于飛 何優(yōu)優(yōu)

摘 要：直觀想象是學(xué)習(xí)圖形運(yùn)動(dòng)內(nèi)容的重要方式。圖形運(yùn)動(dòng)學(xué)習(xí)中直觀想象的運(yùn)用，可以借助變化與比較的策略，具體包括在關(guān)注軌跡中聚焦變化過(guò)程、在比較異同中建立數(shù)學(xué)模型兩個(gè)層次。由此，在六年級(jí)設(shè)計(jì)和實(shí)施《圖形的運(yùn)動(dòng)》綜合練習(xí)課，引導(dǎo)學(xué)生想象運(yùn)動(dòng)軌跡，系統(tǒng)感受圖形運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律；比較變化要素，切實(shí)體會(huì)圖形運(yùn)動(dòng)的模型價(jià)值。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；直觀想象；圖形運(yùn)動(dòng)；綜合練習(xí)

一、直觀想象與圖形運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)

作為直觀想象的重要載體，圖形是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象之一。運(yùn)動(dòng)變換是研究圖形的重要視角，有助于整體認(rèn)識(shí)圖形，比較把握?qǐng)D形要素之間的關(guān)系。圖形的運(yùn)動(dòng)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，涉及平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)等剛體運(yùn)動(dòng)以及放大、縮小等形變運(yùn)動(dòng)。

不同的運(yùn)動(dòng)因?yàn)殛P(guān)注不同的要素，呈現(xiàn)出各自的特點(diǎn)。比如，平移運(yùn)動(dòng)關(guān)注平移方向和平移距離等，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)關(guān)注旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度等，而軸對(duì)稱(chēng)運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是（圖形）在空間中繞軸（線(xiàn)）旋轉(zhuǎn)180°。圖形運(yùn)動(dòng)的學(xué)習(xí)，不能只關(guān)注運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，而需要更多關(guān)注運(yùn)動(dòng)的過(guò)程。靜止的圖形比較容易通過(guò)直觀來(lái)認(rèn)識(shí)，而運(yùn)動(dòng)的圖形更需要通過(guò)想象運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，把握運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。因此，直觀想象是學(xué)習(xí)圖形運(yùn)動(dòng)內(nèi)容的重要方式，也是要培養(yǎng)的重要核心素養(yǎng)。特別是面對(duì)復(fù)雜的圖形運(yùn)動(dòng)，想象運(yùn)動(dòng)過(guò)程和把握運(yùn)動(dòng)結(jié)果更需要較強(qiáng)的直觀想象能力。

二、策略要義

首先是變化。變化指物體運(yùn)動(dòng)的情況，更加聚焦運(yùn)動(dòng)的過(guò)程。在圖形運(yùn)動(dòng)中指運(yùn)動(dòng)從開(kāi)始到結(jié)束的整個(gè)過(guò)程，包括運(yùn)動(dòng)軌跡所形成的新圖形等。對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的感受與體驗(yàn)有助于打開(kāi)想象空間，培養(yǎng)直觀想象能力。其次是比較。比較指對(duì)比事物的相同與差異，從而明晰事物的本質(zhì)，加深理解。圖形經(jīng)過(guò)運(yùn)動(dòng)就有變化，由此便可比較，從而把握“變”與“不變”的規(guī)律，發(fā)展直觀理解能力與空間想象能力。變化與比較作為一種策略，具體包括兩個(gè)層次：

一是在關(guān)注軌跡中聚焦變化過(guò)程。運(yùn)動(dòng)軌跡其實(shí)是運(yùn)動(dòng)過(guò)程的顯性化描述。圖形運(yùn)動(dòng)知識(shí)的學(xué)習(xí)，從原先僅關(guān)注運(yùn)動(dòng)的結(jié)果轉(zhuǎn)變到聚焦運(yùn)動(dòng)變化的整個(gè)過(guò)程，關(guān)注運(yùn)動(dòng)時(shí)圖形中點(diǎn)、線(xiàn)、面的變化，不僅需要掌握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)的相關(guān)要素，而且需要觀察想象、比較思考圖形運(yùn)動(dòng)留下的軌跡。軌跡掃過(guò)形成的圖形時(shí)常是多元的、無(wú)痕的，于是，就有了深入研究的素材。學(xué)生對(duì)過(guò)程的想象遠(yuǎn)比常規(guī)對(duì)結(jié)果的觀察更有挑戰(zhàn)性，也就更有利于其直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)。

二是在比較異同中建立數(shù)學(xué)模型。想象運(yùn)動(dòng)過(guò)程的軌跡圖形，比較運(yùn)動(dòng)前后的“變”（異）與“不變”（同）要素，也是一種建立數(shù)學(xué)模型從而解決問(wèn)題（解釋結(jié)論）的過(guò)程。這樣的過(guò)程很有挑戰(zhàn)性，是對(duì)學(xué)生直觀想象、推理能力、模型意識(shí)、應(yīng)用能力等的綜合考驗(yàn)，也有助于學(xué)生進(jìn)一步把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)的特征和規(guī)律。

三、實(shí)踐案例

小學(xué)階段，教學(xué)圖形運(yùn)動(dòng)的單一方式（如平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)等）時(shí)，教師一般會(huì)采用“出示運(yùn)動(dòng)方式—按照規(guī)定畫(huà)圖—?dú)w納運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)”這樣的模式（流程）。關(guān)于圖形運(yùn)動(dòng)的綜合學(xué)習(xí)（特別是與解決實(shí)際問(wèn)題結(jié)合的學(xué)習(xí)）相對(duì)較少，直觀想象運(yùn)動(dòng)變化的體驗(yàn)非常缺乏，造成學(xué)生解決與圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)困難。

我們用“在一個(gè)邊長(zhǎng)為6 cm的正方形中有一個(gè)直徑是4 cm的圓，現(xiàn)將這個(gè)圓在正方形內(nèi)任意移動(dòng)，它不能接觸到的面積有多大？”這個(gè)問(wèn)題對(duì)城區(qū)某學(xué)校的315位六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)接近三分之二的學(xué)生解答錯(cuò)誤，甚至有27.9%的學(xué)生完全沒(méi)有思考方向，呈現(xiàn)的答案與正確答案相距甚遠(yuǎn)。這樣的結(jié)果表明，學(xué)生在解決與圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，直觀想象能力不足，想象不出圖形運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，抽象不出解決問(wèn)題的模型。

因此，我們?cè)诹昙?jí)設(shè)計(jì)并實(shí)施了《圖形的運(yùn)動(dòng)》綜合練習(xí)課。下面，以這節(jié)課為例，具體闡述圖形運(yùn)動(dòng)學(xué)習(xí)中直觀想象運(yùn)用（相關(guān)問(wèn)題解決）的變化與比較策略。

（一）想象運(yùn)動(dòng)軌跡，系統(tǒng)感受圖形運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律

【教學(xué)活動(dòng)1】 將一條線(xiàn)段作運(yùn)動(dòng)

師 一根長(zhǎng)4厘米的線(xiàn)段運(yùn)動(dòng)后，軌跡掃過(guò)的面可能是怎樣的圖形？想象一下。

生? 長(zhǎng)方形。

師 怎樣的長(zhǎng)方形？怎樣得到的呢？

生 比如線(xiàn)段向右平移3厘米，軌跡經(jīng)過(guò)的面就是一個(gè)長(zhǎng)4厘米、寬3厘米的長(zhǎng)方形。

（教師引導(dǎo)學(xué)生想象線(xiàn)段運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，然后利用動(dòng)畫(huà)演示，畫(huà)面定格為圖1。）

師? 除了得到長(zhǎng)方形，還有不同的圖形嗎？

生? 得到一個(gè)圓。

師? 一個(gè)圓？想象一下，會(huì)是多大的圓？

生? 半徑2厘米的圓。繞中點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°即可。

生 還可以是半徑4厘米的圓。以線(xiàn)段的一端為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)360°即可。

……

（教師引導(dǎo)學(xué)生想象線(xiàn)段運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，然后利用動(dòng)畫(huà)演示，畫(huà)面定格為圖2。）

師 將一條簡(jiǎn)單的線(xiàn)段作運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵要素不同，軌跡可以是多個(gè)不同的圖形。

從一條簡(jiǎn)單線(xiàn)段的運(yùn)動(dòng)開(kāi)始探究，感受軌跡掃過(guò)的面，學(xué)生容易接受和理解。教學(xué)時(shí)，先讓學(xué)生想象通過(guò)怎樣的運(yùn)動(dòng)可以得到怎樣的軌跡圖形，再由學(xué)生描述或板演，最后動(dòng)畫(huà)演示過(guò)程，從而不僅鞏固圖形運(yùn)動(dòng)的要素，也讓學(xué)生初步感知運(yùn)動(dòng)的軌跡圖形。

【教學(xué)活動(dòng)2】 將一個(gè)三角形作運(yùn)動(dòng)

教師將線(xiàn)段換成三角形，讓學(xué)生想象其運(yùn)動(dòng)后軌跡可能是怎樣的圖形。

研究三角形運(yùn)動(dòng)后軌跡形成的圖形，相對(duì)復(fù)雜得多。特別是旋轉(zhuǎn)，因?yàn)樾D(zhuǎn)中心和角度的不同，軌跡形成的圖形可能是一個(gè)不規(guī)則的圖形，需要想象其中的某段圓弧。完成這樣的活動(dòng)，不僅需要回憶圖形運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)，更需要將圖形運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)綜合起來(lái)考慮，既可以通過(guò)平移去想象，也可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)去想象，當(dāng)然還可以通過(guò)軸對(duì)稱(chēng)去想象。因?yàn)閳D形運(yùn)動(dòng)知識(shí)的應(yīng)用是開(kāi)放的，所以其探索形成的結(jié)果（包括軌跡）也是開(kāi)放的，從而便于學(xué)生將所學(xué)知識(shí)納入系統(tǒng)中去分析、思考、想象與應(yīng)用。

（二）比較變化要素，切實(shí)體會(huì)圖形運(yùn)動(dòng)的模型價(jià)值

“圖形的運(yùn)動(dòng)”的學(xué)習(xí)不僅有想象運(yùn)動(dòng)過(guò)程、描述運(yùn)動(dòng)特征、體會(huì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的要求，而且有學(xué)以致用，解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的要求。運(yùn)用圖形運(yùn)動(dòng)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，其關(guān)鍵在兩個(gè)地方：一是想象生活中實(shí)物的運(yùn)動(dòng)情形，比較變化要素；二是結(jié)合情境分析，建立問(wèn)題模型。

【教學(xué)活動(dòng)3】 計(jì)算掃地機(jī)器人的清掃面積

師 有一臺(tái)直徑40厘米的圓形掃地機(jī)器人，要清掃一間儲(chǔ)物間的地面，儲(chǔ)物間的地面正好是一個(gè)邊長(zhǎng)為1.4米的正方形。如果機(jī)器人可以在儲(chǔ)物間地面上任意移動(dòng)，它能清掃到全部地面嗎？若不能，則清掃不到的地面有多大？

（學(xué)生自主嘗試畫(huà)圖、計(jì)算。）

師 （展示學(xué)生畫(huà)出的兩種圖形，如圖3、圖4所示）這兩種畫(huà)法表示出了清掃不到的部分？你認(rèn)為哪種畫(huà)法是正確的呢？

（學(xué)生小組討論，然后全班交流。）

生 我們小組認(rèn)為第二種畫(huà)法是正確的。因?yàn)閽叩貦C(jī)器人是直徑40厘米的圓，所以四個(gè)角上，空白部分應(yīng)該跟直徑40厘米的圓有關(guān)。第一個(gè)圖形中，圓太大了，空白部分也太大了。

生? 可以拿一個(gè)小圓在正方形里運(yùn)動(dòng)試一下。只需把這個(gè)圓放在正方形的四個(gè)角上，空白部分就是清掃不到的地方，其他地方都可以通過(guò)平移清掃到。

（該生上臺(tái)，操作課件，形成下頁(yè)圖5。）

比較哪種畫(huà)法是正確的，實(shí)際是建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。在討論中，通過(guò)直觀演示，幫助學(xué)生想象與理解四個(gè)角清掃不到的部分正好是圓形掃地機(jī)器人與正方形地面一個(gè)直角形成的“外方內(nèi)圓”部分，從而建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，突破解題的難點(diǎn)。

【教學(xué)活動(dòng)4】 限制運(yùn)動(dòng)范圍，計(jì)算掃地機(jī)器人的清掃面積

教師出示變式問(wèn)題1：想象一下，如果機(jī)器人沿儲(chǔ)物間地面的四周清掃一圈，它清掃不到的地面有多大？與之前的問(wèn)題相比，有哪些相同的地方，有哪些不同的地方？讓學(xué)生嘗試解決。

限制平移運(yùn)動(dòng)的范圍，從圓在正方形內(nèi)任意平移到只沿四周平移，對(duì)想象的要求更高了，特別是得到中間的空白部分是一個(gè)正方形。如何幫助學(xué)生想象、理解呢？可以選取圓周的上下左右4個(gè)點(diǎn)進(jìn)行平移，形成4條線(xiàn)段，就是圓形平移的邊界（如圖6所示），從而幫助學(xué)生想象、理解為什么形成的是一個(gè)正方形，而不是有弧線(xiàn)的圖形。

【教學(xué)活動(dòng)5】 改變生活事件，比較割草機(jī)的割草面積

教師出示變式問(wèn)題2：工人用一臺(tái)清掃面為半圓形（其半徑為20厘米）的割草機(jī)在一塊草坪上割草，割草機(jī)分別向右平移10米、向下平移10米（如圖7所示），軌跡掃過(guò)的面積一樣大嗎？若不一樣，則相差多少？讓學(xué)生嘗試解決。

改變生活事件，一則拓展學(xué)生的視野，使其了解圖形運(yùn)動(dòng)在生活中廣泛存在；二則仍然著眼于運(yùn)動(dòng)過(guò)程的想象與數(shù)學(xué)模型的建立，突出想象能力、思維能力的發(fā)展。事實(shí)上，從圖形運(yùn)動(dòng)與問(wèn)題核心的關(guān)系來(lái)看，解決這一問(wèn)題的最佳方法是比較兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積。

總的來(lái)說(shuō)，《圖形的運(yùn)動(dòng)》綜合練習(xí)課，沒(méi)有停留在基本知識(shí)和基本技能的操練上，而是以變化與比較的視角，聚焦運(yùn)動(dòng)過(guò)程形成的軌跡圖形，讓課堂有想象和思辨的空間與挑戰(zhàn)，從而幫助學(xué)生在解決生活實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中自主建立數(shù)學(xué)模型，提升綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)。