廉萌 劉加霞

【摘? ?要】感悟與理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，是發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)意識的重要表現(xiàn)之一?！鞍俜?jǐn)?shù)”單元實踐中，教師先在了解“百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義”具體表現(xiàn)的基礎(chǔ)上，分析了當(dāng)前教材中有助于學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的學(xué)習(xí)材料，然后在調(diào)研了解學(xué)生認(rèn)知起點的基礎(chǔ)上，整合教材的主題活動，設(shè)計了凸顯百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的系列學(xué)習(xí)任務(wù)。實踐表明，“百分?jǐn)?shù)”的單元教學(xué)應(yīng)在理解百分?jǐn)?shù)原有數(shù)學(xué)意義的基礎(chǔ)上，凸顯百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，使其貫穿單元學(xué)習(xí)的始終，將應(yīng)用意識、數(shù)據(jù)意識的培養(yǎng)滲透到每個學(xué)習(xí)任務(wù)中。

【關(guān)鍵詞】百分?jǐn)?shù)；統(tǒng)計意義；數(shù)據(jù)意識

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）指出，百分?jǐn)?shù)是兩個數(shù)量倍數(shù)關(guān)系的表達，這兩個數(shù)量既可來源于確定數(shù)據(jù)，又可來源于隨機數(shù)據(jù)。前者指百分?jǐn)?shù)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)意義；后者即百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，主要體現(xiàn)在運用百分?jǐn)?shù)描述隨機數(shù)據(jù)的分布情況以及隨機事件的發(fā)生概率上。那么，“百分?jǐn)?shù)”的單元教學(xué)該如何讓學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)意義與統(tǒng)計意義？如何辯證處理二者的關(guān)系？此外，百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱“2011年版《課程標(biāo)準(zhǔn)》”）指導(dǎo)下的教材中是否有體現(xiàn)？教材中的哪些問題或任務(wù)有助于學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義？基于2022年版《課程標(biāo)準(zhǔn)》的這一調(diào)整，筆者對“百分?jǐn)?shù)”單元的教學(xué)進行了重新思考與實踐。

一、分類整理教材內(nèi)容，挖掘凸顯“百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義”的學(xué)習(xí)素材

要幫助學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，教師教學(xué)的關(guān)鍵是要運用好能體現(xiàn)隨機性的學(xué)習(xí)素材。那現(xiàn)行使用的2011年版《課程標(biāo)準(zhǔn)》指導(dǎo)下的各版本教材中有沒有隨機數(shù)據(jù)的現(xiàn)實情境呢？為此，筆者分別對北師大版、蘇教版、人教版教材中涉及隨機數(shù)據(jù)的情境進行了統(tǒng)計。可以看出，各個版本的教材中雖然都涉及隨機數(shù)據(jù)的情境，但占比都不大。統(tǒng)計結(jié)果如表1所示。

隨機數(shù)據(jù)的問題情境或素材有哪些呢？著名統(tǒng)計學(xué)家陳希孺認(rèn)為，并不是任何類型的數(shù)據(jù)都屬于統(tǒng)計學(xué)的研究范圍，只有那種受到偶然性因素影響的數(shù)據(jù)才是統(tǒng)計學(xué)處理的對象，并將隨機數(shù)據(jù)細分為重復(fù)測量同一對象數(shù)據(jù)、抽樣數(shù)據(jù)、試驗設(shè)計所得數(shù)據(jù)三類［1］。該觀點為深入分析教材提供了理論依據(jù)，在后續(xù)的活動設(shè)計中，便可以從這幾個維度幫助學(xué)生感悟百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義。

（一）重復(fù)測量同一對象獲得數(shù)據(jù)的素材

由于存在隨機誤差，因此重復(fù)測量同一對象的某個屬性所獲得的數(shù)據(jù)具有隨機性。例如，多次測量某物體的長度、多次統(tǒng)計某人投籃命中的次數(shù)等。北師大版、蘇教版和人教版教材中罰球、套圈、投籃的學(xué)習(xí)素材就屬于重復(fù)測量同一對象得到的隨機數(shù)據(jù)，如圖1所示。

幾個版本教材都提出了比較命中率的問題。蘇教版教材將投籃情境作為引入百分?jǐn)?shù)的例題呈現(xiàn)，啟發(fā)學(xué)生多角度思考解決問題的方法，使學(xué)生體會將分?jǐn)?shù)的分母化成100易于比較大小，滲透引入百分?jǐn)?shù)的必要性。北師大版教材還設(shè)計了套圈比賽選派隊員的練習(xí)題，讓學(xué)生多次經(jīng)歷百分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過程。而人教版教材的編寫順序略有不同，先用文字直接給出百分?jǐn)?shù)的描述性定義，在學(xué)生對百分?jǐn)?shù)有基本的了解后，再通過投籃情境，引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)會把分?jǐn)?shù)、小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。

（二）通過抽樣獲得數(shù)據(jù)的素材

通過隨機抽樣獲得的數(shù)據(jù)是常見的隨機數(shù)據(jù)，廣泛應(yīng)用于各類調(diào)查研究。分析樣本數(shù)據(jù)的性質(zhì)或特征可推斷總體的情況，這種以樣本推斷總體的方式是“統(tǒng)計意義”的典型表現(xiàn)，但由于小學(xué)階段沒有安排學(xué)習(xí)抽樣的相關(guān)知識，所以對理解這方面的含義不作要求。然而，有些版本教材還是設(shè)計了此類情境。如北師大版教材和蘇教版教材中有關(guān)合格率的內(nèi)容，及蘇教版教材中收視率的情境（如圖2）。北師大版教材中，相關(guān)情境作為小數(shù)、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)的例題呈現(xiàn)；蘇教版教材的兩個情境則均作為課后練習(xí)呈現(xiàn)。由于2011年版《課程標(biāo)準(zhǔn)》并沒有強調(diào)讓學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，因此兩個版本教材只是提到了數(shù)據(jù)來源是“抽樣”，側(cè)重于如何計算百分率，而沒有對抽查數(shù)量是怎樣獲得的進行理解和討論。

（三）試驗設(shè)計獲得數(shù)據(jù)的素材

圖3是人教版教材中的發(fā)芽率練習(xí)題。如圖所示，種子發(fā)芽情況具有隨機性，實驗中種子的總數(shù)相同，但發(fā)芽率不同，屬于試驗設(shè)計所得數(shù)據(jù)。2011年版《課程標(biāo)準(zhǔn)》指導(dǎo)下的教材內(nèi)容僅僅停留在讓學(xué)生會算百分率的層面，并沒有引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)據(jù)對比，以感悟數(shù)據(jù)的隨機性會帶來發(fā)芽率的浮動，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律的統(tǒng)計價值。

二、調(diào)查學(xué)情確定單元重點，有效助力學(xué)生理解“統(tǒng)計意義”

基于前面對教材的分析，筆者篩選出了有助于初步滲透百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的素材或情境。那么學(xué)生的認(rèn)知起點又在哪兒呢？百分?jǐn)?shù)歸于“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域后，學(xué)生初次學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)時該側(cè)重百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)意義還是統(tǒng)計意義呢？對此，筆者設(shè)計了兩道前測題，對學(xué)生進行前測。

前測題

1.找出生活中含有百分?jǐn)?shù)的信息。

2.飛碟射擊是奧運會射擊比賽項目之一。按比賽規(guī)則，擊中碟靶被稱作“中靶”。淘氣共射擊20次，命中9次，命中率為45%。

①淘氣的命中率為45％，你認(rèn)為45％表示什么意思？

②奇思共射擊2次，命中1次，命中率為50%，你建議由他代替淘氣參加比賽嗎？寫出你的理由。

從第1題中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能夠觀察到生活中存在著大量關(guān)于百分?jǐn)?shù)的信息（如圖4）。學(xué)生呈現(xiàn)的作品都是表達確定數(shù)據(jù)關(guān)系的百分?jǐn)?shù)，而缺少表達隨機數(shù)據(jù)的百分?jǐn)?shù)。

學(xué)生完成第2題第①小題的情況如表2所示。多數(shù)學(xué)生雖然能夠用自己的語言解釋命中率45%的意義，但表達的是每射擊100次就能命中45次。這說明他們沒有認(rèn)識到百分?jǐn)?shù)表達的是兩個量的倍數(shù)關(guān)系。

學(xué)生完成第2題第②小題的情況如表3所示。絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為奇思“可以”代替淘氣參加比賽，因為他們只是單純地比較了大小就立馬作出判斷。只有6名學(xué)生認(rèn)為不可以，但他們也只是對數(shù)據(jù)的隨機性有點感覺，沒能給出充分的理由。

通過對前測結(jié)果的分析，筆者進一步明確：在單元教學(xué)中，既要有全面豐富的素材交流，讓學(xué)生能充分理解百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)意義，又應(yīng)重視百分?jǐn)?shù)表示隨機數(shù)據(jù)的例子，讓學(xué)生感悟到百分?jǐn)?shù)對刻畫、描述、分析隨機數(shù)據(jù)的作用，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識。

三、整體設(shè)計滲透“百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義”的單元學(xué)習(xí)任務(wù)

基于以上的教材分析及學(xué)情分析，筆者確立了這樣的教學(xué)思路：用好教材中的素材，在以百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)意義為主線的同時，充分挖掘其背后的統(tǒng)計價值。通過問題串的設(shè)計，凸顯隨機情境所蘊含的統(tǒng)計價值，讓學(xué)生初步感悟百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)意識。

本單元學(xué)習(xí)任務(wù)的設(shè)計將北師大版教材中原有的百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識、合格率（小數(shù)、分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)）、營養(yǎng)含量（百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)、分?jǐn)?shù)）、這月我當(dāng)家（解決問題）、練習(xí)三（單元練習(xí)）五個學(xué)習(xí)內(nèi)容整合為追根溯源百分?jǐn)?shù)、我是靠譜質(zhì)檢員、這月我當(dāng)家、我是靠譜分析師四個主題活動，并將其細分為20個學(xué)習(xí)任務(wù)（如表4），把應(yīng)用意識、數(shù)據(jù)意識的培養(yǎng)滲透到每個學(xué)習(xí)任務(wù)中。整個單元的教學(xué)在原有注重百分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)意義的基礎(chǔ)上，還設(shè)計了凸顯百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的活動內(nèi)容。

（一）初識百分?jǐn)?shù)，思考數(shù)據(jù)隨機性

主題活動一：追根溯源百分?jǐn)?shù)

任務(wù)1：比一比，選誰做代表

作為本單元的起始課，教師結(jié)合學(xué)校六年級的特色活動，創(chuàng)設(shè)了為籃球聯(lián)賽推選隊員的真實情境。教師出示四名學(xué)生投球情況的記錄表（如表5），引導(dǎo)學(xué)生思考：如果我們要派一名同學(xué)作為代表去參加投球比賽，你們認(rèn)為選誰做代表合適？

學(xué)生理解百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)意義后，教師通過兩次追問，滲透百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，使學(xué)生體會到百分?jǐn)?shù)也可以表示隨機數(shù)據(jù)；初步滲透統(tǒng)計結(jié)果的隨機性會引起百分?jǐn)?shù)的變化，使學(xué)生感悟到隨著數(shù)據(jù)的增多，百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的參考價值也會增加，也就是說數(shù)據(jù)越多，命中率這個百分?jǐn)?shù)越能代表選手的實際水平，也就越具有參考價值。

【教學(xué)片段】

師：如果再比一場，笑笑還會是第一名嗎？

生：不一定。如果她真正上場比賽，她的命中率會有一些浮動，比如當(dāng)天可能風(fēng)大點，比如看到評委會緊張。

生：這個90%只是她大概的水平，跟投球數(shù)量也有關(guān)系。如果她就投了一個球，而且投進了，那么能說她的投籃命中率是100%嗎？

師：既然大家認(rèn)為笑笑不一定能得第一，那么統(tǒng)計選拔賽的成績還有意義嗎？

生：我覺得有意義。笑笑能在選拔賽中得第一，就證明她是有一定水平的。打個比方，如果這場選拔賽你只有50%的命中率，那下一場比賽你會有100%的命中率嗎？可能性很小。所以這場選拔賽的成績還是有參考意義的。

生：笑笑在這場選拔賽中是第一，她的狀態(tài)起伏可能不會很大，比如這次命中率是90%，下次命中率可能是88%或92%。雖然笑笑不一定每次都是第一，但還是有參考意義的。如果想讓這些數(shù)據(jù)更準(zhǔn)確、更具體，可以讓他們多賽幾場，那統(tǒng)計的命中率會更可靠。

從對話中不難看出，問題串確實引發(fā)了學(xué)生對數(shù)據(jù)隨機性的思考。同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，那哪次“命中率”能代表他們的水平呢？很難說。只有投的次數(shù)更多一些，才能發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”。當(dāng)有足夠多的數(shù)據(jù)支撐時，“命中率”才能真正代表他們的水平，使用這個“命中率”作判斷和預(yù)測才能“更準(zhǔn)”，但仍然可能有意外。

（二）由部分推斷整體，初步體會隨機抽樣的統(tǒng)計價值

主題活動二：我是靠譜質(zhì)檢員

任務(wù)5：議一議，抽樣調(diào)查合格率

“抽樣調(diào)查合格率”這一內(nèi)容讓學(xué)生體會到，在大數(shù)據(jù)時代，生活中經(jīng)常有需要通過隨機抽查一部分來推斷整體情況的事件。教師要借助真實情境，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)據(jù)收集過程進行思考，即引導(dǎo)學(xué)生討論“如何產(chǎn)生隨機數(shù)據(jù)使樣本具有代表性”，從而讓學(xué)生進一步感悟百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義。

【教學(xué)片段】

師：你認(rèn)為合格率80%這個數(shù)據(jù)是怎么得來的？

生：合格率是通過計算得到的，是抽查的這一批貨物中，合格產(chǎn)品的數(shù)量占抽查總數(shù)的百分之幾。

生：情境中寫明了是抽查的箱數(shù)，說明檢查的是一小部分箱數(shù)。一批貨物數(shù)量太多，每個都檢查太浪費時間，所以要抽取一部分作為代表。就像如果要檢查一批薯片的合格率，總不能每袋都打開吃一口吧！

（教師出示圖5）

師：這個合格率能代表這批產(chǎn)品的整體情況嗎？

生：我覺得可以。雖然這批貨物中可能有個別瑕疵品，但是我們可以用一部分產(chǎn)品的合格情況來預(yù)測整體情況。當(dāng)然，抽查的數(shù)量越多，得到的數(shù)據(jù)就會越精準(zhǔn)。

生：我覺得不能代表整體水平。從圖上看，這些抽查的燈泡是這個老板準(zhǔn)備好的，他說隨便檢驗，合格率100%，那他很有可能都提前試過了，所以這個結(jié)果是不可信的。要想得到的合格率可信，必須要真的去抽查，比如每箱抽查幾個燈泡，或者在每天生產(chǎn)的燈泡中隨機抽取一箱來檢驗，而不能去抽查提前準(zhǔn)備好的燈泡。

在課堂討論的過程中，學(xué)生逐步感受到不僅收集的數(shù)據(jù)要盡可能多，還要學(xué)會隨機取樣，這樣計算出的合格率才能反映整體水平。

（三）多角度分析數(shù)據(jù)，逐步加深對數(shù)據(jù)隨機性的思考

主題活動四：我是靠譜分析師

任務(wù)18：議一議，前測問題再討論

通過一個單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生是否對百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義有所感悟呢？教師引導(dǎo)學(xué)生再次討論本單元前測題中第2題的第②小題，以分析學(xué)生學(xué)習(xí)前后的變化。

【教學(xué)片段】

生：不能代替。射擊和我們之前討論過的投籃一樣，雖然他這次的命中率稍微高一點，但下次就不一定了。

生：我覺得根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)無法給出建議。因為雖然現(xiàn)在奇思的命中率高，但射擊次數(shù)太少了，不能代表他的整體水平。射擊次數(shù)越多，命中率才越能代表他的整體水平。

從學(xué)生的回答可以看出，通過本單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生在深入理解百分?jǐn)?shù)數(shù)學(xué)意義的同時，感受到百分?jǐn)?shù)具有能夠刻畫及預(yù)測隨機數(shù)據(jù)的作用。

任務(wù)19：想一想，我給教練提建議

本學(xué)習(xí)任務(wù)要求學(xué)生綜合運用百分?jǐn)?shù)的意義，分?jǐn)?shù)、小數(shù)和百分?jǐn)?shù)的互化及求百分率等知識，綜合處理信息，并對所獲得的數(shù)據(jù)信息進行分析，形成自己的觀點。

教師出示如下的任務(wù)單。

任務(wù)單

在本單元的學(xué)習(xí)中，我們一起研究了關(guān)于“選誰做代表”的問題。其實，真實比賽中的隨機性遠不止這些，如投球的次數(shù)、運動員的狀態(tài)、自己和對手的戰(zhàn)術(shù)站位等。在這么多不穩(wěn)定因素的作用下，僅僅一次比賽的數(shù)據(jù)確實不能準(zhǔn)確地描述運動員的水平。下面是兩名同學(xué)幾次籃球比賽投籃情況的統(tǒng)計?；@球隊教練想要挑選一名同學(xué)進入校籃球隊，結(jié)合這些數(shù)據(jù)，你能給教練選拔隊員提供一些建議嗎？在下面寫一寫、畫一畫你的分析過程。

題目的開放度很大，恰恰能考核學(xué)生對百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的理解和綜合運用能力。活動反饋顯示，學(xué)生能夠想到用百分?jǐn)?shù)對數(shù)據(jù)進行分析。一些學(xué)生想到用折線統(tǒng)計圖分析成績變化趨勢。同樣是畫統(tǒng)計圖，學(xué)生基于不同的目標(biāo)對選笑笑還是選妙想有著不同的思考。有的選笑笑，因為四次比賽中有三次都是笑笑命中率更高；有的選妙想，理由是妙想成績比較平穩(wěn)；還有的學(xué)生建議教練看看對手的情況，對手命中率低就選成績平穩(wěn)的妙想，對手命中率高就選有超常發(fā)揮可能性的笑笑。

令人欣慰的是，無論表達哪種觀點，學(xué)生都能借助百分?jǐn)?shù)，用數(shù)據(jù)說理。通過這道題，學(xué)生由“認(rèn)”百分?jǐn)?shù)跨越到“用”百分?jǐn)?shù)，并能結(jié)合自己的統(tǒng)計經(jīng)驗綜合處理數(shù)據(jù)。本單元的教學(xué)中，不同主題的學(xué)習(xí)活動設(shè)計凸顯了對“百分?jǐn)?shù)”單元的整體思考，切實落實了百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義。當(dāng)然，學(xué)生對百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的理解不是短短幾課時就能達成的，教師可在后續(xù)“數(shù)據(jù)處理”單元增加“用統(tǒng)計圖表達空氣質(zhì)量變化”和“確定標(biāo)準(zhǔn)”兩個內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生進一步感悟百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)意識。

綜上所述，教師在2022年版《課程標(biāo)準(zhǔn)》的指導(dǎo)下，基于教材研磨和學(xué)情分析，引導(dǎo)學(xué)生帶著任務(wù)去研究、發(fā)現(xiàn)、獲得，通過開展不同的學(xué)習(xí)活動，使學(xué)生對百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的體驗與感悟貫穿單元學(xué)習(xí)始終。學(xué)生因此開始嘗試辯證地看待生活中存在的“現(xiàn)象或事實”。這不僅僅是一種方法或是技術(shù)，更蘊含著學(xué)生認(rèn)識世界的思維方式，這也正是百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的育人價值所在。

參考文獻：

［1］陳希孺.機會的數(shù)學(xué)［M］.北京：清華大學(xué)出版社；廣州：暨南大學(xué)出版社，2000：58-59.

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