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        探尋思維留痕 落實素養(yǎng)無痕

        2023-08-23 04:49:29項珠確
        考試周刊 2023年31期
        關(guān)鍵詞:聯(lián)想錯題反思

        摘 要:文章以一次考試卷上的錯題為例,通過對問題的發(fā)現(xiàn)、問題的提出、問題的思考、問題的解決,引導(dǎo)學(xué)生逐步地掌握對題目理解—分析—解題—反思的方法;引導(dǎo)學(xué)生重視錯題,能夠把所學(xué)的知識融會貫通,感受題目萬變、知識不變的真諦,教會學(xué)生思考的途徑和方法,提高學(xué)習(xí)效率,落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

        關(guān)鍵詞:錯題;問題;聯(lián)想;反思;核心素養(yǎng)

        中圖分類號:G633.63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1673-8918(2023)31-0111-04

        浙教版七下第一章《平行線》是初中平面幾何的核心內(nèi)容,也是研究線的位置關(guān)系與角的數(shù)量關(guān)系的重要依據(jù)。平行線與角之間的聯(lián)系緊密,且構(gòu)成的圖形豐富,問題設(shè)計圍繞性質(zhì)和判定兩個互逆的角度,體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識內(nèi)在聯(lián)系和辯證統(tǒng)一的思想,發(fā)展學(xué)生的空間觀念與邏輯推理。如何有效地為學(xué)生構(gòu)建前后一致、思路清晰、層次分明且自然的成長的課堂?文章以一節(jié)試卷講評課分享如下:學(xué)問,先學(xué)再問,問而后學(xué),是一個循環(huán)往復(fù)的過程。

        一、 以錯題探尋思維的痕跡

        顧名遠(yuǎn)教授說:“新世紀(jì)的教育要求學(xué)生獨(dú)立思考,敢想敢做,勇于創(chuàng)新,不能提出問題的學(xué)生不是一個好學(xué)生?!睂W(xué)貴質(zhì)疑,有疑必有思,有思必有問。學(xué)生“學(xué)會”提出問題,雖不能解決問題,但能夠提出問題相當(dāng)于把問題解決一半,提不出問題自然不知道怎樣解決問題。精細(xì)處理解題的過程可以說是自問、自答、自編、自演的一個過程。

        傳統(tǒng)教學(xué)導(dǎo)致學(xué)生習(xí)慣被喂養(yǎng),沒有主動挖掘問題的意識,不會用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識去試試看。所謂會,一眼看出答案便是會,稍微拐個彎就不會,何談思考。學(xué)生不會提問,問就簡單兩個字:不會。老師追問哪里不會,他答都不會,沒有自己的思維,讓老師不知從何講起;只會“紙上談兵”似的認(rèn)字讀題,不知如何解讀題意、使用條件,不明確解題目的,不知如何建立條件和結(jié)論的聯(lián)系。課堂內(nèi)外都需要教師引導(dǎo)學(xué)生意識到錯必有問、找問、解問等。

        首先,教師要鼓勵學(xué)生說出自己的想法,鼓勵其自我反思,去探索和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法,勿用自己的教學(xué)經(jīng)驗和“身份”隨意地束縛學(xué)生的想法。課堂上,教師“舍”給學(xué)生足夠質(zhì)疑與反思的時間,“得”思維碰撞之火花。學(xué)生會柳暗花明又一村地帶給教師一個又一個的驚喜。其次,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)避免不了錯題,對錯題講解比上新課更有挑戰(zhàn)性。將錯簡單分不會錯、會錯兩類。不論什么原因,終究會有部分學(xué)生,老師講我懂,換一類似題目,自己就是想不到。學(xué)生一般都會認(rèn)真對待檢測卷上的試題,對每道題的思考相比平時會更充分。講解這類全員充分思考過的題目比較有針對性:①顯性的書寫痕跡記錄當(dāng)時思考的過程。②考后有寬裕的時間,有針對性地找學(xué)生個別交流說出自己想法,教師收集典型的想法備課,課堂上讓學(xué)生展示自己當(dāng)時的想法,老師根據(jù)學(xué)生的困惑關(guān)鍵處及時引導(dǎo),提高學(xué)生的解題能力和課堂效度?!叭齻€臭皮匠,頂個諸葛亮?!闭n后教師要與學(xué)生個別交流,也要鼓勵和引導(dǎo)學(xué)生相互交流,讓問題意識時刻伴隨、得到更好地鞏固和延續(xù)。借用美國教育家布魯巴克的“最精湛的教育藝術(shù),遵循的最高原則,就是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題和提出問題”與大家共勉。

        二、 以問題提出讓思維留痕

        在試卷講評教學(xué)中,教師要站在學(xué)生的角度思考,想學(xué)生之所想,要調(diào)動學(xué)生積極參與充分展現(xiàn)學(xué)生的思維過程。如對學(xué)生思維終點(diǎn)、盲點(diǎn)等要細(xì)致分析和合理指導(dǎo),優(yōu)化學(xué)生思維。

        學(xué)生遇到綜合性比較強(qiáng)的問題,第一反應(yīng)不知道怎么想,沒思路,條件不知道怎么用。文章通過對幾道錯題的思考引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想和反思解題。在解題教學(xué)中,教師要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生展示并感悟數(shù)學(xué)解題思維過程,在清楚“如何做”的基礎(chǔ)上,更要理解“為何這樣做”,避免機(jī)械盲目地生搬硬套。對一道原本枯燥的題目,我們通過不斷的聯(lián)想與深度的反思,得到一個又一個結(jié)論。

        在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中注重對學(xué)生思維的訓(xùn)練,教師要站在更高角度去思考,呈現(xiàn)出適合大眾口味的解題方法,讓每一個學(xué)生易于理解,快速接受,一切的知識都自然生成。對一道題,教師要善于從深淺不同層次,運(yùn)用不同的方法解決,比較解法的優(yōu)劣,掌握一定的解題技能。對習(xí)題分類講解,教會學(xué)生識別題目的類型,選擇合適的方法進(jìn)行合理的想象和思考,以不變的數(shù)學(xué)知識解決萬變的數(shù)學(xué)題。以下是筆者對一份試卷講評課的課堂展示,包括發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題環(huán)節(jié)。教師精心設(shè)計問題,在問題串中漸進(jìn)思考。

        師:在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系有幾種?生:相交和平行。

        師:板書畫出圖形。師:在兩條相交的直線中,有哪些你熟悉的角?生:有對頂角、互為補(bǔ)角、平角三種角。

        師:兩條平行線只有平角,如何產(chǎn)生內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、同位角?生:截線。

        師:截線(線段、射線、直線)是除平行線外的第三條線,這條線決定平行線的性質(zhì)和判定合理的選擇。

        問題1:如圖1,請根據(jù)下列要求回答問題:

        (1)若AB∥CD,你能得到哪些結(jié)論?(2)請?zhí)砑右粋€條件,使AB∥CD。

        本題意圖:在完整三線八角圖中,既復(fù)習(xí)平行線的性質(zhì)和判定,又易于發(fā)散學(xué)生思維,打開學(xué)生思維之門,為之后思考作鋪墊。

        問題2:如圖2,∠3=40°,直線b平移后得到直線a,∠1+∠2=____ °。

        本題意圖:比較學(xué)習(xí),當(dāng)截線不是以直線,而分別以線段、射線出現(xiàn),學(xué)生該如何分析呢?三線八角圖不是以完整的方式呈現(xiàn),而是隱去某些部分得到非完整的三線八角圖。解決問題方式是返璞歸真,把隱去部分合適地顯現(xiàn)。方法一:分析本題除去兩條平行線a、b,剩下兩條是射線,截平行線中的其中一條線,通過把射線反向延長展示完整的三線八角圖。方法二:過∠2的頂點(diǎn)畫平行線,射線巧成截線,畫平行線一舉兩得把兩條截線利用起來。

        問題3:數(shù)學(xué)課上,張老師給出這樣一個問題:

        已知:如圖3,直線a∥b,a∥c,請說明:b∥c。請你把小明的說明過程補(bǔ)充完整:

        說明:作直線l分別和a,b,c相交(如圖3)

        ∵a∥b(已知)

        ∴∠1=____,(________)

        又∵a∥c(已知)

        ∴∠1=____,(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)

        ∴____

        ∴b∥c,(________)

        由此我們可以得到一個基本事實:平行于同一條直線的兩條直線互相________。

        本題意圖:當(dāng)沒有截線該如何添輔助線呢?填空的方式大大降低了題目難度,如果單獨(dú)作為命題給出,學(xué)生難想到,這樣的截線有無數(shù)條給學(xué)生帶來無限遐想和回味。

        問題4:如圖4,已知射線OA∥射線CB,∠C=∠OAB=100°。點(diǎn)D、E在線段CB上,且∠DOB=∠BOA,OE平分∠DOC。

        (1)試說明AB∥OC的理由;(2)試求∠BOE的度數(shù);(3)平移線段AB,①試問∠OBC:∠ODC的值是否會發(fā)生變化?若不會,請求出這個比值;若會,請找出相應(yīng)變化規(guī)律。②若在平移過程中存在某種情況使得∠OEC=∠OBA,試求此時∠OEC的度數(shù)。

        本題意圖:當(dāng)截線很多該如何選擇合適呢?以試卷最后一題為例,開啟幾何分析、思考解題之旅。

        數(shù)學(xué)離不開解題,而解題與聯(lián)想、反思是緊密相連的,成功有效的解題過程中必然伴隨著一系列的聯(lián)想和反思,豐富多彩的聯(lián)想和反思,往往能帶來更多的信息,才能使你的思維變得更加明朗,提高思維的廣闊性、靈活性和創(chuàng)造性,有助于思維的優(yōu)化,讓你進(jìn)入新的境界,最終為我們的解題創(chuàng)造出一個又一個的精彩。

        教師應(yīng)教會學(xué)生如何閱讀題目,如何正確解讀題意,充分合理地理解題意。根據(jù)題目所提供的條件,教會學(xué)生想象像主持人一般,邊讀題目,邊讓題目形象地登場——復(fù)雜問題是多個簡單問題的疊加,自己畫圖把復(fù)雜圖形問題簡單化如圖5所示。

        分析除去兩條平行射線OA與射線CB,余下的五條線段OC、線段OE、線段OD、線段OB、線段AB都有可能是截線。此時,按照語句順序看下一個條件“∠C=∠OAB=100°”。參看原圖形,∠C帶來線段OC的出場;∠OAB帶來線段AB的出場;很清晰地選出真正截線為線段OC,同旁內(nèi)角∠C與∠COA互補(bǔ),或者選擇線段AB為截線,則∠CBA與∠OAB互補(bǔ),加上∠C=∠OAB這個條件,這四個角相互有了聯(lián)系,不難證明AB∥OC。

        教學(xué)中,從條件出發(fā)把學(xué)生可能有的想法自然生成,學(xué)生教學(xué)生,讓學(xué)生感受不同人的理解,發(fā)散思維,從復(fù)雜圖形中分離出簡單基本圖形,從視覺上、心理上降低題目的難度,本質(zhì)是幾個簡單圖形的疊加。

        閱讀題目的文字,解讀出題者用意,廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)所有類型的題目。

        如第(2)小題,∠BOE不是題中直接提到的角,沒有直接提到就是間接形成,可以看成角的和與差,或者找到與之相鄰的角,或者找與其有關(guān)系的角等。結(jié)合已知條件自然看成∠DOE(OE平分∠DOC)與∠BOD(∠DOB=∠BOA)之和,在思考問題過程中要充分挖掘已知條件和所求之間的聯(lián)系,這個聯(lián)系就是解題的鑰匙。

        第(3)題第①問,平移線段AB,題中唯一動態(tài)元素,動靜是相對的,動在某一個時刻轉(zhuǎn)化為靜,整個圖形是靜態(tài)。圖形大小發(fā)生變化,要抓住不變的量?!耙阎渚€OA∥射線CB,∠C=∠OAB=100°。點(diǎn)D、E在線段CB上,且∠DOB=∠BOA,OE平分∠DOC;第(1)說明AB∥OC”,這些條件不變。∠OBC與∠ODC是之前沒有提到過的角,回顧角的靜態(tài)定義,角是由公共端點(diǎn)兩條射線所組成的圖形。這兩個角涉及線段OD、線段OB、線段CD與射線CB在同一直線上,想到線段CD與射線CB是建立兩個角聯(lián)系的媒介,根據(jù)所求,執(zhí)果索因去找相關(guān)的條件,鎖定“已知射線OA∥射線CB”這個條件。線段OD、線段OB恰巧是平行線的截線,產(chǎn)生內(nèi)錯角,通過平行線的性質(zhì)建立角之間的關(guān)系∠OBC=∠BOA,∠CDO=∠DOA,看似與條件無直接關(guān)系的角,通過等量替換,兩個角的關(guān)系就顯現(xiàn)。幾何題往往需要瞻前“條件”和顧后“結(jié)論”雙管齊下去突破。充分挖掘題目條件相關(guān)的知識、更細(xì)化地分析條件,是大家能夠理解接受的分析方式。結(jié)合以上分析呈現(xiàn)三幅分解圖(隱去部分線條,非完整的三線八角圖)如圖6。

        由上一題作鋪墊,再分析第②題,學(xué)生初步接觸掌握了分析、思考的方法,讓學(xué)生模仿、創(chuàng)新地說出自己思考的過程,盡管在語言表達(dá)上有所欠缺,但是大多數(shù)學(xué)生有思路。在平時的教學(xué)中需要多加訓(xùn)練和鞏固這樣的分析方式。

        本小題解題思路展示如下:根據(jù)結(jié)論提到的兩個∠OEC與∠OBA出發(fā)比較容易突破?!螼EC由線段CE、線段OE組成,由線段CE找到條件“已知射線OA∥射線CB”,這個條件反復(fù)多次靈活地通用于三個小題,關(guān)鍵是這組平行線間的多條截線所導(dǎo)致各種不同。通過平行線的性質(zhì)得到∠OEC=∠AOE。同理∠OBA由線段OB、線段AB組成,找到結(jié)論“(1)試說明AB∥OC的理由”,在實際應(yīng)用中學(xué)生往往會忽視“來自新獲得的結(jié)論”這個隱性的條件。通過平行線的性質(zhì)得∠OBA=∠COB。研究∠OEC=∠OBA通過平行線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成為∠AOE=∠COB之間的關(guān)系。這兩個角減去公共部分得到∠COE=∠BOA,結(jié)合“∠DOB=∠BOA,OE平分∠DOC”,問題就不攻自破。

        通過對這張試卷的分析,感悟教師應(yīng)該教會學(xué)生如何分析題目、教會學(xué)生如何合理利用條件和結(jié)論,教會學(xué)生如何合理地提出問題,教會學(xué)生自然學(xué)會分析題目背后隱藏的最本質(zhì)的東西(書本上的定義、定理、法則、經(jīng)典例題等)。本課內(nèi)容圍繞三線八角圖形成關(guān)鍵是截線,結(jié)合基本的定義、定理、判定等,準(zhǔn)確把握條件和結(jié)論,雙雙分析、反思從而自然、正確地解題。相比語言文字,圖形可以更直觀形象地幫助學(xué)生理解。在幾何教學(xué)課上,教師應(yīng)該教會學(xué)生自己畫圖,自己畫圖貌似浪費(fèi)時間,其實是磨刀不誤砍柴工的方法,學(xué)生如同玩拼裝玩具拆開又拼起來,身臨其境地從復(fù)雜圖形中分離出基本圖形如圖7,從視覺上有效排除干擾,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,簡明、易懂、高效、快速地解決問題。

        返璞歸真地思與問,回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)的提問與思考是每個學(xué)生易于接受、能夠接受的分析方法。對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)知識靈活地演繹和變形,進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要回歸書本,讓書本作為知識的根,成為穩(wěn)健的根基,才能結(jié)出有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成果。

        參考文獻(xiàn):

        [1]孫宇博.培養(yǎng)高中生提出數(shù)學(xué)問題能力的策略研究[D].長春:東北師范大學(xué),2015.

        [2]章建躍.樹立課程意識 落實核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報,2016(5):1-4,14.

        [3]侯有岐.聯(lián)想和反思讓數(shù)學(xué)解題更加精彩[J].高中數(shù)理化,2018(14):4-5.

        作者簡介:項珠確(1983~),女,漢族,浙江衢州人,浙江省衢州正誼學(xué)校,研究方向:初中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究。

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