余繼光

(浙江省柯橋中學(xué))

通過對(duì)2023年新高考數(shù)學(xué)命題卷的亮點(diǎn)、特點(diǎn)、考點(diǎn)分布等進(jìn)行分析比較,挖掘新高考數(shù)學(xué)命題的新動(dòng)向,新智慧點(diǎn),共性與啟示,為2024年新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)展示重點(diǎn)與方向,提升新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性.

2023年7份高考數(shù)學(xué)試卷中,新課標(biāo)Ⅰ,Ⅱ卷(以下簡(jiǎn)稱新Ⅰ,新Ⅱ),北京,上海,天津5份為新高考卷,前2份由教育部考試中心命制,后3份由三個(gè)直轄市單獨(dú)命制,全國(guó)31個(gè)省市自治區(qū)中,19個(gè)參加2023年新高考數(shù)學(xué)卷的評(píng)價(jià),檢測(cè)新高考改革地區(qū)的數(shù)學(xué)教育教學(xué)實(shí)際情況.2024年全國(guó)將有2/3以上的省市參加新高考數(shù)學(xué)命題評(píng)價(jià).本文重點(diǎn)關(guān)注新Ⅰ,新Ⅱ(經(jīng)典命題,具有高考指揮棒功能),并兼顧其他試卷的智慧點(diǎn)與教學(xué)啟示.

一、2023年新高考數(shù)學(xué)卷亮點(diǎn)與特點(diǎn)

1.新高考數(shù)學(xué)卷亮點(diǎn)

1.1科學(xué)評(píng)價(jià)新題型增多

2017年制定2020年修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》為新高考數(shù)學(xué)命題制定了評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),為實(shí)施這一標(biāo)準(zhǔn),教育部考試中心已將五大新題型滲透到新高考數(shù)學(xué)命題中,這是高考數(shù)學(xué)命題的總趨勢(shì),因?yàn)樾骂}型在評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中扮演著十分重要的角色,多項(xiàng)選擇題從多個(gè)角度綜合地審視數(shù)學(xué)的某一個(gè)復(fù)雜情境,如新Ⅱ第12題信道傳輸方案問題;舉例題使考生數(shù)學(xué)思維更加開放,如新Ⅰ第11題;開放題提供更多的選擇性,如新Ⅱ第15題;數(shù)據(jù)分析題體現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情境中數(shù)據(jù)信息的重要性,如新Ⅱ第19題疾病診斷數(shù)據(jù)分析題,上海第14,19題;邏輯推理題正是數(shù)學(xué)復(fù)雜情境的本質(zhì)特征,特別是自定義題,如上海第16題等.

1.2閱讀運(yùn)算邏輯推理多

新高考數(shù)學(xué)命題的閱讀量明顯增加,超過100字?jǐn)?shù)的題目增多,如數(shù)學(xué)文化題,概率統(tǒng)計(jì)題等;由于現(xiàn)實(shí)情境與科學(xué)情境題目加入,運(yùn)算量增加,過去高考數(shù)學(xué)題關(guān)注圓錐曲線中的數(shù)式運(yùn)算即可,現(xiàn)在增加了數(shù)學(xué)文化、概率統(tǒng)計(jì)等的代數(shù)運(yùn)算,如新Ⅰ第10題(源于必修第一冊(cè),P141,第10題),21題(源于選擇性必修第3冊(cè),P91,第10題),新Ⅱ第12,19題,上海第19題等.

1.3初等與高等鏈接增多

導(dǎo)數(shù),極限,級(jí)數(shù)(不等式,數(shù)列背景)等知識(shí)點(diǎn)是初等化的象征,新Ⅰ第11,22題;新Ⅱ第22題,天津第19,20題,上海第10題等,都可以與高等數(shù)學(xué)相關(guān)知識(shí)關(guān)聯(lián),此類評(píng)價(jià)可以發(fā)現(xiàn)較強(qiáng)數(shù)學(xué)思維層次考生.

2.新高考數(shù)學(xué)卷特點(diǎn)

2.1主干知識(shí)點(diǎn)處能力立意

新高考數(shù)學(xué)試卷中函數(shù)(包括三角、數(shù)列、導(dǎo)數(shù))、幾何(空間幾何、平面解析幾何)、概率與統(tǒng)計(jì)等主干知識(shí)模塊以其所需要的關(guān)鍵能力為立意之本,從設(shè)問角度到問題隱藏的復(fù)雜結(jié)構(gòu)都需要應(yīng)試者通過自身所具有的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力才能突破,比如數(shù)學(xué)建模能力,新Ⅱ第12,19題,上海第11題等.

2.2多學(xué)科交匯處創(chuàng)新鏈接

以復(fù)雜情境為特征,綜合化背景覆蓋,在數(shù)學(xué)內(nèi)在知識(shí)交匯點(diǎn)處鏈接其他學(xué)科形成綜合,或在不同學(xué)科知識(shí)交匯處鏈接形成綜合,如新Ⅰ第10題,新Ⅱ第12,19題.

2.3現(xiàn)實(shí)科學(xué)情境挖掘到位

不論是現(xiàn)實(shí)情境還是科學(xué)情境,新穎、別致、巧妙設(shè)問,使僅靠刷題才能解題的考生望而生畏,如新Ⅰ第10,12,13,21題,新Ⅱ第12,19題,上海第9,11,14,19題等.

3.考點(diǎn)分布、重點(diǎn)模塊及分值占比

3.1考點(diǎn)分布

表1 2023年新課標(biāo)Ⅰ卷中的知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)與痛點(diǎn)

表2 2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷中的知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)與痛點(diǎn)

對(duì)照上述兩張統(tǒng)計(jì)表可以發(fā)現(xiàn):

(1)2023年比2022年基礎(chǔ)題增多,樣本難度有所下降,特別是開始的單選題,使考生由易到難求解思維順暢,避免考試心理緊張;

(2)2023年比2022年相比,運(yùn)算量大還是主弦律,這仍然是學(xué)生應(yīng)試的最大痛點(diǎn);

(3)2023年不按套路出牌,打破常規(guī)命題是一個(gè)亮點(diǎn),數(shù)學(xué)問題切入點(diǎn)變化大且巧妙.

3.2重點(diǎn)模塊與分值占比

表3 2022年與2023年重點(diǎn)模塊分值(以新高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷1為例)

此表可以發(fā)現(xiàn):

(1)2022年與2023年重點(diǎn)模塊所占整卷比例九成,這是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)重要陣地;

(2)2023年函數(shù)、三角、向量與數(shù)列分值有所增加,概率統(tǒng)計(jì)保持不變.

二、新高考數(shù)學(xué)卷命題新動(dòng)向

1.新考法——不按套路出牌,打破常規(guī),創(chuàng)新命題思路

(Ⅰ)求W的方程;

【分析】此題表象是圓錐曲線題,實(shí)質(zhì)是函數(shù)導(dǎo)數(shù)題,矩形ABCD的周長(zhǎng)為2(AB+BC),而AB與BC垂直,垂直的關(guān)鍵是兩線段的斜率互為負(fù)倒數(shù),即線段AB,BC的長(zhǎng)是斜率k的函數(shù),而且是復(fù)雜函數(shù),為了研究其最小值需要導(dǎo)數(shù)工具來幫忙,使圓錐曲線中的運(yùn)算,從簡(jiǎn)單的套路(初等代數(shù)運(yùn)算),過渡到復(fù)雜函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算.

(Ⅱ)證明略.

2.創(chuàng)新題

客觀性試題情境化命題,主觀化測(cè)試.把客觀性知識(shí)放在特定情境中,提高情境設(shè)置水平,讓問題生長(zhǎng)在數(shù)學(xué)情境中.

【例2】(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·11T)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則( )

A.f(0)=0

B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數(shù)

D.x=0為f(x)的極小值點(diǎn)

【解析】前三個(gè)選項(xiàng)通過賦值易判其正確,而最后選項(xiàng)否定其正確性需要舉反例:

作為應(yīng)試:函數(shù)f(x)=0為常數(shù)函數(shù),且滿足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常數(shù)函數(shù)沒有極值點(diǎn);

三、新高考數(shù)學(xué)卷命題之共性

1.現(xiàn)實(shí)情境

新高考數(shù)學(xué)命題均在現(xiàn)實(shí)情境(貼近學(xué)生生活環(huán)境)中挖掘,將數(shù)學(xué)教育“立德樹人”落到實(shí)處,如新Ⅰ第21題挖掘體育中投籃比賽過程;新Ⅱ第3題體育運(yùn)動(dòng)統(tǒng)計(jì)調(diào)查;新Ⅱ第19題挖掘三年新冠傳染背景,將現(xiàn)實(shí)情境與概率+函數(shù)緊密聯(lián)系;上海第11題人上坡消耗的總體力問題,第19題汽車模型的外觀與內(nèi)飾顏色問題.

【例3】(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·19T)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者與未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖:

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn),需要確定臨界值c,將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性,此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);

誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c),假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,

(Ⅰ)當(dāng)漏診率p(c)=0.5%時(shí),求臨界值c和誤診率q(c);

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c),當(dāng)c∈[95,105]時(shí),求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.

【答案】(Ⅰ)c=97.5,q(c)=3.5%.

f(c)min=0.02.

【評(píng)析】此題將概率與分段函數(shù)有機(jī)結(jié)合,體現(xiàn)數(shù)學(xué)命題綜合化趨勢(shì).

2.空間圖形考法

新高考數(shù)學(xué)試卷均在“空間圖形情境+問題”中深入挖掘,加大考查力度,保持2022年命題風(fēng)格:新Ⅰ第12,14,18題;新Ⅱ第9,14,20題;上海第12,17題.

【例4】(2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·12T)下列物體中,能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1(單位:m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)的有( )

A.直徑為0.99 m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4 m的四面體

C.底面直徑為0.01 m,高為1.8 m的圓柱體

D.底面直徑為1.2 m,高為0.01 m的圓柱體

【答案】ABD

【評(píng)析】此命題把多面體與旋轉(zhuǎn)體之間的位置關(guān)系以此角度巧妙挖掘展示,新穎別致,用數(shù)字說話.

3.核心模塊

新高考數(shù)學(xué)試卷均在核心模塊中挖掘,突出數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)特征,上述表三統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)說明了這一點(diǎn).

四、新高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考建議

自2020年起,新高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷逐步按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的高考評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行,從評(píng)價(jià)指導(dǎo)思想,評(píng)價(jià)內(nèi)容,評(píng)價(jià)題型,命題情境等方面形成規(guī)范,以檢測(cè)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力為先,數(shù)學(xué)主干核心知識(shí)保持穩(wěn)定,在現(xiàn)實(shí)、科學(xué)、數(shù)學(xué)情境中深入挖掘數(shù)學(xué)模型,突出通過快速閱讀來理解問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),通過數(shù)字運(yùn)算來解決問題模型,通過等價(jià)轉(zhuǎn)化實(shí)現(xiàn)復(fù)雜情境向簡(jiǎn)單情境的轉(zhuǎn)化.

1.牢牢抓住核心主干知識(shí)模塊

(1)數(shù)學(xué)核心主干知識(shí)模塊復(fù)習(xí)重在基本概念、基本方法、基本思想的訓(xùn)練,任何復(fù)雜情境和綜合性問題最終落腳點(diǎn)都是上述三基;

(2)數(shù)學(xué)經(jīng)典問題是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的根,選擇好的母題,通過變式推進(jìn)將核心知識(shí)點(diǎn)展開,覆蓋相關(guān)知識(shí),形成知識(shí)模塊;

(3)在核心主干知識(shí)中增加開放性命題訓(xùn)練,推進(jìn)深度學(xué)習(xí).

2.現(xiàn)實(shí)情境科學(xué)情境抓住模型

(1)現(xiàn)實(shí)情境訓(xùn)練強(qiáng)化三關(guān),即事理關(guān),明白問題中現(xiàn)實(shí)情境說了一件什么事,學(xué)會(huì)建模分析;文理關(guān),即閱讀理解關(guān),一般現(xiàn)實(shí)情境的文字閱讀量都比較大,通過閱讀找出關(guān)鍵詞和關(guān)鍵句,并理解其意義;數(shù)理關(guān),對(duì)建立的數(shù)學(xué)模型,會(huì)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解;

(2)科學(xué)情境挖掘數(shù)學(xué)模型,一般科學(xué)情境涉及到多學(xué)科知識(shí)綜合,通常給出即時(shí)定義,只有快速理解情境中的學(xué)科知識(shí)的即時(shí)定義,才能準(zhǔn)確建立起數(shù)學(xué)模型,此類訓(xùn)練是必須的.

3.關(guān)注運(yùn)算和轉(zhuǎn)化力軟肋訓(xùn)練

(1)解決數(shù)學(xué)問題離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算,特別是分?jǐn)?shù)、分式運(yùn)算,解方程,解不等式,三角運(yùn)算,向量運(yùn)算,導(dǎo)數(shù)運(yùn)算等,運(yùn)算軟肋是導(dǎo)致問題求解失敗的第一殺手;

(2)復(fù)雜問題分解為簡(jiǎn)單問題離不開等價(jià)轉(zhuǎn)化,特別是函數(shù)性質(zhì)的等價(jià)轉(zhuǎn)化.