洪銳敏

［摘 要］函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容。文章對2022年新高考Ⅰ卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題進(jìn)行評析，結(jié)合近三年高考卷中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題，探究函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高考試題的命題規(guī)律和創(chuàng)新點(diǎn)，并給出相應(yīng)的備考建議。建議教師回歸課標(biāo)，重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；加強(qiáng)對涉及多知識點(diǎn)或融合不同知識板塊的試題的設(shè)計(jì)和訓(xùn)練；夯實(shí)基礎(chǔ)并適當(dāng)提升習(xí)題的難度，在變式訓(xùn)練中揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和解題規(guī)律；引導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)知識遷移，做到舉一反三。

［關(guān)鍵詞］新高考；函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；評析；備考建議

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）08-0032-03

在未實(shí)行新高考政策之前，高考數(shù)學(xué)的測評需要區(qū)分文理科，即教育部考試中心會命制兩套不同難度的試題，理科試題的難度稍大于文科試題。在實(shí)行新高考政策之后，高考數(shù)學(xué)的測評不再區(qū)分文理科，即文、理科生都用同樣的一份試題進(jìn)行測評。2022年，是全國新高考Ⅰ卷作為大多數(shù)新高考政策地區(qū)的高考試題的第二個(gè)年頭，由于新高考試題的命題規(guī)律和創(chuàng)新點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)一線教師和高中生較為關(guān)注的問題，且函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線之一，貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的始終。因此，有必要對2022年新高考Ⅰ卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的命題規(guī)律和創(chuàng)新點(diǎn)進(jìn)行探究并提出備考建議，為一線教師的教學(xué)提供參考。

一、2022年新高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題評析

（一）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的客觀題評析

評析：本題屬于綜合題，考查函數(shù)大小比較。通過建立函數(shù)模型，利用其導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而比較函數(shù)大小，可通過構(gòu)造函數(shù)[f（x）=ln（1+x）-x（x>-1）]和[g（x）=xex+ln（1-x）（0

評析：本題屬于基礎(chǔ)題，綜合考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、極值點(diǎn)、零點(diǎn)、切線方程等。利用極值點(diǎn)的定義可判斷A項(xiàng)，結(jié)合零點(diǎn)的定義、 [f（x）]的單調(diào)性可判斷B項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)的奇偶性及平移可判斷C項(xiàng)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D項(xiàng)。本題涉及的知識點(diǎn)較多，選項(xiàng)的設(shè)置具有很高的辨析度，學(xué)生容易判斷選項(xiàng)的正誤，解題難度不大，考查了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng)。

評析：本題屬于綜合題，難度較大，考查函數(shù)的奇偶性和對稱性，解題的關(guān)鍵在于將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為抽象函數(shù)的性質(zhì)——奇偶性、對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，準(zhǔn)確把握函數(shù)的性質(zhì)。本題考查了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想，要求學(xué)生有較強(qiáng)的直觀想象和邏輯推理等素養(yǎng)。

題目4：（2022年新高考Ⅰ卷第15題）若曲線[y=（x+a）ex]有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則[a]的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。

評析：本題屬于基礎(chǔ)題，考查函數(shù)的切線方程，可設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)為[x0]，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，根據(jù)切線經(jīng)過原點(diǎn)得到關(guān)于[x0]的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得[a]的取值范圍。本題考查了函數(shù)與方程思想、化歸思想以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)。

（二）函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的解答題評析

題目5：（2022年新高考Ⅰ卷第22題）已知函數(shù)[f（x）=ex-ax]和[g（x）=ax-lnx]有相同的最小值。

（1）求[a]；

（2）證明：存在直線[y=b]，其與兩條曲線[y=f（x）]和[y=g（x）]共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。

評析：本題是壓軸題，難度偏大，考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算、指數(shù)與對數(shù)的互化、等差數(shù)列的概念等知識點(diǎn)。第（1）問利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，分別確定[f（x）]和[g（x）]的最小值，解關(guān)于[a]的方程，從而得到[a]的值。第（2）問先證明存在直線[y=b]與兩條曲線[y=f（x）]和[y=g（x）]共有三個(gè)不同的交點(diǎn)的情況，再證明從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，設(shè)從左到右的三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為[x1、x2、x3]，證明[x1+x3=2x2]即可。解題的關(guān)鍵在于將證明等差數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化為求方程根的個(gè)數(shù)和公共根以及根的和差間的等量關(guān)系。本題是以極值點(diǎn)偏移為背景進(jìn)行設(shè)計(jì)的，是典型的極值點(diǎn)偏移問題，考查內(nèi)容以證明不等式為主，解題過程需要構(gòu)造新的函數(shù)，這也是平時(shí)學(xué)生對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊解答題訓(xùn)練的重點(diǎn)內(nèi)容。但本題的不同之處在于不設(shè)置證明不等式的題目，而是要求證明直線與曲線交點(diǎn)橫坐標(biāo)和差間的等量關(guān)系（[x1+x3=2x2]或[x2-x1=x3-x2]）。

二、近三年函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考點(diǎn)分析

為了更加全面地分析新高考政策前后函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的命題情況，筆者對近三年高考卷中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的考點(diǎn)與分值進(jìn)行整理，并用表1呈現(xiàn)了2020年高考全國Ⅰ卷（文科）、2020年高考全國Ⅰ卷（理科）、2021年新高考Ⅰ卷、2022年新高考Ⅰ卷共4份試卷的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的考點(diǎn)與分值情況。

從表1可知，近三年高考卷中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題有如下特點(diǎn)。

（一）考查重難點(diǎn)內(nèi)容，題型穩(wěn)定，但體現(xiàn)出創(chuàng)新點(diǎn)

根據(jù)表1所呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)可知，近三年高考卷中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)選擇題與填空題考查的重難點(diǎn)內(nèi)容與2017—2019年高考全國Ⅰ卷基本保持一致，以函數(shù)大小比較，函數(shù)的切線方程，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性為主。函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題在第（1）小問必考函數(shù)的單調(diào)性，第（2）小問以不等式的證明為主。但2022年新高考Ⅰ卷考查了曲線交點(diǎn)橫坐標(biāo)為等差數(shù)列的存在性證明，這是新高考政策實(shí)施以來首次將函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題與數(shù)列結(jié)合起來進(jìn)行考查，是2022年新高考Ⅰ卷在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊的第一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)。從形式上看比較新穎，是試題命制的靈活性和“引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)”這一課程基本理念的體現(xiàn)，對后續(xù)高考中函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題的命制有一定的借鑒意義。新高考卷與傳統(tǒng)高考卷的區(qū)別是新增了多項(xiàng)選擇題，刪去選考解答題。綜合性考查是多項(xiàng)選擇題的命制特點(diǎn)和新高考卷對學(xué)生的能力要求，2022年新高考Ⅰ卷在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊的第二個(gè)創(chuàng)新點(diǎn)體現(xiàn)在多項(xiàng)選擇題第10題與第12題對函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、零點(diǎn)、對稱性、切線方程、奇偶性的綜合性考查上，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng)。

（二）題量、分值、難度有上升趨勢

從表1可知，2020年高考全國Ⅰ卷（文科）和2020年高考全國Ⅰ卷（理科）都是考查了“一大兩小”，3道題共22分；2021年新高考Ⅰ卷考查了“一大三小”，4道題共27分；2022年新高考Ⅰ卷考查了“一大四小”，5道題共32分，題量和分值都有上升趨勢。2022年新高考Ⅰ卷共計(jì)32分，超過了整份試題總分的20%，體現(xiàn)出新高考Ⅰ卷越來越重視對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊的考查。2022年新高考Ⅰ卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的解題運(yùn)算量較大，學(xué)生容易出錯(cuò)，其與傳統(tǒng)高考卷在題型上的區(qū)別在于減少了4道單項(xiàng)選擇題，增了4道多項(xiàng)選擇題（即用4道多項(xiàng)選擇題代替4道單項(xiàng)選擇題）。從題型命制的特點(diǎn)和解題難度來看，多項(xiàng)選擇題的難度比單項(xiàng)選擇題大。2022年新高考Ⅰ卷的4道多項(xiàng)選擇題中，有2道考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊，綜合性較強(qiáng)。綜上所述，2022年新高考Ⅰ卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的難度比往年更大，題量、分值、難度均有上升趨勢。

三、備考建議

根據(jù)上述對2022年新高考Ⅰ卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的評析，結(jié)合近三年高考卷中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的命制特點(diǎn)，筆者提出以下四點(diǎn)備考建議。

（一）回歸課標(biāo)，重視培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的解題要求學(xué)生在熟練掌握基礎(chǔ)知識的前提下，能夠靈活運(yùn)用知識解決問題，屬于“多想多算”。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的基本思想，邏輯推理是厘清條件和結(jié)論間的內(nèi)在聯(lián)系的載體，數(shù)學(xué)運(yùn)算是解題的“童子功”，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)解題過程，直觀想象是提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力的必備素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模是搭建函數(shù)模型的橋梁和實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式，數(shù)據(jù)分析有助于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律。因此，教師在教學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)板塊內(nèi)容時(shí)應(yīng)回歸課標(biāo)，重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，特別是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等素養(yǎng)。

（二）設(shè)計(jì)多知識點(diǎn)聯(lián)系的題目

由于2022年新高考Ⅰ卷的多項(xiàng)選擇題強(qiáng)調(diào)對多知識點(diǎn)的考查，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題與其他知識的結(jié)合更加密切，如第22題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)和數(shù)列的結(jié)合，因此教師應(yīng)加強(qiáng)對多知識點(diǎn)或不同知識板塊間的交叉試題的設(shè)計(jì)，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行針對性的訓(xùn)練，做到既能引導(dǎo)學(xué)生深化不同知識點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，又能將不同板塊的知識串聯(lián)起來，形成知識網(wǎng)絡(luò)，加強(qiáng)學(xué)生對知識點(diǎn)的記憶，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。

（三）夯實(shí)基礎(chǔ)，提升難度，變式訓(xùn)練

一線教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注新高考卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的題量、分值、難度有上升趨勢這一現(xiàn)象，在平時(shí)重視對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題的研究。教師在新授課中要注重概念，注重夯實(shí)基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，體會數(shù)學(xué)概念的簡潔性和嚴(yán)謹(jǐn)性，依托數(shù)學(xué)概念揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，依托數(shù)學(xué)原理提煉解題規(guī)律。教師要在學(xué)生可接受的范圍內(nèi)適當(dāng)提升習(xí)題的難度，在變式訓(xùn)練中揭示數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和解題規(guī)律。

（四）運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，遷移知識，舉一反三

隨著新高考改革的深入和發(fā)揮高考對人才的選拔功能的迫切性需要，高考命題突顯創(chuàng)新性，學(xué)生面對的可能是平時(shí)未曾訓(xùn)練過的創(chuàng)新性題型，進(jìn)而一時(shí)無法準(zhǔn)確找到解題思路。對此，教師可在平時(shí)的訓(xùn)練過程中引導(dǎo)學(xué)生遷移知識、舉一反三。其中，化歸思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想等有助于學(xué)生解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題，這就要求教師不僅要教會學(xué)生規(guī)范解題，而且要引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解題過程中體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想方法，總結(jié)出一類問題的解題思路，真正做到舉一反三。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 徐景超.探析極值點(diǎn)偏移證明問題的解決方法［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2022（8）：26-28.

［2］? 宗欣妍.極值點(diǎn)偏移問題的常見解法：以2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第22題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2022（5）：64-66.

［3］? 黎海燕.2019年高考全國Ⅰ卷函數(shù)與導(dǎo)數(shù)試題分析與備考建議［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（17）：46-50.

［4］? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）