李振濤 王淑玲

(北京市順義牛欄山第一中學(xué))

課程標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)的依據(jù),教材是落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的直接載體,教師是落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的執(zhí)行者和實(shí)踐者,教師對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的理解直接影響到教學(xué)效果.充分利用教材,將教材中的例題和練習(xí)題進(jìn)行深入的發(fā)掘和拓廣,可以有效地減輕學(xué)生負(fù)擔(dān),達(dá)到提升學(xué)科素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的目標(biāo),下面我們從教材的例題和習(xí)題出發(fā),探索導(dǎo)數(shù)中放縮法的本源.

一、題目

2.人教A版選擇性必修第二冊(cè)P97,練習(xí)1:利用函數(shù)的單調(diào)性,證明下列不等式,并通過(guò)函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證:sinx

4.人教A版選擇性必修第二冊(cè)P94,練習(xí)2:證明不等式:x-1≥lnx,x∈(0,+∞).

5.人教A版選擇性必修第二冊(cè)P99,第12題:利用函數(shù)的單調(diào)性,證明下列不等式,并通過(guò)函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證:

(1)ex>1+x,x≠0;

(2)lnx0.

二、構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

1.題目1與題目2拓廣探究

(1)當(dāng)x>0時(shí),sinx

【證明】sinx0,

所以可令f(x)=x-sinx,x>0,則f′(x)=1-cosx,易知在x∈(0,+∞)上f′(x)≥0,

所以f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,即f(x)>f(0)=0,

所以x-sinx>0在x∈(0,+∞)上恒成立,則sinx

由(1)可知m′(x)>0,所以k′(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以k′(x)>k′(0)=0,同理可得f′(x)>f(0)=0,所以f(x)在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)>f(0)=0,

2.題目3,4,5的拓展探究

(1)指數(shù)ex≥x+1切線的放縮的推廣.

①下面對(duì)其原式“加減乘除”并進(jìn)行推廣:

如果把原式x替換成x+a,則原式變成ex+a≥x+a+1,切點(diǎn)x=-a.

如果把原式x替換成x+lnx,則原式變成xex≥x+lnx+1(x>0),切點(diǎn)x+lnx=0?x0≈0.568.

如果把原式x替換成x-1,則原式變成ex-1≥x,又可表示為ex≥ex,切點(diǎn)x=1;

②下面對(duì)其原式“丟1換x”并進(jìn)行推廣.

如果把原式1丟掉,則變成:

(2)對(duì)數(shù)lnx≤x-1(x>0)切線的放縮推廣.

下面對(duì)其原式“加減乘除”并進(jìn)行推廣.

如果把原式x替換成1+x,則原式變成ln(1+x)≤x(x>-1).

從上面的代換可以發(fā)現(xiàn),所謂導(dǎo)數(shù)中的“大招”其來(lái)源還是教材中的典型例題或習(xí)題的變形,這些所謂的“大招”只要教師在授課過(guò)程中稍加滲透就可以了.

三、典型應(yīng)用

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)的最大值;

(Ⅱ)若f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,所以f(x)max=f(1)=-1.

①當(dāng)a≤0時(shí),ax-1≤0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

所以f(x)max=f(1)=a-1<0,此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn),不符合題意;

所以f(x)有唯一零點(diǎn),符合題意;

這時(shí)候就要從題目要求出發(fā),進(jìn)行選擇性調(diào)整,目標(biāo)是解決f(x0)≥0,所以將-(a+1)lnx進(jìn)行放縮,有兩條途徑:一是選擇-(a+1)(x-1)≤-(a+1)lnx,我們?cè)囼?yàn)一下看能否成功:

整理得到x2-(a+1)x+1≤0.

由二次函數(shù)g(x)=x2-(a+1)x+1的性質(zhì)可知當(dāng)0

命題得證;

令F(t)=-t2+2(a+1)t-a-2,則F(0)=-a-2<0,

所以f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知,a的取值范圍是(0,+∞).

四、教學(xué)建議

高考對(duì)高中教學(xué)起到重要的引導(dǎo)作用.高考評(píng)價(jià)體系將“引導(dǎo)教學(xué)”納入核心功能,有利于理順教考關(guān)系,增強(qiáng)“以考促學(xué)”的主動(dòng)意識(shí).從這個(gè)角度講,高考不僅僅是對(duì)學(xué)生的選拔考試,也是對(duì)教師教學(xué)的一次評(píng)估,更是對(duì)教師在課堂中落實(shí)“立德樹(shù)人、服務(wù)選材、引導(dǎo)教學(xué)”的一次評(píng)估,所以做好高三復(fù)習(xí)對(duì)于教師就是一次非常有挑戰(zhàn)性的工作,也是非常具有創(chuàng)新性的工作,需要教師付出大量的時(shí)間和精力,不僅要在“一核四層四翼”上下功夫,還要著眼于學(xué)生的未來(lái)發(fā)展.現(xiàn)在的高三復(fù)習(xí)經(jīng)常見(jiàn)到的現(xiàn)象是訂閱一些教輔材料,通過(guò)教輔材料中大量的習(xí)題鞏固基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法,教材經(jīng)常被束之高閣,偶爾使用一下.教材是落實(shí)“一核四層四翼”的基本載體,如何用好教材進(jìn)行復(fù)習(xí)是一個(gè)值得研究的問(wèn)題.上面例子說(shuō)明教材中的試題與高考試題之間有非常高的相關(guān)性,通過(guò)對(duì)教材中例題和練習(xí)題的多角度拓廣使其能夠?qū)拥礁呖荚囶}中,就能夠?qū)崿F(xiàn)減負(fù)增效,提升學(xué)生核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力的目標(biāo).