王文錫

摘 要：隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，教育信息化已經(jīng)成為教育改革的主要趨勢，信息技術(shù)與課程教學(xué)的融合更是廣大教育工作者研究的重要課題。GeoGebra軟件在信息技術(shù)支撐下快速走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，成為廣大數(shù)學(xué)教師開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動的重要工具，不僅可以輔助教師高效完成數(shù)學(xué)教學(xué)，更有利于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生思維能力發(fā)展。特以初中數(shù)學(xué)教學(xué)為例，簡要分析GeoGebra軟件在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值以及案例分析，力爭通過理論研究讓更多數(shù)學(xué)教師了解GeoGebra這一教學(xué)軟件，從而更好地應(yīng)用GeoGebra軟件開展數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：GeoGebra軟件；初中數(shù)學(xué)；課堂教學(xué)；信息技術(shù)

中圖分類號：G6３ ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ?文章編號：1673-9132（2023）24-0039-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.24.013

GeoGebra（Geometry和Algebra）是奧地利數(shù)學(xué)家Markus Hohenwarter在2002年設(shè)計(jì)的一款數(shù)學(xué)動態(tài)幾何軟件，其整合了代數(shù)、函數(shù)、幾何、3D數(shù)學(xué)功能，可應(yīng)用于中小學(xué)以及高等數(shù)學(xué)教學(xué)，與幾何畫板等其他信息技術(shù)軟件相比較而言，GeoGebra軟件提供免費(fèi)服務(wù)，可共享服務(wù)，集代數(shù)和幾何于一體，優(yōu)勢更突出，應(yīng)用更便捷，操作更簡單，界面更加豐富。在傳統(tǒng)幾何教學(xué)中，動態(tài)性圖形的演示一直都是教學(xué)短板，也是讓數(shù)學(xué)教師最為頭疼的事，GeoGebra軟件很好地解決了這些問題，幫助數(shù)學(xué)教師克服了傳統(tǒng)教學(xué)短板，以更直觀規(guī)范的方式呈現(xiàn)圖形變化過程，加深學(xué)生對知識的印象，提高學(xué)生理解效率，幫助學(xué)生更好地學(xué)數(shù)學(xué)，輔助教師更好地教數(shù)學(xué)。

一、GeoGebra軟件功能及其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用價值

（一）GeoGebra軟件實(shí)現(xiàn)代數(shù)窗口與幾何窗口一體化，更有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維

數(shù)形結(jié)合思維是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)應(yīng)具備的關(guān)鍵思維，也是幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的重要思維模式。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維是新課改對數(shù)學(xué)教師提出的重要任務(wù)。傳統(tǒng)教學(xué)手段下，代數(shù)和幾何總是分割開的，一旦需要設(shè)計(jì)代數(shù)和幾何共存的教學(xué)案例時，數(shù)學(xué)教師要花大量時間作圖，否則學(xué)生難以將數(shù)和形直接關(guān)聯(lián)和對照，也不利于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思維發(fā)展。如果教師為了節(jié)省教學(xué)時間，更可能導(dǎo)致畫圖失真，對于思維能力較差的學(xué)生而言，無疑是一個新的學(xué)習(xí)障礙。而應(yīng)用GeoGebra軟件就能夠很好地將數(shù)和形相結(jié)合，快速建立數(shù)與形的關(guān)系，幫助學(xué)生突破重難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)數(shù)和形的思維聯(lián)動。

（二）GeoGebra軟件可直觀呈現(xiàn)結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生思維從無序走向有序

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，很多初中學(xué)生思維常處于無序狀態(tài)，直接影響其數(shù)學(xué)知識建構(gòu)和數(shù)學(xué)解題效率，難以快速找到解決問題的突破口，尤其是遇到一些既包含代數(shù)，又有幾何的復(fù)雜難題時，無序思維還會打亂學(xué)生思路，形成思維障礙。但如果在教學(xué)中應(yīng)用GeoGebra軟件，以更加直觀的方式呈現(xiàn)數(shù)和形，就可避免學(xué)生思維混亂，促使學(xué)生在短時間內(nèi)快速從無序思維過渡到有序思維。

（三）GeoGebra軟件提高課堂教學(xué)效率，實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)提升

GeoGebra軟件是信息技術(shù)的產(chǎn)物，是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程深度融合的直接體現(xiàn)，其強(qiáng)大的功能很好地契合了數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)教學(xué)需要，其將靜態(tài)圖形動態(tài)化演示，可瞬間吸引學(xué)生注意力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識和學(xué)習(xí)方法，不斷發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)能力，提升學(xué)生思維品質(zhì)，逐步達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)目的。

二、GeoGebra軟件在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用實(shí)踐

本文以華師大版九年級下冊“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為例，簡要分析GeoGebra軟件在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用。

（一）教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)內(nèi)容分析

“二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是在“二次函數(shù)概念”的基礎(chǔ)上進(jìn)一步延伸和拓展的內(nèi)容，是學(xué)生掌握二次函數(shù)解析式和應(yīng)用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)。教學(xué)內(nèi)容主要包括：二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)、求二次函數(shù)的表達(dá)式，主要應(yīng)用GeoGebra軟件演示函數(shù)圖像，幫助學(xué)生更直觀清晰地體會不同形式二次函數(shù)之間的關(guān)系，讓學(xué)生在圖像平移過程中提煉出二次函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生分類討論思維、數(shù)形結(jié)合思維，發(fā)展學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)。

2.學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖形和性質(zhì)，能夠遷移應(yīng)用已有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)類比推理出二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，應(yīng)用GeoGebra軟件演示二次函數(shù)圖像的變化，能夠幫助學(xué)生更好地通過觀察歸納出二次函數(shù)的性質(zhì)，喚起學(xué)生更強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)愿望。

3.教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

知識與技能目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，學(xué)會從不同角度研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

過程與方法目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生在小組合作學(xué)習(xí)中歸納、類比、分析，掌握二次函數(shù)圖象性質(zhì)，學(xué)會從函數(shù)解析式及其性質(zhì)的角度去研究二次函數(shù)圖象，體會分類思想、幾何直觀、數(shù)形結(jié)合思維。

情感態(tài)度及價值觀目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生在觀察函數(shù)圖象的過程中感受數(shù)學(xué)之美、數(shù)學(xué)思維方法之美，體會數(shù)學(xué)思想以及方法的重要性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

4.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，加深學(xué)生對二次函數(shù)概念的理解，幫助學(xué)生掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的函數(shù)出發(fā)，類比分析、深入研究函數(shù)圖象及其性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：觀察二次函數(shù)y=ax2，y=ax2+k，y=a（x-h）2+k三種不同函數(shù)圖象的關(guān)系，對比、歸納、總結(jié)三種不同形式的二次函數(shù)的性質(zhì)。

5.教學(xué)技術(shù)手段

利用GeoGebra這一動態(tài)數(shù)學(xué)軟件演示二次函數(shù)y=ax2平移后所得二次函數(shù)y=ax2+k，y=a（x-h）2+k圖象過程，幫助學(xué)生更好地理解三種二次函數(shù)之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、深入分析，發(fā)現(xiàn)a、h、k對二次函數(shù)圖象的影響，最終總結(jié)三種二次函數(shù)的性質(zhì)。

（二）教學(xué)片斷呈現(xiàn)

探究活動一：二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)

首先指導(dǎo)學(xué)生畫出函數(shù)y=x2的圖象，教師巡視觀察學(xué)生畫圖過程，對學(xué)生作品進(jìn)行投影，結(jié)合學(xué)生畫圖情況重點(diǎn)講解畫圖的注意事項(xiàng)，用GeoGebra 軟件呈現(xiàn)規(guī)范的畫圖步驟和函數(shù)圖象。然后指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)函數(shù)圖象歸納函數(shù)性質(zhì)，為探究二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)奠定基礎(chǔ)。接下來鼓勵學(xué)生用不同顏色的畫筆在同一直角坐標(biāo)中畫二次函數(shù)y=2x2，y=－２x2圖象，同樣用GeoGebra 軟件規(guī)范呈現(xiàn)圖象，如圖1-1所示。

進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)y=2x2，y=－2x2圖象，小組合作探究兩個函數(shù)的圖象特征，包括開口方向、頂點(diǎn)左邊，兩個函數(shù)的最值以及函數(shù)增減項(xiàng)，待學(xué)生小組合作完成探究任務(wù)后，請學(xué)生代表匯報(bào)學(xué)習(xí)成果，師生共同總結(jié)歸納函數(shù)性質(zhì)。為加深學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解，在此基礎(chǔ)上請學(xué)生對比分析兩個函數(shù)性質(zhì)的不同點(diǎn)，以此提煉出下一步研究內(nèi)容：a的大小影響函數(shù)圖象開口大小，那么，在函數(shù)y=ax2圖象中，a對函數(shù)開口的影響又是怎樣的呢？

接著用GeoGebra軟件演示圖象變化，拖動滑條改變a的值，學(xué)生觀察函數(shù)圖象開口變化，驗(yàn)證a值對函數(shù)圖象開口的影響。如下圖1-2所示，a為負(fù)值時，值的大小與函數(shù)圖象開口的關(guān)系。

這一過程重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生觀察三個以上不同a值對應(yīng)的函數(shù)圖象開口變化，引導(dǎo)學(xué)生歸納出函數(shù)y=ax2的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的歸納概括能力。

探究活動二：y=ax2+k函數(shù)圖象和性質(zhì)

首先利用GeoGebra軟件畫出函數(shù)y=2x2+1的圖象，引導(dǎo)學(xué)生對比分析函數(shù)y=２x2圖象， 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)的關(guān)系，鼓勵學(xué)生猜想假設(shè)，提出個人觀點(diǎn)。然后用GeoGebra軟件對函數(shù)y=２x2進(jìn)行向上平移操作，如圖2-1所示，請學(xué)生觀察圖象變化過程，總結(jié)歸納圖象異同點(diǎn)。

接著啟發(fā)學(xué)生思考：y=－２x2+1與y=２x2的圖象關(guān)系，請學(xué)生先提出猜想，再請學(xué)生代表上臺用GeoGebra軟件演示圖象變化過程。最后請學(xué)生對比分析兩個函數(shù)圖象異同點(diǎn)，總結(jié)出函數(shù)y=ax2+k的性質(zhì)。

教學(xué)過程從教師操作到學(xué)生自主操作，讓學(xué)生感受用GeoGebra軟件畫圖的樂趣，增加學(xué)生課堂參與感和體驗(yàn)感，讓學(xué)生真正在動手操作過程中感受圖象的變化，更好地理解兩個函數(shù)的關(guān)系，掌握函數(shù)性質(zhì)，真實(shí)地讓學(xué)生在“做中學(xué)”。

探究活動三：y=a（x-h）2+k函數(shù)圖象和性質(zhì)

教學(xué)過程類似于上兩個探究活動，都是先用GeoGebra軟件畫出y=２（x－１）2的圖象，再利用GeoGebra軟件對圖象進(jìn)行左右平移操作，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象變化過程，小組合作學(xué)習(xí)，經(jīng)歷猜想—探究—驗(yàn)證—?dú)w納—總結(jié)等學(xué)習(xí)過程，最終師生共同總結(jié)出y=a（x-h）2+k的函數(shù)性質(zhì)。在這一探究活動中，要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生探究h值的正負(fù)與圖象平移方向的關(guān)系，思考對稱軸與h值的關(guān)系，促使學(xué)生歸納出h值對二次函數(shù)y=a（x-h）2的影響，深刻體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力、數(shù)形結(jié)合思想。

（三）教學(xué)反思

整節(jié)課以GeoGebra軟件為“利器”，將函數(shù)圖象的變化動態(tài)化，幫助學(xué)生更直觀、清晰、有條理、有邏輯地分析了函數(shù)解析式中對應(yīng)值與函數(shù)圖象的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生在觀察圖、分析圖、對比圖中總結(jié)歸納出三種不同類型二次函數(shù)的性質(zhì)，提高了學(xué)生課堂參與度，增強(qiáng)了學(xué)生體驗(yàn)感和學(xué)習(xí)成就感，突破了課堂教學(xué)重難點(diǎn)，提高了課堂教學(xué)質(zhì)量。

總而言之，GeoGebra軟件已經(jīng)成為廣大數(shù)學(xué)教師常用教學(xué)軟件之一，其強(qiáng)大的教學(xué)功能能夠輔助教師直觀動態(tài)地呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，能夠幫助學(xué)生形象直觀、有序有條理地分析數(shù)學(xué)知識，加深學(xué)生對抽象知識的理解，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和效率。作為新時代數(shù)學(xué)教師，應(yīng)科學(xué)靈活地應(yīng)用GeoGebra軟件開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動，加快數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)的融合，推動數(shù)學(xué)課堂信息化發(fā)展。

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