馬巧云　曹潔　曹殿立

［摘 要］課程思政是近年來(lái)高校落實(shí)立德樹(shù)人，實(shí)現(xiàn)融合知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)和價(jià)值塑造于一體的重要舉措。線性代數(shù)課是為高校本科低年級(jí)學(xué)生開(kāi)設(shè)的公共基礎(chǔ)課，根據(jù)課程思政的要求對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行重塑，對(duì)課程思政元素進(jìn)行挖掘，以及加強(qiáng)課程教材和線上教學(xué)資源的建設(shè)，不僅提升了授課教師的思政意識(shí)與能力，也提升了學(xué)生的綜合素質(zhì)，并為線性代數(shù)課程思政的持續(xù)開(kāi)展打好了基礎(chǔ)。

［關(guān)鍵詞］線性代數(shù)；課程思政；教學(xué)目標(biāo)；思政元素；課程資源

［中圖分類(lèi)號(hào)］ G642.3 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 2095-3437（2023）07-0118-04

課程思政是在“三全育人”模式指導(dǎo)下，使得各類(lèi)課程與思想政治理論課同向同行，從而實(shí)施協(xié)同育人的綜合教育理念[1]。高校實(shí)施課程思政是落實(shí)立德樹(shù)人的重要抓手，是高等學(xué)校理性教育價(jià)值回歸、進(jìn)步與升華的重要體現(xiàn)[2]，同時(shí)也是解決“培養(yǎng)什么人、怎樣培養(yǎng)人、為誰(shuí)培養(yǎng)人”這一教育根本問(wèn)題的關(guān)鍵。

線性代數(shù)課是高校本科低年級(jí)開(kāi)設(shè)的一門(mén)數(shù)學(xué)類(lèi)公共基礎(chǔ)課，上課人數(shù)多，涉及專(zhuān)業(yè)也多。一方面，作為授課對(duì)象的高校本科低年級(jí)學(xué)生，正處于探究知識(shí)和形成世界觀的關(guān)鍵時(shí)期，一般也比較重視線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)。在線性代數(shù)課程資源建設(shè)中融入課程思政，可以起到潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲作用，從而積極引領(lǐng)學(xué)生的價(jià)值觀塑造。另一方面，從教師角度看，很多數(shù)學(xué)教師都有線性代數(shù)課程的授課經(jīng)驗(yàn)，在線性代數(shù)課程資源建設(shè)過(guò)程中方便凝結(jié)集體智慧。

經(jīng)過(guò)近些年對(duì)線性代數(shù)課程思政的探索，河南農(nóng)業(yè)大學(xué)線性代數(shù)課程組依托線性代數(shù)在線開(kāi)放課程的教材建設(shè)和平臺(tái)建設(shè)，明確課程思政背景下的教學(xué)目標(biāo)，挖掘線性代數(shù)課程的思政元素，建立融思政元素與教學(xué)知識(shí)點(diǎn)于一體的課程教材知識(shí)體系，修訂完善教材和加強(qiáng)線上教學(xué)資源建設(shè)，極大提升了課程組教師的思政意識(shí)與教學(xué)能力，也讓學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)理論知識(shí)、培養(yǎng)問(wèn)題解決能力的同時(shí)提升了思想政治素質(zhì)。

一、課程思政背景下的線性代數(shù)課程教學(xué)目標(biāo)

線性代數(shù)是以矩陣為工具研究有限維線性空間和線性變換的分支，在當(dāng)今科技發(fā)展中有著廣泛的應(yīng)用，如Google搜索引擎、隱形飛機(jī)的設(shè)計(jì)、圖像處理、通信編碼等。瑞典數(shù)學(xué)家L.戈丁認(rèn)為，如果不熟悉線性代數(shù)的概念， 要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)， 現(xiàn)在看來(lái)就和文盲差不多 [3]。

線性代數(shù)課程要求學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)能了解課程的地位和性質(zhì)；掌握線性代數(shù)的基本概念、基本理論和基本方法；具有一定的科學(xué)計(jì)算能力、邏輯思維能力和空間想象能力，能用矩陣工具分析和解決一些實(shí)際問(wèn)題；增強(qiáng)自主學(xué)習(xí)的能力和責(zé)任意識(shí)，能用正確的價(jià)值觀看待事物，樹(shù)立科學(xué)報(bào)國(guó)的信心和決心。具體地講，課程組將課程思政背景下的線性代數(shù)課程教學(xué)目標(biāo)分解為知識(shí)傳授目標(biāo)、能力培養(yǎng)目標(biāo)和價(jià)值引領(lǐng)目標(biāo)。

（一）知識(shí)傳授目標(biāo)

該目標(biāo)要求學(xué)生了解線性代數(shù)課程的地位和性質(zhì)，熟練掌握行列式和矩陣的基本運(yùn)算方法，理解用矩陣工具解決問(wèn)題的思路，能熟練地運(yùn)用矩陣方法解決線性方程組的求解、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型等問(wèn)題。其主要內(nèi)容包括以下5個(gè)方面：（1）行列式的定義、性質(zhì)、計(jì)算和克萊姆法則。（2）矩陣的加法、數(shù)乘、轉(zhuǎn)置、乘法運(yùn)算，初等變換，秩和逆。（3）線性方程組求解的消元法、向量組線性關(guān)系和解的結(jié)構(gòu)。（4）矩陣的特征值、特征向量與相似對(duì)角化。（5）向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化、二次型化標(biāo)準(zhǔn)型和正定性判定。

（二）能力培養(yǎng)目標(biāo)

該目標(biāo)旨在培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力、嚴(yán)密的邏輯思維能力、抽象的空間想象能力、較強(qiáng)的自主學(xué)習(xí)能力以及綜合運(yùn)用該課程的知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力。（1）通過(guò)對(duì)行列式、矩陣、線性方程組、特征值和特征向量、二次型化標(biāo)準(zhǔn)型和二次型的正定等計(jì)算過(guò)程的反復(fù)練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力。（2）結(jié)合向量組線性相關(guān)性、秩和初等變換的性質(zhì)對(duì)相關(guān)結(jié)論證明的訓(xùn)練，提升學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力。（3）借助二維、三維的幾何直觀，建立n維向量空間和n元線性方程組解空間的概念，培養(yǎng)學(xué)生抽象的空間想象能力和公理化思維能力。（4）借助圖書(shū)館和網(wǎng)絡(luò)資源，使學(xué)生能夠通過(guò)自主查閱書(shū)刊、利用相關(guān)學(xué)習(xí)網(wǎng)站資源、參與論壇交流等渠道深入學(xué)習(xí)線性代數(shù)，進(jìn)而了解線性代數(shù)與當(dāng)今科技發(fā)展的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣和能力。（5）借鑒全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的經(jīng)驗(yàn)，選取諸如投入產(chǎn)出問(wèn)題、種群年齡結(jié)構(gòu)預(yù)測(cè)、網(wǎng)絡(luò)流問(wèn)題、線性規(guī)劃問(wèn)題、密碼破譯等問(wèn)題積極開(kāi)展數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力。

（三）價(jià)值引領(lǐng)目標(biāo)

價(jià)值引領(lǐng)目標(biāo)旨在提升學(xué)生的思想政治素質(zhì)，培育正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀。（1）結(jié)合課程發(fā)展史和科技時(shí)訊，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)祖國(guó)文化和國(guó)情的了解，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷，增強(qiáng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)信念以及科學(xué)報(bào)國(guó)的信念和信心。（2）結(jié)合科學(xué)家故事、課程對(duì)準(zhǔn)確計(jì)算和嚴(yán)密論證的訓(xùn)練以及課程的應(yīng)用探究，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ鲬B(tài)度和自主學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生的責(zé)任意識(shí)和追求卓越的精神。（3）結(jié)合課程知識(shí)本身所蘊(yùn)含的哲學(xué)原理，引導(dǎo)學(xué)生掌握辯證唯物主義的觀點(diǎn)和方法。通過(guò)對(duì)事物是什么、為什么、如何用這一系列問(wèn)題的思考，在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的模式引導(dǎo)下，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)和正確的世界觀。

二、線性代數(shù)課程思政元素的挖掘

（一）挖掘課程中的思政元素，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信和民族自豪感

線性方程組理論不僅是線性代數(shù)的核心，而且是中華文明的非凡成就之一。早在東漢初年成書(shū)的《九章算術(shù)》，匯集了我國(guó)先秦、秦朝及漢朝的重大數(shù)學(xué)成果。公元263年，劉徽作注附于此書(shū)，第八章“方程”列出了從二元到六元線性方程組對(duì)應(yīng)的18個(gè)實(shí)際問(wèn)題及其解答。其對(duì)方程組的表示采用把系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)放在固定位置構(gòu)成籌算圖，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣表示；求解使用籌算的遍乘和直除，對(duì)應(yīng)現(xiàn)在用方程組理論中對(duì)増廣矩陣的行施行倍法變換和消法變換；解方程組的目標(biāo)對(duì)應(yīng)化上三角形。而在西方，直到17世紀(jì)才有萊布尼茲開(kāi)始對(duì)線性方程組的研究。盡管?chē)?guó)際上習(xí)慣把方程組的求解方法稱(chēng)為高斯消元法，但從歷史上看，中國(guó)人在線性方程組求解方面起碼領(lǐng)先于歐洲一千多年，已有學(xué)者研究證明高斯消元法本質(zhì)上就是中國(guó)古法[4-5]。

中國(guó)古法籌算和求解體現(xiàn)出先輩的高超智慧，卻按國(guó)際習(xí)慣被稱(chēng)為高斯消元法，這不僅可激發(fā)學(xué)生對(duì)科學(xué)的探究欲望，進(jìn)而深刻理解和掌握線性方程組的解法，而且可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的認(rèn)可，提升文化自信和民族自豪感。

（二）挖掘古今中外數(shù)學(xué)家的故事，增強(qiáng)學(xué)生科學(xué)報(bào)國(guó)的信念，培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)秀品格

在“代數(shù)”一詞問(wèn)世前，同一概念在中國(guó)被稱(chēng)為“阿爾熱巴拉”，它是清朝西方來(lái)華傳教士對(duì)拉丁文“algebra”的漢語(yǔ)音譯。1859年，李善蘭首次將“algebra”譯成“代數(shù)”，意思是“以符號(hào)代替數(shù)字”。李善蘭在翻譯《幾何原本》《代數(shù)學(xué)》《代微積拾級(jí)》《談天》《重學(xué)》《圓錐曲線說(shuō)》《植物學(xué)》等西方近代科學(xué)著作中創(chuàng)造的許多科學(xué)名詞，如代數(shù)、常數(shù)、函數(shù)、方程、微分、積分、級(jí)數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、植物、細(xì)胞等，都廣為流傳，沿用至今。

李善蘭自幼酷愛(ài)數(shù)學(xué)，自學(xué)了《九章算術(shù)》、徐光啟參與翻譯的《幾何原本》前6卷、李冶的《測(cè)圓海鏡》和戴震的《勾股割圓記》等數(shù)學(xué)相關(guān)著作，有較高的數(shù)學(xué)水平。鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)爆發(fā)后，面對(duì)中國(guó)的落后和帝國(guó)列強(qiáng)的欺凌，李善蘭萌生了科學(xué)救國(guó)思想，并發(fā)出慨嘆：?jiǎn)韬?！今歐羅巴各國(guó)日益強(qiáng)盛，為中國(guó)邊患。推原其故，制器精也，推原制器之精，算學(xué)明也。異日（中國(guó)）人人習(xí)算，制器日精，以威海外各國(guó)，令震懾，奉朝貢。從此，他全身心投入科學(xué)研究，在尖錐術(shù)、垛積術(shù)和素?cái)?shù)論方面取得卓越成就，并著有《方圓闡幽》《弧矢啟秘》《對(duì)數(shù)探源》《四元解》《麟德術(shù)解》等著作。其中，尖錐術(shù)創(chuàng)立于1845年，那時(shí)西方解析幾何和微積分還沒(méi)傳入中國(guó)，尖錐曲線相當(dāng)于處理代數(shù)問(wèn)題的幾何模型，其實(shí)質(zhì)是直線、拋物線、立方拋物線等的方程問(wèn)題；尖錐求積術(shù)相當(dāng)于冪函數(shù)的定積分公式和逐項(xiàng)積分法則；結(jié)合尖錐求積術(shù)，還得到了π的無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá)式，各種三角函數(shù)和反三角函數(shù)的展開(kāi)式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式等。垛積術(shù)從中國(guó)傳統(tǒng)的垛積問(wèn)題出發(fā)，主要研究高階等差數(shù)列的求和問(wèn)題，提出了馳名中外的李善蘭恒等式。素?cái)?shù)論研究自然數(shù)是否為素?cái)?shù)的判別法，包括屢乘求一法、天元求一法、小數(shù)回還法和準(zhǔn)根分級(jí)法等，證明了費(fèi)馬素?cái)?shù)定理，并指出其逆不真。

李善蘭恒等式是中國(guó)近代史上唯一一個(gè)以中國(guó)人名字命名的數(shù)學(xué)公式[6]。有趣的是李善蘭恒等式是總結(jié)歸納出來(lái)的，當(dāng)時(shí)沒(méi)有給出證明。20世紀(jì)30年代起，李善蘭恒等式不斷引起數(shù)學(xué)界的廣泛興趣并進(jìn)行補(bǔ)正。1954年，匈牙利數(shù)學(xué)家圖蘭·帕爾來(lái)華訪問(wèn)，在報(bào)告李善蘭恒等式的證明時(shí)，坐在臺(tái)下的華羅庚面對(duì)中國(guó)人發(fā)現(xiàn)的定理而證明人卻不是中國(guó)人時(shí)感觸很深，當(dāng)晚回去后就開(kāi)始挑燈夜戰(zhàn)、冥思苦想，終于趕在圖蘭·帕爾離華前給出李善蘭恒等式的另一證明[7]。

李善蘭、華羅庚在數(shù)學(xué)上做出的杰出貢獻(xiàn)和他們強(qiáng)烈的科學(xué)報(bào)國(guó)意識(shí)，都為后人樹(shù)立了榜樣。教師在引導(dǎo)學(xué)生為數(shù)學(xué)家感到驕傲和自豪的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)不能忘記華羅庚對(duì)我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的囑托——既要有雄心壯志，又要有持久的熱誠(chéng)，還要有應(yīng)用所學(xué)知識(shí)服務(wù)于人民的意識(shí)。

此外，教師在線性代數(shù)課程教學(xué)中針對(duì)高階線性方程組計(jì)算量較大的問(wèn)題，一方面鼓勵(lì)學(xué)生用計(jì)算機(jī)軟件求解，培養(yǎng)學(xué)生享受新技術(shù)帶來(lái)便利的感恩意識(shí)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生報(bào)效祖國(guó)的斗志；另一方面講述陳景潤(rùn)攻克哥德巴赫猜想時(shí)產(chǎn)生了一麻袋一麻袋的草稿紙的故事，激勵(lì)學(xué)生鍥而不舍地認(rèn)真求學(xué)。針對(duì)矩陣變換過(guò)程易出錯(cuò)這一問(wèn)題，教師在強(qiáng)調(diào)要培養(yǎng)認(rèn)真細(xì)致態(tài)度的同時(shí)，引出埃尼獎(jiǎng)獲得者王中林院士的感言：“有時(shí)候你摔了一跤，但絆倒你的很可能不是磚頭，而是一塊金子?！币源斯膭?lì)學(xué)生正確面對(duì)挫折和失敗，培養(yǎng)求真務(wù)實(shí)、認(rèn)真細(xì)致的好習(xí)慣。

（三）引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)課程知識(shí)蘊(yùn)含的哲理以及掌握辯證唯物主義觀點(diǎn)和方法

線性代數(shù)課程的很多知識(shí)點(diǎn)都體現(xiàn)了一定的哲理，如矩陣的可逆與不可逆、滿秩矩陣與降秩矩陣、非退化矩陣與退化矩陣、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)、線性方程組有解與無(wú)解、二次型正定與非正定等，這些非此即彼、互為矛盾的概念很好地體現(xiàn)了馬克思主義哲學(xué)原理中的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律。教師引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題時(shí)，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)用全面的觀點(diǎn)看問(wèn)題、一分為二地看問(wèn)題；在生活中要敢于正視矛盾，在解決矛盾時(shí)要善于抓住主要矛盾，但也不忽視次要矛盾。

行列式和n維向量空間的課程內(nèi)容很好地反映了科學(xué)認(rèn)識(shí)事物的兩個(gè)階段：從具體到抽象，再?gòu)某橄蟮骄唧w。首先，從二階三階行列式到n階行列式的建立，從二維三維向量空間到n維向量空間的定義，都是從感性的具體尋找其共性特征，進(jìn)行公理化抽象，進(jìn)而在思維中建構(gòu)出一個(gè)理想化模型。這是哲學(xué)認(rèn)識(shí)論中從感性的具體到理性的抽象過(guò)程，而科學(xué)的認(rèn)識(shí)論還要求把理性的抽象再次上升到理性的具體，回歸到行列式和向量空間的相關(guān)內(nèi)容。教師要引導(dǎo)學(xué)生理解我們正是在建立其一般定義的基礎(chǔ)上探究其具體性質(zhì)，以真正認(rèn)識(shí)和掌握這些概念，然后再探究其應(yīng)用問(wèn)題。

矩陣的初等變換是線性方程組求解和化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的重要工具，在應(yīng)用矩陣初等變換解決問(wèn)題過(guò)程中，矩陣的形式在不斷發(fā)生變化，但矩陣的秩是不變的，且可以借助矩陣的秩來(lái)研究矩陣的等價(jià)、線性方程組解的判定及二次型標(biāo)準(zhǔn)型的判定等問(wèn)題。這很好地揭示了唯物辯證法中變與不變的關(guān)系：變是絕對(duì)的，但變中總會(huì)有不變的規(guī)律，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是關(guān)鍵。教師要引導(dǎo)學(xué)生明白，人們?cè)谏钪忻鎸?duì)變化時(shí)往往會(huì)不知所措，如果掌握了變和不變的辯證法，就可以冷靜處事，積極尋找事物發(fā)展變化的規(guī)律性，幫助解決變化中的問(wèn)題。

（四）挖掘課程知識(shí)在科技前沿和現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用案例，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，矩陣的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。密碼學(xué)是由矩陣的乘法、求逆和線性變換發(fā)展而來(lái)的；5G通信編碼技術(shù)的極化碼本質(zhì)上也等同于矩陣乘法；隱形飛機(jī)的設(shè)計(jì)、手機(jī)電磁輻射評(píng)估所用到的麥克斯韋方程，最終都可歸結(jié)為大規(guī)模線性方程組的求解問(wèn)題；圖像壓縮處理則是通過(guò)將每個(gè)像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)灰度數(shù)字，將整張圖片以矩陣形式表示出來(lái)，進(jìn)而對(duì)該矩陣的特征值或奇異值進(jìn)行分解；Google搜索排序、Netflix視頻推薦、機(jī)器人中的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解等都離不開(kāi)矩陣。

教師在線性代數(shù)課程教學(xué)中不僅可以通過(guò)介紹科技前沿來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和科學(xué)探索精神，而且可以在矩陣舉例時(shí)選取特殊數(shù)字來(lái)提醒學(xué)生銘記歷史，如以數(shù)字19310918、19212021，19492049為元素構(gòu)建2行4列的矩陣，回顧九一八事變、思考中國(guó)共產(chǎn)黨的“兩個(gè)一百年”奮斗目標(biāo)等；在教學(xué)行列式這個(gè)內(nèi)容時(shí)，指出按行列式的定義法計(jì)算，即使用我國(guó)的“神威·太湖之光”超級(jí)計(jì)算機(jī)，計(jì)算一個(gè)29階行列式也需要大約5.0068萬(wàn)年的時(shí)間才能算出結(jié)果[8]。這樣，在激發(fā)學(xué)生對(duì)行列式性質(zhì)和其他計(jì)算方法探究興趣的同時(shí)，也引導(dǎo)學(xué)生了解我國(guó)超級(jí)計(jì)算機(jī)的發(fā)展從跟跑到領(lǐng)跑的跨越，弘揚(yáng)科學(xué)精神和增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情懷。

三、基于課程思政的線性代數(shù)課程資源建設(shè)途徑

（一）遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、精選思政育人材料加強(qiáng)教材建設(shè)

基于線性代數(shù)課程教學(xué)目標(biāo)及其高度抽象性導(dǎo)致學(xué)習(xí)困難的考慮，很多教學(xué)團(tuán)隊(duì)對(duì)其課程內(nèi)容體系結(jié)構(gòu)進(jìn)行了探索，主要有以下四種類(lèi)型。第一種類(lèi)型：從直觀易學(xué)的矩陣出發(fā)，引入行列式和矩陣的初等變換；再以矩陣的秩討論線性方程組解的判定、向量組的線性相關(guān)性，建立線性方程組解的結(jié)構(gòu)，最后討論相似矩陣和二次型。第二種類(lèi)型：從線性方程組的求解這一根本問(wèn)題出發(fā)，引入行列式、矩陣及向量組的線性相關(guān)性，進(jìn)而研究線性方程組解的判定、解的結(jié)構(gòu)、相似矩陣和二次型。這種類(lèi)型的內(nèi)容體系強(qiáng)調(diào)從問(wèn)題出發(fā)，突出其應(yīng)用。第三種類(lèi)型：以線性空間和線性映射為主線，將行列式和矩陣作為工具討論線性方程組的求解和二次型的應(yīng)用。這種體系結(jié)構(gòu)多見(jiàn)于重點(diǎn)高校，重在突出代數(shù)思想，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。第四種類(lèi)型：從行列式和矩陣的定義出發(fā)討論其性質(zhì)和計(jì)算，再給出矩陣的初等變換和矩陣的秩，進(jìn)而討論向量組的線性相關(guān)性和線性方程組解的結(jié)構(gòu)，最后研究相似矩陣和二次型。這種類(lèi)型的特點(diǎn)是在邏輯嚴(yán)密的基礎(chǔ)上將難點(diǎn)分散，便于學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)。

從現(xiàn)有的線性代數(shù)課程內(nèi)容體系結(jié)構(gòu)和筆者長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，上述四種類(lèi)型的內(nèi)容體系均能有助于完成課程培養(yǎng)目標(biāo)，但考慮到需要課程內(nèi)容易懂、易教和易學(xué)，課程組更傾向于采用第四種對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行以下安排：第1章行列式，從二元、三元線性方程組的公式解，引出二階、三階行列式，再通過(guò)排列的逆序定義分析二階、三階行列式的特征，建立n階行列式的定義，進(jìn)而討論n階行列式的性質(zhì)和計(jì)算；第2章矩陣及其運(yùn)算，主要介紹矩陣的運(yùn)算，包括矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置和逆運(yùn)算等；第3章矩陣的初等變換，在回顧線性方程組消元法求解基礎(chǔ)上引入矩陣的初等變換，定義初等矩陣和矩陣的秩；第4章線性方程組，一方面利用矩陣的初等變換和秩討論線性方程組的求解和解的判定，另一方面通過(guò)向量組的線性相關(guān)性研究線性方程組解的結(jié)構(gòu)；第5章矩陣的相似變換，主要利用行列式、矩陣和向量組的線性相關(guān)性討論方陣的對(duì)角化問(wèn)題；第6章二次型，主要研究二次型化標(biāo)準(zhǔn)型的方法和二次型正定性的判定。

與此同時(shí)，課程組結(jié)合對(duì)課程思政元素挖掘的研究成果，在序章安排初識(shí)線性代數(shù)、學(xué)好線性代數(shù)和請(qǐng)珍惜我們這個(gè)偉大的時(shí)代三部分內(nèi)容，并在每章的最后附有課外閱讀材料，包括華羅庚談數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、李善蘭與李善蘭恒等式、《九章算術(shù)》與矩陣、祖率與[π]、華羅庚與線性方程組、陳景潤(rùn)與哥德巴赫猜想、從《數(shù)書(shū)九章》到伽羅華理論等。課程組所編的線性代數(shù)教材已由中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社出版[9]。

（二）有效利用線上教學(xué)平臺(tái)，優(yōu)化線性代數(shù)的在線育人功能

隨著混合式教學(xué)模式的推進(jìn)，線性代數(shù)課程的線上教學(xué)平臺(tái)可選用愛(ài)課程網(wǎng)站上自建的SPOC（small private online course，小規(guī)模限制性在線課程）。課程首頁(yè)設(shè)置了課程概述、課程大綱和成績(jī)要求等，學(xué)生登錄課程后可以看到公告、課件、視頻、閱讀材料、作業(yè)、測(cè)試和討論區(qū)等內(nèi)容。教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生可以通過(guò)閱讀公告，在學(xué)習(xí)清單引導(dǎo)下按時(shí)間點(diǎn)要求完成視頻觀看、作業(yè)及測(cè)試并參加討論。所有講授線性代數(shù)課程的教師都在SPOC平臺(tái)下建有以線下課堂班級(jí)為單元的慕課堂。通過(guò)慕課堂管理模塊，教師可以及時(shí)掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，包括學(xué)生在線觀看視頻、完成練習(xí)情況以及線下課堂的考勤情況、回答問(wèn)題情況等，并通過(guò)線上備課活動(dòng)等形式開(kāi)展個(gè)性化教學(xué)。

線上課件、視頻是課程知識(shí)傳授的主要載體，視頻講解采用畫(huà)龍點(diǎn)睛式和隱性滲透式的方法開(kāi)展課程思政，課件文檔不斷增加閱讀材料和相關(guān)鏈接，除已有李善蘭與李善蘭恒等式、《九章算術(shù)》與矩陣等資料外，還重點(diǎn)增加了線性代數(shù)在農(nóng)業(yè)科學(xué)中的應(yīng)用系列，包括矩陣的應(yīng)用、密碼學(xué)中的編碼與解碼、投入產(chǎn)出問(wèn)題、農(nóng)業(yè)發(fā)展與環(huán)境污染增長(zhǎng)模型、萊斯利種群模型等。合理利用網(wǎng)絡(luò)資源，特別是一些結(jié)合科技前沿和新聞資訊等的實(shí)時(shí)性相關(guān)資源，不僅有利于實(shí)現(xiàn)專(zhuān)業(yè)教學(xué)與課程思政的同向同行，而且可以很好地體現(xiàn)教師認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度和率先垂范的優(yōu)秀品格，起到協(xié)同育人的效果。

課程思政是當(dāng)今高校持續(xù)進(jìn)行的一項(xiàng)重要工作，課程思政元素的挖掘、課程相關(guān)教材和教學(xué)平臺(tái)的建設(shè)、教師的教學(xué)藝術(shù)缺一不可。課程組雖然已經(jīng)做了大量線性代數(shù)課程思政相關(guān)資源的建設(shè)工作，出版了教材，自建了SPOC，開(kāi)展了線上線下混合式教學(xué)的探究等，但如何用好這些資源，真正有效地開(kāi)展線性代數(shù)課程思政，還需要授課教師在教學(xué)中不斷思考與探索，進(jìn)一步提升開(kāi)展課程思政的親和力和說(shuō)服力，在向?qū)W生傳授專(zhuān)業(yè)知識(shí)的同時(shí)，完成好新時(shí)代立德樹(shù)人的根本任務(wù)，提升育人質(zhì)量。

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 習(xí)近平. 習(xí)近平談治國(guó)理政：第二卷[M].北京：外文出版社，2017.

[2] 劉三明.將思政教育融入應(yīng)用工程數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的探索[J].教育教學(xué)論壇，2020（22）：346-347.

[3] L.戈丁.數(shù)學(xué)概觀[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[4] 劉洪元.高斯消元法是中國(guó)古法[J].沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2003（1）：56-58.

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[7] 王樹(shù)和. 數(shù)學(xué)聊齋[M]. 普及版.北京：科學(xué)出版社，2004.

[8] 楊威，陳懷琛，劉三陽(yáng)，等.大學(xué)數(shù)學(xué)類(lèi)課程思政探索與實(shí)踐：以西安電子科技大學(xué)線性代數(shù)教學(xué)為例[J].大學(xué)教育，2020（3）：77-79.

[9] 曹殿立，馬巧云. 線性代數(shù)[M]. 2版.北京：中國(guó)農(nóng)業(yè)出版社，2020.

［責(zé)任編輯：龐丹丹］