徐璐

［摘 要］《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中多次提出要感悟運算的一致性，強調(diào)運算的一致性不僅有利于學(xué)生整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的主線，主動架構(gòu)知識框架，還有利于學(xué)生知識遷移、內(nèi)化方法，自主提升運算素養(yǎng)。文章以“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的教學(xué)為例，探究感悟運算一致性的落實策略，即從算式到圖形，數(shù)形結(jié)合感悟算理；從特殊到一般，激發(fā)認(rèn)知沖突，厘清運算本質(zhì)；從舊知到新知，對比內(nèi)化打通算法。

［關(guān)鍵詞］運算的一致性；分?jǐn)?shù)除法；計數(shù)單位；核心素養(yǎng)

［中圖分類號］ G623.5［文獻標(biāo)識碼］ A［文章編號］ 1007-9068（2023）14-0059-04

在研讀《義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下稱“新課標(biāo)”）中發(fā)現(xiàn)，“數(shù)的運算的一致性”是新課標(biāo)中的一個高頻詞匯，新課標(biāo)從學(xué)段目標(biāo)到課程內(nèi)容、內(nèi)容要求、教學(xué)提示、學(xué)業(yè)質(zhì)量評價、課程實施要求、教材編寫要求等，多次強調(diào)感悟運算的一致性。如“通過整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的運算，進一步感悟計數(shù)單位在運算中的作用，感悟運算的一致性”。即強調(diào)教師在教學(xué)小學(xué)階段的“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域時，要讓學(xué)生感悟到不論是整數(shù)、小數(shù)還是分?jǐn)?shù)的運算，其算理和算法的本質(zhì)是相通的，都可以理解為計數(shù)單位的運算。

一、緣起：基于感悟運算的一致性教學(xué)理念價值的思考

1.有利于學(xué)生整體把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的主線，主動架構(gòu)知識框架

以蘇教版教材為例，數(shù)學(xué)知識是呈螺旋式上升的，雖然各知識之間存在聯(lián)系，教學(xué)內(nèi)容也結(jié)合學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，但是大部分學(xué)生會認(rèn)為知識是分散的。對此，教師如果在教學(xué)時能從一致性的角度引導(dǎo)學(xué)生去對比、歸納、總結(jié)，則有利于學(xué)生整體把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，通過知識的聯(lián)系主動架構(gòu)知識框架。

2.有利于學(xué)生知識遷移、內(nèi)化方法，自主培養(yǎng)運算核心素養(yǎng)

整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的除法，在學(xué)生看來是各有各的運算方法。對學(xué)生來說，光是記憶這些算法就要花費不少時間，而且在計算時還可能會搞混各種算法。那么從強調(diào)運算的一致性、統(tǒng)一算理與算法來進行教學(xué)，對提升學(xué)生的運算能力有很大的益處。

在實際的教學(xué)中如何感悟運算的一致性，落實新課標(biāo)的理念，提升學(xué)生的運算素養(yǎng)，很多教師都進行了相關(guān)的教學(xué)實踐。下面筆者就結(jié)合自身的教學(xué)實踐和理解，以“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的教學(xué)為例，談一談運算一致性的落實策略。

二、落地：基于感悟運算的一致性的教學(xué)實踐

1.教材分析

“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”是蘇教版教材六年級上冊第三單元“分?jǐn)?shù)除法”的第一課時?！胺?jǐn)?shù)除法”這個單元在小學(xué)教材中是非常重要的，一方面，它是對前面學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)乘法、整數(shù)除法、小數(shù)除法等內(nèi)容的深化和鞏固；另一方面，它是后面學(xué)習(xí)比、百分?jǐn)?shù)等知識的基礎(chǔ)。作為單元的起始課，“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的學(xué)習(xí)為本單元后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。這一課的重點在于學(xué)生要經(jīng)歷分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的探究過程，理解分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理和算法。從運算的一致性的角度出發(fā)，除法的本質(zhì)就是把計數(shù)單位的個數(shù)平均分，這樣的算理同樣適用于分?jǐn)?shù)除法，即求幾分之幾除以幾，可以理解為將幾個幾分之幾平均分成幾份，每份是多少。教師在教學(xué)時只要能引導(dǎo)學(xué)生從這個視角出發(fā)進行探究，則可以打通分?jǐn)?shù)除法與小數(shù)除法和整數(shù)除法之間的壁壘，有助于學(xué)生形成完整且統(tǒng)一的除法運算的知識結(jié)構(gòu)。

2.學(xué)情分析

根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論，六年級學(xué)生剛進入形式運算階段，已經(jīng)具備了初步的抽象思維和推理能力。結(jié)合學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，教師通過設(shè)計操作、觀察、推理等活動，是可以引導(dǎo)學(xué)生完成知識的遷移，以及對知識的內(nèi)在邏輯進行內(nèi)化和總結(jié)的。

在教學(xué)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”之前，筆者對學(xué)生進行了測試，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生更注重算法，輕視算理。有的學(xué)生通過預(yù)習(xí)已經(jīng)知道可以利用倒數(shù)的知識來算分?jǐn)?shù)除法，但是卻說不出理由。如果不明白算理，那么就很難與小數(shù)、整數(shù)的運算聯(lián)系起來，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也只能停留在表面，不利于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成。因此，教師的教學(xué)應(yīng)重在引導(dǎo)學(xué)生對算理的探究、推理與總結(jié)。

3.教學(xué)過程

【教學(xué)片段1】初探算理，感知運算的一致性

師（出示問題1：杯子里有4升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人喝多少升？）：怎么列式？為什么？

生1：4÷2=2（升）。把4升平均分成2份，求每份是多少，可以用除法計算。

師（出示問題2：杯子里有[45]升果汁，平均分給2個小朋友喝，每人喝多少升？）：怎么列式？為什么？

生2：[45]÷2。把[45]升平均分成2份，求每份是多少，還是可以用除法計算。

師：看來分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義是相同的，都是求平均分的問題。那么怎么計算[45]÷2呢？先獨立思考，再把你的想法寫在學(xué)習(xí)單（如圖1）上。

師（出示學(xué)生作品，如圖2）：說說你的想法。

生3：[45]÷2=[4÷25]=[25] 。[45]里有4個[15]，把4個[15]平均分成2份，每份是2個[15]，即[25]。

師：這是一道分?jǐn)?shù)除法，但是你算的卻是4÷2這樣的整數(shù)除法，這樣的情況在以前的學(xué)習(xí)中遇到過嗎？

生4：算小數(shù)除法的時候遇到過。如0.6÷3，算的就是6÷3，意思是把6個0.1平均分成3份，每份就是2個0.1。6÷3表示的是把6個一平均分成3份，每份是2個一。

師：這里的[15]、0.1、1都是什么呢？

生5：計數(shù)單位。

師：對比整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的計算方法，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生6：都是平均分計數(shù)單位的個數(shù)。

師：特別棒！你們通過對比找到了算法之間的聯(lián)系。還有別的想法嗎？

生7：[45]÷2=[45]×[12]= [25]。把[45]升平均分成2份，每份就是[45]升的[12]，那么我們可以用乘法來解決，寫成[45]×[12]。

師：看來關(guān)于分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，不僅可以用整數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)的算理來計算，還可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的乘法來計算。

這個環(huán)節(jié)是通過對例題進行變式，讓學(xué)生明白不論是整數(shù)除法還是分?jǐn)?shù)除法，解決的都是平均分的問題，這就是除法的本質(zhì)意義。學(xué)生通過在圖上分一分、涂一涂的活動，能夠在對比與思考中初步感知整數(shù)除法、小數(shù)除法與分?jǐn)?shù)除法本質(zhì)上是一樣的，都是關(guān)于計數(shù)單位的運算，都可以理解為把幾個幾平均分成幾份，每份是多少。

【教學(xué)片段2】問題探究，厘清運算本質(zhì)

師（出示問題3：杯子里有[45]升果汁，平均分給3個小朋友喝，每人喝多少升？）：嘗試列式計算。

生1：[45]÷3。

師：這時整數(shù)不能整除分?jǐn)?shù)的分子，怎么辦呢？

生2：我是這么想的，如果再把每一份平均分成3份，就是把這杯果汁平均分成了15份，原來的[45]就變成了[1215]，現(xiàn)在12可以除3了，結(jié)果是[415]。

師：也就是說當(dāng)原來的計數(shù)單位不能被整除的時候，把計數(shù)單位變小再平均分就可以了。

生3：還可以用乘法來解決。[45]÷3=[45]×[13]=[415]，就是每人可以分到[45]升的[13]的意思。

師：看來這種方法不存在能不能整除的問題。通過乘法來解決問題更具有普遍性。仔細(xì)觀察[45]÷2=[45]×[12]=[25]，[45]÷3=[45]×[13]=[415]，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生4：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，通常是轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)。

該教學(xué)片段是通過創(chuàng)建認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生聚焦核心問題。當(dāng)被除數(shù)的分子不能被整除的時候，可以轉(zhuǎn)化成更小的計數(shù)單位后再平均分。這其實是之前異分母分?jǐn)?shù)通分知識的遷移。學(xué)生在遷移知識的過程中能夠多維度思考問題，通過推理活動探究不同的計算方法，有利于形成推理意識和推理能力。

【教學(xué)片段3】總結(jié)內(nèi)化，提升運算能力

師：回顧今天的學(xué)習(xí)過程，我們是怎么研究分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的問題的？

生1：除法的意義本質(zhì)是相同的，分?jǐn)?shù)除法也是解決平均分的問題。

生2：通過分一分、涂一涂，找到了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)與整數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)的算法上的聯(lián)系——都是在平均分計數(shù)單位的個數(shù)。

生3：根據(jù)除法是乘法的逆運算，通常分?jǐn)?shù)除以一個不為0的整數(shù)，都是轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)。

師：看來大家有非常多的感悟。請用今天學(xué)到的知識解“10÷100， 0.2÷3”這兩道題。

生4：10÷100=10×[1100]=[110]。

生5：0.2÷3=[15]×[13]=[115]。

生6：我發(fā)現(xiàn)整數(shù)除以整數(shù)、小數(shù)除以整數(shù)也可以轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)除以整數(shù)來計算，一個數(shù)除以一個不為0的整數(shù)，可以轉(zhuǎn)化成一個數(shù)乘這個整數(shù)的倒數(shù)。

生7：以前算0.2÷3，得數(shù)是除不盡的，還要寫“≈”，現(xiàn)在可以寫成分?jǐn)?shù)的形式了。

......

在這節(jié)課的最后，筆者設(shè)計了兩道題目，分別是整數(shù)除以整數(shù)和小數(shù)除以整數(shù)。在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理和算法后再來看這兩道題，學(xué)生又有了新的收獲，說明學(xué)生對于運算的一致性有了新的感悟。

三、生花：基于感悟運算的一致性的教學(xué)反思

1.從算式到圖形，數(shù)形結(jié)合感悟算理

畫圖是解決數(shù)學(xué)問題時常用的方法，它可以將問題的本質(zhì)從復(fù)雜的背景中抽象出來，使問題變得更加簡明和直觀。當(dāng)學(xué)生面對比較抽象的算式時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去畫一畫、分一分，借助圖形去探究和理解算理。如“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”中的“ [45]÷2”這道題，如果不借助圖形，那就特別抽象，學(xué)生說不出來到底應(yīng)該怎么算。而借助圖形，則更容易表達想法。從學(xué)生的作品中可以很直接看出是將4個[15]平均分成2份，每份就是2個[15]，即[25]。

計算分?jǐn)?shù)乘法同樣可以通過數(shù)形結(jié)合來解決。如[23]×[12]，可以先將長方形平均分成3份，涂色部分表示其中的2份，得到這個長方形[23]，再將這個長方形的[23]平均分成2份，每份就是[26]，約分后可得[13]（如圖3）。

2.從特殊到一般，厘清運算本質(zhì)

亞里士多德曾說：“思維從問題、驚訝開始?！卑l(fā)現(xiàn)問題往往是創(chuàng)新思維的先導(dǎo)，其意義絕不亞于解決問題。在教學(xué)中利用認(rèn)知沖突，可促進學(xué)生積極主動地建構(gòu)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對于鍛煉學(xué)生的思維能力，提高學(xué)生的探究能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力，都有十分重要的意義。

首先，利用“[45]÷3，分子的4不能被3整除，怎么辦呢？”引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究。學(xué)生在分一分、涂一涂中發(fā)現(xiàn)：原來的計數(shù)單位太小，不能整除，把計數(shù)單位變小后再平均分就可以了。那么，不論是[45]÷2，還是[45]÷3，都可以看作是平均分計數(shù)單位的問題。這樣，從特殊到一般，學(xué)生能夠厘清分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的運算本質(zhì)。

其次，在交流算法多樣性時，學(xué)生提出[45]÷2=[45]×[12]=[25]，[45]÷3=[45]×[13]=[415]。這是學(xué)生在進一步對比中發(fā)現(xiàn)，原來計算分?jǐn)?shù)除以整數(shù)時，可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來進行計算，并且感悟到這樣的運算方法更加方便。整個探究過程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的重要思想方法，即從特殊到一般的演繹推理，學(xué)生也在自主探究的過程中厘清運算的本質(zhì)。

3.從舊知到新知，對比內(nèi)化打通算法

結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的知識才能形成智慧。在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”之前，學(xué)生已擁有相應(yīng)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，學(xué)生學(xué)過的整數(shù)除以整數(shù)和小數(shù)除以整數(shù)的算理與分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的算理是相通的。因此，教師將分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的教學(xué)融入整體知識中，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，感悟和體驗其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想，理解數(shù)學(xué)計算的本質(zhì)，進而構(gòu)建知識系統(tǒng)。

在探究[45]÷2時，教師提出的“這是一道分?jǐn)?shù)除法，但是你算的卻是4÷2這樣的整數(shù)除法，這樣的情況在以前的學(xué)習(xí)中遇到過嗎？”這一問題就是讓學(xué)生聯(lián)系舊知，聯(lián)系以前學(xué)過的整數(shù)除法和小數(shù)除法，通過對比，找到相同點：這些運算的本質(zhì)都是將計數(shù)單位的個數(shù)進行平均分，從而得到幾個這樣的計數(shù)單位。

由此可見，無論是哪種除法運算，都可用平均分計數(shù)單位的個數(shù)來表征。這樣教學(xué)，不僅幫助學(xué)生打通算法，使學(xué)生感受到運算的一致性，不再糾結(jié)于各種運算各有各的算法，各種算法“打架”的局面。同時，通過對比也能夠讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、極具邏輯美學(xué)的學(xué)科，從而激發(fā)學(xué)生進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 鞏子坤，史寧中，張丹. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂的新視角：數(shù)的概念與運算的一致性[J]. 課程·教材·教法，2022，42（6）：45-51，56.

[2] 葛麗霞. 聚焦“一致性” 落實新課標(biāo)：《分?jǐn)?shù)加減法》單元整體教學(xué)實踐[J]. 現(xiàn)代教育，2022（7）：50-53.

[3] 敬賀，于海杰，張立忠，等. 基于核心素養(yǎng)的“分?jǐn)?shù)除法”單元教學(xué)設(shè)計思考 [J]. 赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）. 2022，38（7）：92-107.

（責(zé)編 金 鈴）