探究活動(dòng)3.

第一步：學(xué)生獨(dú)立改造和變化之前的圖形，使得邊上的釘子數(shù)不變，且得出一個(gè)內(nèi)部有2顆釘子的新圖形；

第二步：觀察新圖形，并思考新圖形的面積是多少，相較于之前多了多少；

第三步：小組合作學(xué)習(xí)，相互分享各自的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生又一次積極地進(jìn)行探究，在師生的共同提煉下得出：當(dāng)內(nèi)部的釘子數(shù)a=2時(shí)，可得S=b÷2+1。

4. 變化圖形，建構(gòu)規(guī)律

師：當(dāng)內(nèi)部的釘子數(shù)是3或4，或是更多時(shí)，面積S會(huì)如何變化呢？請(qǐng)大家進(jìn)一步研究。

探究活動(dòng)4.

第一步：變化圖形內(nèi)部的釘子數(shù)，由3到4，或者更多，保證邊上的釘子數(shù)不變，將得出的面積與內(nèi)部釘子數(shù)為1時(shí)相比較，得到什么發(fā)現(xiàn)；

第二步：全組有序匯總組內(nèi)所有成員的發(fā)現(xiàn)，填寫表3；

第三步：一起觀察表3中的數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生在共同努力下，生成了表4所示的研究成果，并在分析與交流之后得出：S=b÷2+a-1。

5. 操作驗(yàn)證，有所生成

探究活動(dòng)5. 上述規(guī)律，是否只要是釘子板上的多邊形都適用呢？請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立思考和操作，在釘子板上圍一圍看有何發(fā)現(xiàn)，然后小組內(nèi)成員匯總相關(guān)數(shù)據(jù)，并填寫表5，以驗(yàn)證規(guī)律是否正確。

在深度探究和合作交流之后，學(xué)生交流了一種特殊情況，即（內(nèi)部無釘子數(shù)的情形），并獲得了新的認(rèn)識(shí)。

6. 總結(jié)歸納，深化認(rèn)識(shí)

師：本節(jié)課我們一起研究了“釘子板上的多邊形面積”，回憶整個(gè)研究過程，我們先從內(nèi)部1顆釘子開始，直到多顆釘子，運(yùn)用從特殊到一般的方法去研究和發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再以自己的方式去驗(yàn)證規(guī)律是否正確。事實(shí)上，這種方法也是數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)規(guī)律時(shí)采用的方法，你們有了像科學(xué)家一般的研究經(jīng)歷。希望今天的探究經(jīng)歷讓你們記憶猶新，并能夠應(yīng)用到之后的學(xué)習(xí)和研究中去。今天你們的發(fā)現(xiàn)也正是著名數(shù)學(xué)家皮克發(fā)現(xiàn)的皮克定理，《格點(diǎn)與面積》這本書著重介紹了與之相關(guān)的知識(shí)，對(duì)其感興趣的學(xué)生可以利用課余時(shí)間去進(jìn)一步了解。

三、教學(xué)反思和感悟

（一）以動(dòng)手操作為載體，提升專題活動(dòng)的有效性

手與腦存在著千絲萬縷的聯(lián)系，這些聯(lián)系可以相互促進(jìn)，讓手變得更加富有創(chuàng)造性，讓腦變得更加聰明。那么教師就需賦予學(xué)生更多的操作性活動(dòng)，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中獲取知識(shí)、發(fā)展能力、生成智慧。比如，本節(jié)課在初次嘗試中可以明顯看出學(xué)生的動(dòng)手操作活動(dòng)無序、無力、無效?；诖耍P者在第二次嘗試中設(shè)計(jì)的5次探究活動(dòng)都離不開動(dòng)手操作，讓有序、高頻的動(dòng)手操作貫穿整節(jié)課，讓學(xué)生“動(dòng)”起來，在動(dòng)手操作與數(shù)學(xué)思維的緊密聯(lián)系中高效完成教學(xué)目標(biāo)，提高了專題活動(dòng)的有效性，促進(jìn)了學(xué)生規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和思維的發(fā)展。

（二）以探究性問題為驅(qū)動(dòng)，彰顯數(shù)學(xué)探究的思維性

數(shù)學(xué)規(guī)律是抽象靜止的，而小學(xué)生都是生動(dòng)活潑的生命個(gè)體。如果教師將抽象靜止的數(shù)學(xué)規(guī)律直接“拋”給學(xué)生，讓學(xué)生通過應(yīng)用來深化認(rèn)識(shí)，勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思維的僵化。學(xué)生往往只能簡(jiǎn)單地套用規(guī)律，一旦涉及靈活運(yùn)用則常常思維卡殼。規(guī)律的教學(xué)需要著重關(guān)注發(fā)現(xiàn)的過程，每一個(gè)探究活動(dòng)都需以問題為驅(qū)動(dòng)，讓問題引領(lǐng)整個(gè)數(shù)學(xué)探究歷程，這樣才能充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)探究的思維性。

比如，在本課的第二次教學(xué)嘗試中，筆者設(shè)計(jì)的5次探究活動(dòng)無一例外都是以問題延伸開來的，為學(xué)生搭建好平臺(tái)，讓學(xué)生積極主動(dòng)去觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、思考、驗(yàn)證，讓學(xué)生的思維更具開放性，讓數(shù)學(xué)課堂時(shí)時(shí)迸發(fā)出思維的火花。

（三）以循序漸進(jìn)的活動(dòng)設(shè)計(jì)為指引，體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的遞進(jìn)性

想要體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的遞進(jìn)性，就需要為學(xué)生設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，讓學(xué)生觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)，真正意義上感受和體驗(yàn)新規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建過程。本課中，教師設(shè)計(jì)了循序漸進(jìn)的5次探究活動(dòng)，從特殊到一般地指引學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，使其感受數(shù)學(xué)探究的愉悅、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的遞進(jìn)、數(shù)學(xué)知識(shí)的魅力，從而實(shí)現(xiàn)高效建構(gòu)。

四、結(jié)語

總之，教與學(xué)相輔相成，數(shù)學(xué)課堂不僅需要教師盡心地教，也離不開學(xué)生積極主動(dòng)地學(xué)，需要學(xué)生認(rèn)真觀察、細(xì)心思考、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、自主探究和合作學(xué)習(xí)。提高課堂實(shí)效的方法與途徑很多，需要教師以先進(jìn)的教學(xué)理念來指導(dǎo)自身的教學(xué)實(shí)踐，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，通過課堂實(shí)踐的磨礪來創(chuàng)造真實(shí)、開放、有效的數(shù)學(xué)課堂，才能讓自身的教學(xué)風(fēng)格得到塑造，讓每個(gè)學(xué)生在課堂中有所得、有所獲，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中全面和諧發(fā)展，最終建構(gòu)高效數(shù)學(xué)課堂。只有這樣精心構(gòu)造，才能讓教師的專業(yè)素養(yǎng)快速發(fā)展起來，真正跟上新課程改革的腳步。