劉園園

［摘? 要］ 新課改強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展，需注重學(xué)生的自主探索、實(shí)踐與合作交流等. 但在實(shí)際教學(xué)中，有不少教師冠以“探究”之名，卻無(wú)“探究”之實(shí)，導(dǎo)致探究活動(dòng)流于形式. 文章以“勾股定理”的教學(xué)為例，從一個(gè)教學(xué)實(shí)錄的分析與改進(jìn)出發(fā)，具體談?wù)勌骄啃詫W(xué)習(xí)法在教學(xué)中的應(yīng)用.

［關(guān)鍵詞］ 教學(xué)活動(dòng)；勾股定理；教學(xué)改進(jìn)；自主探究

數(shù)學(xué)是人類(lèi)進(jìn)步的成果，經(jīng)歷了探究和認(rèn)知的過(guò)程，數(shù)學(xué)教學(xué)是一種具有創(chuàng)造性的教學(xué)活動(dòng). 新課標(biāo)提出：數(shù)學(xué)教學(xué)要倡導(dǎo)學(xué)生積極、主動(dòng)地參與探索過(guò)程，力求讓學(xué)生在不同形式的自主學(xué)習(xí)與探究活動(dòng)中，經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)展與再創(chuàng)造，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造帶來(lái)的快樂(lè)［1］. 可見(jiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)追求的是具有高效性與創(chuàng)新性的教學(xué).

教學(xué)中，有些教師誤解了新課標(biāo)的要求，將課堂完完全全地交給學(xué)生，美其名曰為自主探究，卻毫無(wú)活動(dòng)體驗(yàn)、感悟可言，壓根兒就達(dá)不到探究應(yīng)有的效果. 由此引發(fā)了筆者的思考：探究式學(xué)習(xí)的素材該如何選擇？用怎樣的方式既能凸顯學(xué)生的主體地位，又能讓學(xué)生的思維不偏離教學(xué)目標(biāo)？教師這個(gè)“掌舵手”該怎樣起到恰到好處的引導(dǎo)作用？基于以上思考，本文以“勾股定理”的教學(xué)為例，談一些感悟，與同仁共勉.

教材分析

勾股定理是初中階段，乃至整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中較為重要的一個(gè)章節(jié). 教材編者以古埃及人用繩子打結(jié)，制作直角的情境引出a2+b2=c2的猜想，并以此作為判斷直角三角形的依據(jù). 可見(jiàn)，勾股定理是根據(jù)三角形三條滿足特殊數(shù)量關(guān)系的邊來(lái)判定三角形是否為直角三角形的一個(gè)定理.

教學(xué)實(shí)錄

師：如圖1，這是一枚紀(jì)念郵票，其圖案是以一個(gè)著名的數(shù)學(xué)定理為依據(jù)設(shè)計(jì)而來(lái)的. 現(xiàn)在請(qǐng)大家觀察圖中所呈現(xiàn)的方格數(shù)量，說(shuō)說(shuō)你們的發(fā)現(xiàn).

教師引導(dǎo)學(xué)生將郵票中的圖案，轉(zhuǎn)化到方格紙中（如圖2所示）.

師：觀察圖2，每個(gè)小方格都是面積為1的小正方形，其中分別以BC、AC為邊長(zhǎng)的正方形面積分別為9、16，若想知道以AB為邊長(zhǎng)的正方形面積，該怎么處理呢？

設(shè)計(jì)意圖 引導(dǎo)學(xué)生從割補(bǔ)法去探尋問(wèn)題的答案，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力.

學(xué)生自主探究得出答案后，教師鼓勵(lì)學(xué)生觀察這三個(gè)正方形面積之間的關(guān)系，嘗試發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律.

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家在方格紙上任意畫(huà)一個(gè)三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的直角三角形，以此三角形的三條邊往外分別作正方形，并計(jì)算三個(gè)正方形的面積. 再結(jié)合探究結(jié)論，說(shuō)說(shuō)你們的發(fā)現(xiàn).

……

在學(xué)生推導(dǎo)出勾股定理后，教師對(duì)與之相關(guān)的知識(shí)做出補(bǔ)充與說(shuō)明，尤其介紹了勾股定理的來(lái)歷，以增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).

教學(xué)思考

新課標(biāo)對(duì)本章節(jié)提出的教學(xué)要求是：探索勾股定理與逆定理，且能運(yùn)用它們來(lái)解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 鑒于此，本節(jié)課的教學(xué)主要定位在探究式學(xué)習(xí)上. 觀察這位教師的執(zhí)教過(guò)程，筆者認(rèn)為他并沒(méi)有吃透探究式學(xué)習(xí)的理論，本節(jié)課的探究效益并未達(dá)到預(yù)期目的. 究其主要原因，主要體現(xiàn)在以下幾方面：

1. 價(jià)值取向

教法決定了學(xué)法，學(xué)習(xí)方法大致分為“接受式學(xué)習(xí)”與“探究式學(xué)習(xí)”兩大類(lèi). 布魯納提出：教學(xué)過(guò)程其實(shí)就是學(xué)生對(duì)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程，這種學(xué)習(xí)上的發(fā)現(xiàn)與科學(xué)家的發(fā)現(xiàn)具有相同的性質(zhì)，都是積極思維活動(dòng)的產(chǎn)物，因此，兩者的價(jià)值與智力功能是相通的. 鑒于此，學(xué)生在恰當(dāng)?shù)慕谭ㄖ笇?dǎo)下，應(yīng)形成良好的學(xué)法，要像科學(xué)家一樣成為數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)者. 但此教學(xué)片段，并未體現(xiàn)出明顯的探究式學(xué)習(xí)的價(jià)值取向，未能體現(xiàn)知識(shí)的“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程.

2. 設(shè)計(jì)缺陷

（1）問(wèn)題缺乏“生長(zhǎng)性”

探究式學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于問(wèn)題的設(shè)計(jì)，學(xué)生所探究的問(wèn)題可以由教師提供，也可以是學(xué)生在探究中自主提出. 本教學(xué)片段所呈現(xiàn)的問(wèn)題，由教師提供. 這種安排與教師長(zhǎng)期的教學(xué)習(xí)慣有關(guān)，但此問(wèn)題情境僅僅生成了一個(gè)讓學(xué)生自主驗(yàn)證的結(jié)論，即以直角三角形的兩條直角邊為邊長(zhǎng)構(gòu)造出的兩個(gè)正方形的面積和，與以斜邊構(gòu)造出的正方形的面積是相等的. 但這個(gè)結(jié)論并不是來(lái)自學(xué)生的自主探究，也不是學(xué)生自主探究后提出的. 顯然，此過(guò)程缺乏了培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

（2）思維缺乏“著力點(diǎn)”

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，主要體現(xiàn)在是否能用類(lèi)比、抽象、概括或歸納等方法，合情推理出相關(guān)結(jié)論. 教師應(yīng)在教學(xué)中尋找學(xué)生思維的“著力點(diǎn)”，讓學(xué)生的思維具備發(fā)展的營(yíng)養(yǎng)基. 然而，本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)，教師將學(xué)生直接引導(dǎo)至用方格紙與割補(bǔ)法驗(yàn)證相關(guān)結(jié)論. 顯然，此過(guò)程錯(cuò)過(guò)了訓(xùn)練學(xué)生思維的好時(shí)機(jī)，只是讓學(xué)生探究一個(gè)面積關(guān)系的驗(yàn)證過(guò)程，極大地弱化了探究式學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生思維能力培養(yǎng)的重要作用.

（3）探究缺乏“層次性”

從新課標(biāo)對(duì)本節(jié)課的要求來(lái)看，除了要掌握基礎(chǔ)知識(shí)與技能外，還有探索、體驗(yàn)勾股定理形成過(guò)程的目標(biāo). 初中階段的學(xué)生思維水平存在較大的差異，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)考慮大多數(shù)學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受能力，盡可能照顧到不同水平層次學(xué)生的認(rèn)知情況. 本節(jié)課更適合應(yīng)用目標(biāo)層次較為適中的“質(zhì)疑法”來(lái)探究. 但此教學(xué)片段，并未能體現(xiàn)教學(xué)的層次性.

教學(xué)改進(jìn)

基于以上教學(xué)思考，筆者結(jié)合自身的執(zhí)教經(jīng)驗(yàn)與聽(tīng)課的相關(guān)課例，認(rèn)為本節(jié)課在“探究式學(xué)習(xí)”的價(jià)值取向以及教學(xué)設(shè)計(jì)上，可進(jìn)一步優(yōu)化. 并在實(shí)際教學(xué)中，特意進(jìn)行了課堂教學(xué)實(shí)驗(yàn)，且獲得了較好的成效. 現(xiàn)將設(shè)計(jì)思想與教學(xué)過(guò)程整理如下.

1. 情境創(chuàng)設(shè)

師：三角形是大家所熟悉的一種圖形，它的三條邊必須滿足怎樣的關(guān)系？

生（眾）：三角形的任意兩條邊之和必須大于第三條邊，且任意兩邊之差要小于第三條邊.

師：不錯(cuò)！由此我們都知道任意三角形的三條邊中，兩邊之和或差都與第三條邊不相等. 現(xiàn)在請(qǐng)大家發(fā)揮自己的想象，進(jìn)行一次大膽地猜想，提一個(gè)與三角形三條邊具有明確數(shù)量關(guān)系的想法.

設(shè)計(jì)意圖 以學(xué)生熟悉的三角形三條邊的數(shù)量關(guān)系作為起點(diǎn)（低起點(diǎn)，符合各個(gè)層次學(xué)生的認(rèn)知），鼓勵(lì)學(xué)生以此理論作為思維的“著力點(diǎn)”，進(jìn)行類(lèi)比、歸納、邏輯推理等，并大膽提出三角形三條邊數(shù)量關(guān)系的問(wèn)題（學(xué)生自主提出探究問(wèn)題）.

此過(guò)程即能培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力與問(wèn)題意識(shí)，還能有效地挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，為“探究式學(xué)習(xí)”的展開(kāi)奠定基礎(chǔ). 另一方面，此問(wèn)給學(xué)生提供了足夠的思維空間，讓每個(gè)學(xué)生都能從自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，進(jìn)行思考，使得每個(gè)學(xué)生都能有所收獲.

2. 教學(xué)探究

學(xué)生在自主思考與合作交流后，提出了一些猜想，如：任意三角形中的兩條邊的平方和必定大于第三條邊的平方；任意兩條邊的平方差必定比第三條邊的平方小等.

師：非常好！看來(lái)大家都進(jìn)行了積極的思考與猜想，現(xiàn)在我們一起來(lái)探究這些猜想是否正確.

生1：以上猜想并不正確，若三角形的三條邊分別為3，4，5，那么就存在32+42=52的情況.

生2：若三角形的三邊為5，5，9，那么52+52則小于92.

師：這兩位同學(xué)的反例法用得太恰當(dāng)了，輕而易舉地就推翻了以上猜想，從中大家能看出了什么？

生3：說(shuō)明以上猜想是錯(cuò)誤的.

師：哦？是否可以這么下結(jié)論？

生4：我覺(jué)得這么下結(jié)論不準(zhǔn)確，只能說(shuō)以上猜想不一定對(duì)，有的三角形的兩條邊的平方和可能會(huì)比第三條邊的平方大，也有的會(huì)比第三條邊的平方小.

師：有點(diǎn)道理，對(duì)于這個(gè)想法，我們能否進(jìn)一步探究？

生（眾）：可以試試.

師：在探究之前，我們先擬定一份計(jì)劃，看看該采取怎樣的探究方式和步驟.

生5：可以考慮畫(huà)幾個(gè)不同類(lèi)型的三角形，分別量出它們?nèi)龡l邊的長(zhǎng)度，再分別計(jì)算它們的平方，并從中總結(jié)出規(guī)律.

師：這是一個(gè)不錯(cuò)的想法，值得推薦. 也就是說(shuō)從個(gè)例（特殊）出發(fā)，先逐個(gè)探究，然后再通過(guò)它們的結(jié)論，獲得普遍（一般）性的規(guī)律. 現(xiàn)在請(qǐng)各組合作學(xué)習(xí)，每人在方格紙上畫(huà)出不同的格點(diǎn)三角形，并分別測(cè)量出各條邊的長(zhǎng)度，計(jì)算各條邊邊長(zhǎng)的平方（可用計(jì)算器）.

設(shè)計(jì)意圖 根據(jù)學(xué)生提出的假設(shè)，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般進(jìn)行探究. 探究過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生自主運(yùn)用測(cè)量工具與計(jì)算工具，搜集并處理數(shù)據(jù)，應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)、規(guī)范的語(yǔ)言來(lái)表述結(jié)論. 此過(guò)程符合探究式學(xué)習(xí)的思維發(fā)展過(guò)程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想奠定了基礎(chǔ)，也為學(xué)生從事數(shù)學(xué)研究做出了良好的示范.

師：現(xiàn)在請(qǐng)各組組長(zhǎng)統(tǒng)計(jì)一下，本組有多少人畫(huà)了銳角、鈍角與直角三角形，將數(shù)據(jù)匯總一下. 請(qǐng)各位學(xué)生將自己的所畫(huà)的三角形的三個(gè)角分別標(biāo)上字母A、B、C，對(duì)應(yīng)的邊為a、b、c，直角、鈍角以∠C來(lái)表示.

匯總學(xué)生所畫(huà)三角形種類(lèi)的同時(shí)，教師借助計(jì)算機(jī)投影，按照三角形的種類(lèi)列表、分組、填寫(xiě)數(shù)據(jù)，且分別計(jì)算出相應(yīng)的a2+b2與c2的值，填入表1中. 要求學(xué)生根據(jù)表格中所呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)，分析結(jié)論.

生6：根據(jù)表格所呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)來(lái)看，當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí)，a2+b2＞c2；而鈍角三角形中a2+b2＜c2.

師：哪位學(xué)生用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)這個(gè)發(fā)現(xiàn)？

生7：銳角三角形任意兩邊平方和比第三條邊的平方大；鈍角三角形任意兩條邊的平方和比第三條邊的平方??；直角三角形的兩條直角邊的平方和與斜邊的平方相等.

師：通過(guò)以上探究，我們發(fā)現(xiàn)了三類(lèi)三角形三條邊的平方之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，這個(gè)結(jié)論是我們根據(jù)自己所畫(huà)的幾個(gè)三角形所獲得的，其中涉及人工測(cè)量，就必定有誤差的存在，如果不用測(cè)量工具，有沒(méi)有辦法探究出三邊平方之間的關(guān)系？（學(xué)生沉默）

師：以上探究過(guò)程，我們都是通過(guò)手動(dòng)測(cè)量而得到邊長(zhǎng)度，進(jìn)而計(jì)算出3條邊的平方及平方和，除此之外，有什么幾何內(nèi)容與平方有所關(guān)聯(lián)？（學(xué)生恍然大悟）

生8：正方形的面積就是邊長(zhǎng)的平方，我們可以將三角形的三條邊長(zhǎng)度作為正方形的邊長(zhǎng)，所畫(huà)出的正方形面積即邊長(zhǎng)的平方，只要弄清楚三個(gè)正方形面積的關(guān)系，也就明晰了三角形三條邊的平方關(guān)系.

師：太棒了！借助正方形的面積來(lái)探究三角形三條邊平方的關(guān)系，的確是一個(gè)非常有意義的建議. 通過(guò)以上探究，我們所獲得的結(jié)論尚屬于猜想，既然是猜想，就需要論證，現(xiàn)在我們就來(lái)一起證明以上猜想是否合理. 接下來(lái)咱們就探討：直角三角形的兩直角邊的平方和是否與斜邊的平方相等.

設(shè)計(jì)意圖 教師成功地將學(xué)生誘導(dǎo)到勾股定理的證明探究中，學(xué)生的思維逐層深入，對(duì)勾股定理的形成與發(fā)展有了更為深刻的認(rèn)識(shí)，充分體現(xiàn)了知識(shí)的“再創(chuàng)造”過(guò)程.

3. 拓展延伸

在學(xué)生通過(guò)自主探究，證明了勾股定理后，筆者又引入了勾股定理的發(fā)展歷史與文化價(jià)值，讓學(xué)生從思想上對(duì)勾股定理產(chǎn)生敬意，同時(shí)也有效地滲透了數(shù)學(xué)文化素養(yǎng). 而后，教師帶領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用勾股定理進(jìn)行了應(yīng)用方面的拓展，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)勾股定理的應(yīng)用能力.

評(píng)注 教師引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)自主探究與合作學(xué)習(xí)的模式，對(duì)勾股定理進(jìn)行探索. 首先通過(guò)測(cè)量工具對(duì)三類(lèi)三角形的三邊平方的關(guān)系進(jìn)行對(duì)比、分析，讓學(xué)生自主獲得結(jié)論. 這種合情推理過(guò)程自然、本真又充滿科學(xué)味，學(xué)生在畫(huà)圖、計(jì)算、填表與數(shù)據(jù)分析過(guò)程中，忙得不亦樂(lè)乎，大部分學(xué)生都展現(xiàn)出高漲的探究熱情，這也充分凸顯了學(xué)生在課堂中的主體地位.

在學(xué)生獲得一定的結(jié)論后，教師引導(dǎo)學(xué)生從幾何（正方形面積）的角度探索三角形三邊平方之間的關(guān)系，不僅有效地滲透了數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)形結(jié)合思想，還讓學(xué)生的思維從感性層面直接上升到理解的層面，從真正意義上實(shí)現(xiàn)了探究式學(xué)習(xí)模式對(duì)學(xué)生思維能力的促進(jìn)作用.

教學(xué)思考

探究式學(xué)習(xí)從問(wèn)題的選擇上來(lái)看，需與教學(xué)重點(diǎn)、教學(xué)難點(diǎn)相掛鉤，且要有實(shí)踐性與開(kāi)放性，并具備探究?jī)r(jià)值；從探究過(guò)程來(lái)看，要有明確的教育價(jià)值，要讓學(xué)生在探究過(guò)程中體會(huì)創(chuàng)造研究的曲折、艱辛，以及獲得成功的喜悅；從認(rèn)知水平上來(lái)看，探究式學(xué)習(xí)的課程設(shè)計(jì)，需與學(xué)生的生活密切相關(guān)，需構(gòu)建符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的探究活動(dòng)，這樣才能給學(xué)生帶來(lái)真正意義上的思維啟發(fā)［2］.

總之，學(xué)生思維的培養(yǎng)，探究能力的形成需要一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程. 作為教師，應(yīng)把握好課堂中的每一個(gè)讓學(xué)生探究的機(jī)會(huì)，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的，不斷激發(fā)學(xué)生的潛能，讓學(xué)生愛(ài)上探究，讓探究成為學(xué)習(xí)的常態(tài)，課堂必然會(huì)煥發(fā)出勃勃生機(jī).

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 張和平，裴昌根，宋乃慶. 小學(xué)生幾何直觀能力測(cè)評(píng)模型的構(gòu)建探究［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2017，26 （05）：49-53.