黃 雨 顧 飛

(安徽淮南第二中學)

通過對2023年四省聯考第16題的分析,確立對邏輯推理問題的有效解法.本次四省聯考體現了新高考的大方向,突出數學學科在新高考中的選拔功能.

一、真題再現

【例題】如圖為一個開關陣列,每個開關只有“開”和“關”兩種狀態(tài),按其中一個開關1次,將導致自身和所有相鄰的開關改變狀態(tài).例如,按(2,2)將導致(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2)改變狀態(tài).如果要求只改變(1,1)的狀態(tài),則需按開關的最少次數為________.

(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)

【解析】筆者查閱了網上的各種解法,大多比較拖沓冗長,難以理解,更有人說是大學的布爾代數理論,但筆者認為,并沒有這么高深.下面筆者采用圖表法,輕松搞定.

有兩個關鍵點要明確:

(1)每個開關最多按一次,因為按偶數次和不按是一樣的,按奇數次和按一次是一樣的,要想按開關次數最少,則開關最多按一次.把開關按一次記為灰色(如圖1中,(1,1),(1,2)),不按不變色.

(2)如果一個開關自身和相鄰的開關灰色的個數為奇數個,則開關改變(如圖1中,(2,1),(2,2),(1,3)),如果為偶數個,則開關不改變(如圖1,(1,1),(1,2)).

圖1

明確了上面兩個關鍵點,下面開始分析:

1.首先分析(1,1)要不要按,與它相鄰的(含自身)有三個開關,分別是(1,1),(1,2),(2,1),根據對稱性,要么只按(1,1),要么三個都按,按其他的兩個對(1,1)沒有影響.

2.如果三個都按,如圖2(1),顯然(1,1),(1,3),(3,1)改變,其他都不變,要想(1,3)不變,只有按(2,3),如圖2(2).此時(2,2)變了,若要其不變,只有按(3,2),如圖2(3),此時(2,3),(3,2)改變,行不通.

圖2(2)

圖2(3)

3.如果只按(1,1),如圖3(1),顯然(1,1),(1,2),(2,1)都變了,若要(1,2)不變,則按(1,3),如圖3(2),此時(1,3),(2,3)變了.若要(1,3),(2,3)不變,則需按(2,3),同理,若要(2,1)不變,根據對稱性需要按(3,1),(3,2),如圖3(3),滿足條件.故最少5次.

圖3(1)

圖3(2)

圖3(3)

二、題后思考

(1)這題考查了什么?

(2)學生如何才能把問題等價轉換成上述兩個關鍵點?

(3)既然是四省適應性考試,這題具有怎樣的方向性?

若要回答上述問題,我們還是來仔細閱讀《中國高考評價體系》.《中國高考評價體系》明確了“一核”“四層”“四翼”的概念及其內涵,回答了“為什么考”,“考什么”,“怎么考”的問題.

1.從“四翼”來看

“四翼”為考查要求,即“基礎性、綜合性、應用性、創(chuàng)新性”,回答了“怎么考”的問題.高考關注與創(chuàng)新密切相關的能力和素養(yǎng),考查學生探索新方法、積極主動解決問題的能力,鼓勵學生擺脫思維定式的束縛,勇于大膽創(chuàng)新.

本題以真實情境為背景,通過考查對開關變化規(guī)律的分析,探索題目中所隱藏的規(guī)律性,大膽創(chuàng)新解決問題的方法,符合高考對創(chuàng)新性的考查.

2.從“四層”來看

“四層”為考查內容,即“核心價值、學科素養(yǎng)、關鍵能力、必備知識”,回答了“考什么”的問題.必備知識的積累是形成關鍵能力和學科素養(yǎng)的基礎,關鍵能力是以必備知識的學習探究為載體培養(yǎng)出來的.

本題考查了命題與邏輯推理等必備知識,以及數學學科的多項關鍵能力.第一、信息識別與獲取的能力,根據問題情境的需要對開關陣列進行加工處理,分析其變化內容.第二、數學抽象與概括能力,對開關變化產生的規(guī)律進行總結,等價轉化成圖形特征.第三、邏輯推理與論證能力,通過對(1,1)開關的討論,分析出最優(yōu)的設計方案.

3.從“一核”來看

“一核”為考查目的,即“立德樹人、服務選才、引導教學”,回答了“為什么考”的問題.本題為四省適應性訓練,參照新高考的要求,加入復雜情境,突出數學思維方法,強調育人價值,故對我們今后的教學和學習指出了方向——全面落實立德樹人要求,深化數學學科育人價值.

三、延伸應用

【例題】某學校舉辦數學競賽,A,B,C,D,E五位同學得到了前五名.發(fā)獎前,老師讓他們自己猜一猜各人的名次排列情況.

A說:B第三名,C第五名;

B說:E第四名,D第五名;

C說:A第一名,E第四名;

D說:C第一名,B第二名;

E說:A第三名,D第四名.

老師說,每個名次都有人猜對,問這五位同學的名次如何?

【解析】因為關系很多,比較散亂,我們還是通過列表的方式解決,把相關信息列成圖表如圖4(1).

圖4(1)

首先明確:正確的涂灰色,錯誤不涂色,如圖4(2).

圖4(2)

由題意,每個名次都有人猜對,所以由表可知,第四名為E?第五名為D?第一名為C?第三名為A?第二名為B.

【點評】將獲取的信息進行加工,通過等價轉化,將信息表格化,這樣能直觀地分析出相互之間的邏輯關系.

【變式】一次考試共考了語文、英語、數學、物理和化學五科,每科滿分5分(等級分),其余等級依次為4,3,2,1.已知某5個學生按總分由多到少的名次排列是A,B,C,D,E,且滿足下列條件:

①在同一科目中及總分中沒有得到同樣分數的人;

②A的總分是24分;

③C有四門得到相同分數;

④E的物理得5分,語文得3分;

⑤D的化學得4分.

試求出題中未直接給出的每人的其他各科成績.

【解析】根據題意把信息列成表格,如圖5(1),根據圖表信息進行填充.

圖5(1)

A總分為24分,滿分是25分,所以只有一門是4分,只能是物理,如圖5(2)灰色部分.

C有四門分數相同,且總分在第三名位置,只能是3分,且為后四門,如圖5(2)灰色部分.

B的總分在第二的位置,故前三門為4分,如圖5(2)灰色部分.

圖5(2)

根據總分的排序,D的英語、數學只能是2分,E的外語、數學只能是1分,如圖5(3)灰色部分.

圖5(3)

E的化學只能是1分,如果是2分,D最大只能和E相同,矛盾,故E的化學只能是1分,那么D的語文、物理都是2分,剩下的直接填涂,如圖5(4)灰色部分.

圖5(4)

【點評】當信息量很大時,通常使用圖表的方法,能夠直觀的把關鍵性信息呈現出來,通過對圖表內信息的篩選來確定邏輯推理的方向.從本質上講即是:收集信息→提煉信息→等價轉化→合理推斷→得到結果.

本次四省適應性考試指出了高考的大方向,通過設置復雜情境問題,考查數學思維方法,突出數學學科在新高考中的選拔功能.常規(guī)的刷題和模型化的學習已經不再適應新高考的要求,要深入理解數學知識本質,經歷知識發(fā)生發(fā)展的過程,這樣才能避免因為復雜情境問題而產生的困境.

本文系2021年度安徽省教育科學研究項目“基于數學實驗課程建設下的高中生數學學習品質的培養(yǎng)與評價研究”的研究成果,項目編號為JK21099.