蔣曉銘

摘 要：對一道中考壓軸題的解法進行探究，試題以新定義的自位似對稱變換為背景，考查概念理解、尺規(guī)作圖、推理證明，綜合性強，區(qū)分度好.通過剖析試題特色，總結(jié)解題策略，以期提高學生解題能力，促進學生核心素養(yǎng)的落地生根.

關(guān)鍵詞：自位似對稱變換；解法探究；核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育課程標準（2022）版》首次對義務(wù)教育數(shù)學學業(yè)質(zhì)量標準做出了要求和說明.中考試題作為學業(yè)質(zhì)量評價的重要素材，深入研究有利于理解課標，引領(lǐng)教學，促進學生核心素養(yǎng)的落地生根.筆者通過對南京市中考壓軸題的研究，剖析試題特色，進行多解研究，尋求教學啟示，與讀者交流.

1 試題呈現(xiàn)

例題 （2022南京第27題）在平面內(nèi)，先將一個多邊形以自身的一個頂點為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點的直線翻折，我們稱這種變換為自位似對稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對稱.

如圖1，先將△ABC以點A為位似中心縮小，得到△ADE，再將△ADE沿過點A的直線翻折，得到△AFG，則△ADE和△AFG成自位似軸對稱.

（1） 如圖2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＜AB，CD⊥AB，垂足為D.下列三對三角形：① △ABC和△ACD；② △BAC和△BCD；③ △DAC和△DCB.其中成自位似軸對稱的是________（填所有符合要求的序號）.

（2） 如圖3，已知△ABC經(jīng)過自位似軸對稱變換得到△ADE.Q是DE上一點，用直尺和圓規(guī)作點P，使P與Q是該變換前后的對應(yīng)點（保留作圖痕跡，寫出必要文字說明）.

（3） 如圖4，在△ABC中，D是BC的中點，E是△ABC內(nèi)一點.∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD.連接DE.求證DE∥AC.

2 解法研究

第（1）問根據(jù)自位似軸對稱的概念可知符合要求的是①②.從變換的角度看，③ 屬于自位似旋轉(zhuǎn)，不符合題意.以下重點展示第（2）、（3）問的解法.

2.1 關(guān)于第（2）問

解法1：先將△ABC自位似縮小得到△AFG，△AFG≌△ADE.截取FH＝DQ，找到此時Q的對應(yīng)點H，再通過位似放大得到點P.如圖5所示.

解法2：先將△ADE自位似放大△AFG，△AFG≌△ABC.通過位似放大得到Q的對應(yīng)點H，再在BC上截取BP＝FH得到點P.如圖6所示.

3 教學啟示

3.1 關(guān)注理解能力 重視直觀想象

《義務(wù)教育課程標準（2022年版）》在課程目標中指出：“核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn).小學階段側(cè)重對經(jīng)驗的感悟，初中階段側(cè)重對概念的理解”.本題第（1）問側(cè)重考查概念理解和辨析，解題過程中要通過想象、畫草圖分析正確區(qū)分位似翻折和位似旋轉(zhuǎn).第（2）問以尺規(guī)作圖的形式考查概念運用，重點在于理解題中“對應(yīng)”二字.可以基于變換視角，先將某個三角形通過位似放大或縮小，確定該圖形上的“橋梁”點，再通過找“對應(yīng)”點的方法確定所求點.也可以基于確定性思考，利用相似圖形的性質(zhì)分析求作點滿足的條件，再分析構(gòu)造.本題將圖形的位似和翻折這兩種變換通過組合得到一種新的運動變換，它與平時所接觸的“旋轉(zhuǎn)手拉手相似”有一定的關(guān)聯(lián)，學生不至于感覺很陌生，但又需要辨析區(qū)分.只要學生基本功扎實，突破前兩問是沒有問題的.

3.2 合理構(gòu)造圖形 培養(yǎng)推理能力

本題第（3）問短小精悍，看似尋常，實則別有洞天.證明兩條線平行方法較多，因此解題入口寬，有利于展現(xiàn)學生解題的個性品質(zhì).由中點這一條件聯(lián)想到構(gòu)造中位線、倍長中線、添加平行線等輔助線添加方式.由角等想到證相似，將這些條件有序組合并挖掘隱含的相似形，解題思路便可產(chǎn)生，這些都屬于通性通法范圍.本題還可以通過對稱處理，將位似對稱轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)手拉手相似模型來解決，此外還有面積法和同一法等特殊的解題方法.不同的構(gòu)造方法，多種解題方式的探索與選擇，多角度、多層次地考查了學生的邏輯推理能力^［1］.

3.3 凸顯評價功能 引領(lǐng)教學方向

本題的問題串設(shè)計層次分明，邏輯結(jié)構(gòu)清晰，很好地考查學生對新概念的理解、想象以及知識的綜合運用，信度和效度好，又具有較高區(qū)分度，有利于中考的選拔.同時本題的解題過程體現(xiàn)了數(shù)學概念學習的一般過程，不啻一堂精彩的解題教學課，對于日常的教學和命題都有著一定的指導(dǎo)意義.

參考文獻：

［1］ 吳魏涯，姜曉翔.關(guān)注思想方法 凸顯核心素養(yǎng)［J］.中學數(shù)學教學參考，2021（29）：37-39.

［2］ 沈陽，喻平.PISA2012與我國數(shù)學中考題的比較與公考——以南京市試題為例［J］.數(shù)學通報，2017，56（1）：6-8+37.

［3］ 王富英.論中學數(shù)學習題課教學［J］.數(shù)學通報，2020，59（7）：35-39.

［4］ 李昌官.從數(shù)學關(guān)鍵能力視角看考題、育素養(yǎng)——以2020年高考理科數(shù)學全國Ⅰ卷第12、20題為例［J］.基礎(chǔ)教育課程，2020（Z2）：23-29.