王志華 王成敏

摘 要：圍繞立德樹(shù)人根本任務(wù)，本文對(duì)課程思政與線性代數(shù)混合式教學(xué)模式的相互滲透與有效融合開(kāi)展了探索與研究。線性代數(shù)混合式教學(xué)的不同環(huán)節(jié)應(yīng)體現(xiàn)課程思政的不同方式和內(nèi)涵，本文對(duì)混合式教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)應(yīng)該融入哪類思政元素進(jìn)行了辨析，努力在混合式教學(xué)模式下將價(jià)值塑造、知識(shí)傳授和能力培養(yǎng)融為一體，形成協(xié)同育人的效應(yīng)。

關(guān)鍵詞：課程思政 線性代數(shù) 混合式教學(xué) 數(shù)學(xué)思維

2016年12月，習(xí)近平總書(shū)記在全國(guó)高校思想政治工作會(huì)議上指出：“要用好課堂教學(xué)這個(gè)主渠道，思想政治理論課要堅(jiān)持在改進(jìn)中加強(qiáng)，提升思想政治教育親和力和針對(duì)性，滿足學(xué)生成長(zhǎng)發(fā)展需求和期待，其他各門課都要守好一段渠、種好責(zé)任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)。”［1］

2020年5月，教育部印發(fā)的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》從九個(gè)方面對(duì)高校課程思政建設(shè)工作進(jìn)行了部署和指導(dǎo)，明確要把思想政治教育貫穿人才培養(yǎng)體系，全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè)，發(fā)揮好每門課程的育人作用，提高高校人才培養(yǎng)的質(zhì)量。

作為高等學(xué)校理工科專業(yè)核心公共課程之一，線性代數(shù)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和抽象思維能力、提升學(xué)生的空間想象力和創(chuàng)新思維能力有著不可替代的作用，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成和后續(xù)專業(yè)的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。在線性代數(shù)教學(xué)模式的改革方面，不少高校教師踴躍嘗試，推陳出新。比如，胡建成等探究了OBE理念下的線性代數(shù)混合式教學(xué)模式［2］；王華麗等探究了BOPPPS教學(xué)模式在線性代數(shù)中的應(yīng)用［3］；王彬彬等以線性代數(shù)為例探究了SPOC教學(xué)模式在提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力方面所發(fā)揮的作用［4］；任北上等探究了線性代數(shù)課程的PBT教學(xué)模式［5］。在這些教學(xué)模式中，胡建成等人探究的OBE理念下的混合式教學(xué)模式將在線資源有效融入課堂教學(xué)中，充分發(fā)揮了線上教學(xué)和線下教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，拓展了課堂教學(xué)的廣度和深度，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性，提升了課堂的教學(xué)質(zhì)量，受到師生的廣泛歡迎。

一堂完整的線性代數(shù)混合式教學(xué)包含課前線上預(yù)習(xí)階段、課堂線下講授階段、課后線上復(fù)習(xí)階段。因此，混合式教學(xué)不僅要求教師能夠在課堂上為學(xué)生講解知識(shí)內(nèi)容，提供學(xué)習(xí)指導(dǎo)，而且要為學(xué)生提供必要的線上學(xué)習(xí)平臺(tái)與學(xué)習(xí)資源，包括課前的預(yù)習(xí)與檢測(cè)內(nèi)容以及課后的復(fù)習(xí)鞏固與知識(shí)拓展等。

在線性代數(shù)混合式教學(xué)模式中，除了課堂教學(xué)之外，還有線上學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，如何落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，將課程思政有效貫穿混合式教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，發(fā)揮價(jià)值塑造、知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)的協(xié)同育人效應(yīng)？本文基于線性代數(shù)混合式教學(xué)的實(shí)踐，對(duì)課程思政與線性代數(shù)混合式教學(xué)模式的相互滲透與有效融合展開(kāi)了初步探索；根據(jù)線性代數(shù)混合式教學(xué)的不同階段，對(duì)其各個(gè)環(huán)節(jié)應(yīng)融入哪類思政元素進(jìn)行了辨析。

一、課前線上預(yù)習(xí)階段

線性代數(shù)混合式教學(xué)的第一階段是課前線上預(yù)習(xí)階段，這一階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容需要根據(jù)課堂教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行設(shè)置，可以是以前所學(xué)知識(shí)的復(fù)習(xí)與鞏固，可以是新知識(shí)的預(yù)習(xí)，通過(guò)預(yù)習(xí)建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系；也可以是某個(gè)問(wèn)題的探究，為課堂教學(xué)環(huán)節(jié)講授新的概念、定理、方法等提供切入點(diǎn)。在課前線上預(yù)習(xí)階段，教師預(yù)先在學(xué)習(xí)平臺(tái)上傳學(xué)習(xí)資源，發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù)，并通過(guò)在線測(cè)試、訪談、留言、調(diào)查等方式及時(shí)了解學(xué)生的課前預(yù)習(xí)效果。教師根據(jù)學(xué)生的線上預(yù)習(xí)情況，對(duì)線下課堂授課的重難點(diǎn)有針對(duì)性地進(jìn)行備課，對(duì)學(xué)生在線預(yù)習(xí)遇到的知識(shí)難點(diǎn)以及顯露出來(lái)的知識(shí)弱點(diǎn)進(jìn)行必要的加強(qiáng)與鞏固。

由于課前線上預(yù)習(xí)這一階段主要以學(xué)生自主預(yù)習(xí)為主，學(xué)生處于主體地位，教師處于從屬地位，因此這一階段不宜圍繞數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)思想方法等開(kāi)展課程思政，而應(yīng)該側(cè)重于從學(xué)生的世界觀、價(jià)值觀、人生觀以及馬克思主義認(rèn)識(shí)世界、改造世界的立場(chǎng)、觀點(diǎn)、方法等方面開(kāi)展課程思政。由于每個(gè)學(xué)生的家庭背景、生活環(huán)境等各不相同，觀察事物的角度與思考問(wèn)題的方式也并不一樣，學(xué)生對(duì)整個(gè)世界的看法和觀點(diǎn)也不盡相同，從而形成了不同的世界觀、價(jià)值觀、人生觀。在課前線上預(yù)習(xí)階段，教師應(yīng)該先對(duì)學(xué)生進(jìn)行必要的學(xué)情分析，可以在課前通過(guò)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)生活、周邊同學(xué)的評(píng)價(jià)、一些課程的學(xué)習(xí)成績(jī)等綜合了解學(xué)生的基本情況。一般而言，從價(jià)值觀角度來(lái)看，學(xué)生能夠遵紀(jì)守法，理解并認(rèn)同社會(huì)主義核心價(jià)值觀，具備愛(ài)國(guó)情懷，但是大多數(shù)學(xué)生未能做到知行合一，沒(méi)有將自己當(dāng)前的學(xué)習(xí)行為與家國(guó)的發(fā)展、社會(huì)的進(jìn)步結(jié)合起來(lái)，沒(méi)有將自己的理想與信念、志向與抱負(fù)融入中華民族偉大復(fù)興的時(shí)代背景中去，缺少“為中華之崛起而讀書(shū)”的氣魄與志向。從素質(zhì)觀角度來(lái)看，學(xué)生的專業(yè)知識(shí)儲(chǔ)備較少，沒(méi)有形成正確的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法與思路，缺少去粗取精、去偽存真，從紛繁的事物表象中抓住事物本質(zhì)的能力；缺少認(rèn)識(shí)、實(shí)踐、再認(rèn)識(shí)、再實(shí)踐地認(rèn)識(shí)世界與改造世界的經(jīng)驗(yàn)與能力；缺乏科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S與開(kāi)拓創(chuàng)新的精神。 因此在課前預(yù)習(xí)階段，思政元素的挖掘需要從價(jià)值引領(lǐng)與素質(zhì)引領(lǐng)兩個(gè)方面入手。

（一）價(jià)值引領(lǐng)

價(jià)值引領(lǐng)體現(xiàn)在對(duì)學(xué)生的人生觀、價(jià)值觀，也就是學(xué)生的思想、觀念、態(tài)度、精神、志向、目標(biāo)等方面的引導(dǎo)。對(duì)于這方面思政元素的挖掘，教師可以結(jié)合線性代數(shù)的概念與理論，通過(guò)文字、微課、視頻等形式介紹線性代數(shù)發(fā)展史上取得偉大成就的古今中外數(shù)學(xué)家，比如行列式理論的奠基人范德蒙、矩陣?yán)碚摰膭?chuàng)立者凱萊、將國(guó)外代數(shù)理論翻譯傳播到我國(guó)的近代數(shù)學(xué)家李善蘭等。通過(guò)介紹這些數(shù)學(xué)家取得的重要成果以及這些數(shù)學(xué)家勤學(xué)多思、刻苦鉆研、敢于創(chuàng)新、淡泊名利的優(yōu)秀品質(zhì)，激發(fā)學(xué)生樹(shù)立遠(yuǎn)大理想，勇攀科學(xué)高峰，實(shí)現(xiàn)人生價(jià)值。值得一提的是，我國(guó)近代數(shù)學(xué)家李善蘭對(duì)國(guó)外數(shù)學(xué)理論進(jìn)行了翻譯，一些術(shù)語(yǔ)在國(guó)內(nèi)沿用至今，為我國(guó)近代數(shù)學(xué)思想的傳播與發(fā)展做出了巨大貢獻(xiàn)。教師通過(guò)對(duì)李善蘭的介紹，讓學(xué)生了解我國(guó)近代數(shù)學(xué)家在代數(shù)發(fā)展史上發(fā)揮的重要作用，樹(shù)立文化自信。同時(shí)我們也要反思我國(guó)近代數(shù)學(xué)落后的根源，摒棄閉關(guān)鎖國(guó)、封建落后的思想，樹(shù)立自強(qiáng)不息、奮起直追的精神。在課前預(yù)習(xí)階段融入這些思政元素，不僅不影響預(yù)習(xí)的進(jìn)度和效果，而且可以消除線性代數(shù)課程內(nèi)容的枯燥乏味，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立遠(yuǎn)大理想，培養(yǎng)學(xué)生高尚的人格情操。

（二）素質(zhì)引領(lǐng)

素質(zhì)引領(lǐng)體現(xiàn)在對(duì)學(xué)生的世界觀、方法論，也就是學(xué)生的思維、能力、方法等方面的塑造。對(duì)于這方面思政元素的挖掘，教師可以結(jié)合線性代數(shù)的思想與方法提出一些具體的實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生利用線性代數(shù)中已經(jīng)學(xué)習(xí)的方法或理論去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生從具體實(shí)例中概括與總結(jié)、發(fā)現(xiàn)與形成一般規(guī)律的能力。比如在介紹行列式的性質(zhì)之前，教師在線上給出一個(gè)具體的三階行列，通過(guò)對(duì)調(diào)該行列式的兩行或者兩列讓學(xué)生觀察并總結(jié)行列式值的變化情況；將行列式的某行或者某列乘以一個(gè)數(shù)后讓學(xué)生觀察并總結(jié)行列式值的變化情況，為課堂介紹一般的行列式的性質(zhì)做好鋪墊。再如，教師在課堂講授線性方程組有解或無(wú)解的判斷之前，可以通過(guò)線上預(yù)習(xí)的方式讓學(xué)生用消元法求解兩個(gè)具體的線性方程組（其中一個(gè)有解，一個(gè)無(wú)解），讓學(xué)生感受并總結(jié)什么樣的情況下方程組有解或無(wú)解。這些探究性問(wèn)題適合安排在課前線上完成，既發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，激發(fā)了學(xué)生探究真理、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的樂(lè)趣，培養(yǎng)了學(xué)生解決問(wèn)題的能力，又為教師課堂講授一般的抽象理論提供了必要的感性認(rèn)識(shí)，提高了課堂教學(xué)的效果。

二、課堂線下學(xué)習(xí)階段

線性代數(shù)混合式教學(xué)的第二階段是課堂線下學(xué)習(xí)階段。在這一階段教師根據(jù)學(xué)生課前線上預(yù)習(xí)的情況，結(jié)合課堂教學(xué)內(nèi)容，采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法在教室與學(xué)生面對(duì)面進(jìn)行授課。這一階段是教師傳授新知識(shí)、講授新理論、介紹新方法的關(guān)鍵階段，因此這一階段教師在教學(xué)活動(dòng)中發(fā)揮主導(dǎo)作用。在掌握了學(xué)生課前在線預(yù)習(xí)的效果之后，教師在授課時(shí)可以有的放矢，著重講授大部分學(xué)生在預(yù)習(xí)過(guò)程中碰到的難點(diǎn)。學(xué)生也是有備而來(lái)，可通過(guò)教師的講解及時(shí)化解預(yù)習(xí)過(guò)程中產(chǎn)生的疑難問(wèn)題。這種帶著問(wèn)題聽(tīng)課的學(xué)習(xí)方式既能夠讓學(xué)生感受到課前在線預(yù)習(xí)的重要性，又能夠立竿見(jiàn)影讓學(xué)生感受到課堂學(xué)習(xí)的效果。即便個(gè)別學(xué)生在預(yù)習(xí)階段產(chǎn)生的問(wèn)題教師在課堂上沒(méi)有講解，學(xué)生仍然可以通過(guò)與教師討論交流的方式化解問(wèn)題。因此，線下學(xué)習(xí)階段學(xué)生從課堂學(xué)習(xí)中得到了最大的收獲，教師從課堂教學(xué)中得到了最大的滿足，課堂學(xué)習(xí)效果與教學(xué)質(zhì)量得到了極大提高。

課堂線下學(xué)習(xí)這一階段的課程思政，應(yīng)該充分發(fā)揮教師在課堂教學(xué)中的主導(dǎo)作用，充分利用課堂上教師與學(xué)生互動(dòng)交流的機(jī)會(huì)，在傳授線性代數(shù)理論知識(shí)的同時(shí)融入數(shù)學(xué)思維，注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)思維包括邏輯思維、轉(zhuǎn)化思維、類比思維、辯證思維、逆向思維等，這些思維方式在線性代數(shù)課堂教學(xué)的過(guò)程中經(jīng)常被用到。下面結(jié)合線性代數(shù)課程內(nèi)容，分別對(duì)這些數(shù)學(xué)思維進(jìn)行闡述，以便教師在講解線性代數(shù)相關(guān)內(nèi)容時(shí)能夠通過(guò)課程思政的方式點(diǎn)撥知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

（一）邏輯思維

邏輯思維就是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)事物的過(guò)程中，借助概念、判斷、推理等思維形式來(lái)反映客觀現(xiàn)實(shí)的理性認(rèn)識(shí)過(guò)程。線性代數(shù)課程目標(biāo)本身要求學(xué)生掌握矩陣、行列式、線性方程組、線性空間、二次型等基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算與基本理論，通過(guò)這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理能力。由于線性代數(shù)課程中各種定理、公式的推導(dǎo)證明過(guò)程在邏輯上都是自洽的，都是經(jīng)過(guò)千錘百煉、反復(fù)推敲得到的結(jié)果，其結(jié)論的科學(xué)性、準(zhǔn)確性、嚴(yán)謹(jǐn)性不容置疑，因此線性代數(shù)課堂教學(xué)無(wú)時(shí)無(wú)刻不在展示邏輯思維的魅力。學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)環(huán)境中，耳濡目染、潛移默化，自身的邏輯思維能力自然得以提高。

（二）轉(zhuǎn)化思維

轉(zhuǎn)化思維就是將生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀的問(wèn)題。轉(zhuǎn)化思維不僅是線性代數(shù)解題中一種最基本的解題策略，而且是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式。比如在求矩陣秩的時(shí)候，通過(guò)初等變換將復(fù)雜的矩陣化為簡(jiǎn)單的階梯形矩陣；在求線性方程組的解時(shí)，通過(guò)消元法將復(fù)雜的線性方程組化為簡(jiǎn)單的方程組；在研究二次型時(shí)，通過(guò)配方法或者合同變換法將二次型化為簡(jiǎn)單的標(biāo)準(zhǔn)型甚至規(guī)范型，這些變換都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思維。因此教師在講授這些內(nèi)容時(shí)，不能就題解題、就理論理，不僅要講解數(shù)學(xué)方法本身，還要引導(dǎo)學(xué)生挖掘方法背后運(yùn)用的數(shù)學(xué)思維，這樣課堂教學(xué)質(zhì)量才能得到質(zhì)的提高。

（三）類比思維

類比思維就是將兩個(gè)具有相同或相似特征的事物進(jìn)行對(duì)比，從某一事物的某些已知的特征去推測(cè)另一事物的相應(yīng)特征是否存在的思維活動(dòng)。線性代數(shù)教學(xué)活動(dòng)中也經(jīng)常用到類比思維。比如在定義矩陣的加法、減法、乘法運(yùn)算時(shí)，可以類比數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算，特別在定義矩陣的逆矩陣時(shí)，通過(guò)類比數(shù)的倒數(shù)來(lái)引導(dǎo)學(xué)生推測(cè)什么樣的矩陣是可逆矩陣；在研究矩陣的高次冪運(yùn)算法則時(shí)，可以類比數(shù)的高次冪運(yùn)算法則；在介紹分塊矩陣時(shí)，可以將分塊矩陣中的“子矩陣塊”類比成普通的數(shù)，將分塊矩陣類比成普通的矩陣，這樣學(xué)生更加容易理解分塊矩陣之間的運(yùn)算規(guī)律；在學(xué)習(xí)向量空間時(shí)，可以將向量空間的維數(shù)與向量組的秩進(jìn)行類比，將向量空間的基與向量組的極大線性無(wú)關(guān)組進(jìn)行類比，通過(guò)類比，學(xué)生更加容易理解抽象的概念背后所蘊(yùn)含的意義。另外，通過(guò)類比，學(xué)生更加容易抓住事物的不同之處，比如將矩陣的初等變換、相似變換與合同變換三者進(jìn)行類比，學(xué)生更加容易把握它們的區(qū)別，避免概念的混淆。

（四）辯證思維

辯證思維通常是用動(dòng)態(tài)的、變化發(fā)展的眼光認(rèn)識(shí)事物的一種思維方式，這種思維通常認(rèn)為與邏輯思維相對(duì)立。在邏輯思維中，事物一般是“非此即彼”，而在辯證思維中，事物可以在某一階段表現(xiàn)為“亦此亦彼”。利用辯證思維考慮問(wèn)題時(shí)，需要厘清事物發(fā)展變化的過(guò)程中哪些屬于事物外在表面“形”的部分，哪些屬于事物內(nèi)部“質(zhì)”的部分。事物在某個(gè)發(fā)展階段，外在表面“形”的部分不斷發(fā)生變化而內(nèi)部“質(zhì)”的部分卻不變。比如對(duì)矩陣施展相似變換時(shí)，矩陣的形式發(fā)生了變化，但是矩陣的行列式、特征值等數(shù)值始終不變；對(duì)矩陣施展初等變換時(shí)，矩陣的形式不斷發(fā)生變化，但是矩陣的秩始終不變；將行列式轉(zhuǎn)化為上三角行列式求值時(shí)，行列式的形式發(fā)生了變化，但是行列式的值不變。線性代數(shù)中的這些變與不變的現(xiàn)象表明認(rèn)識(shí)事物不僅要觀察其表象，更要抓住事物的本質(zhì)。事物形變而質(zhì)不變，而數(shù)學(xué)的意義就是用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言研究事物運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中不變的部分，用數(shù)學(xué)的概念、公式、定理等方式呈現(xiàn)事物的內(nèi)部本質(zhì)或變化規(guī)律。

（五）逆向思維

逆向思維就是從事物的對(duì)立面來(lái)觀察、分析、思考和解決問(wèn)題。這種思維模式能夠破除由經(jīng)驗(yàn)和習(xí)慣引起的思維僵化，能夠克服思維定式。在線性代數(shù)教學(xué)過(guò)程中靈活運(yùn)用逆向思維會(huì)起到意想不到的效果。線性代數(shù)中存在大量等效的概念、性質(zhì)和法則，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中教師應(yīng)該充分利用這些等效結(jié)果，通過(guò)概念的等價(jià)形式、命題的逆否命題、公式與法則的逆運(yùn)算等多種途徑，引導(dǎo)學(xué)生突破思維定式，開(kāi)展反向論證，揭示逆向思維的規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識(shí)。比如線性代數(shù)中求方陣的伴隨矩陣，正向思維是從伴隨矩陣的定義出發(fā)，按部就班求出矩陣每一個(gè)元素的代數(shù)余子式，然后將這些代數(shù)余子式組合成一個(gè)伴隨矩陣，按照這種思路計(jì)算伴隨矩陣，計(jì)算工作量很大。逆向思維則預(yù)先計(jì)算一下方陣的行列式，在行列式不為零的前提下，通過(guò)初等變換求出矩陣的逆矩陣，再將逆矩陣乘以行列式就得到伴隨矩陣，顯然運(yùn)用逆向思維計(jì)算伴隨矩陣，計(jì)算的工作量大大減少。再如，線性代數(shù)中經(jīng)常出現(xiàn)計(jì)算行列式中某一行各個(gè)元素的余子式或代數(shù)余子式的線性組合這類問(wèn)題，正向思維就是將這一行的各個(gè)元素的余子式或代數(shù)余子式分別計(jì)算出來(lái)，然后代入線性組合計(jì)算得到結(jié)果，而逆向思維則將所求的線性組合轉(zhuǎn)化為一個(gè)行列式，通過(guò)求該行列式的值得到所求結(jié)果，解題思路非常簡(jiǎn)潔明了，也顯著降低了計(jì)算的工作量。教師在課堂教學(xué)過(guò)程中可以設(shè)計(jì)一些利用逆向思維求解的實(shí)例，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力。

三、課后線上復(fù)習(xí)階段

混合式教學(xué)的第三階段是課后線上復(fù)習(xí)階段，這一階段的主要任務(wù)是學(xué)生課后在學(xué)習(xí)平臺(tái)鞏固已學(xué)內(nèi)容。教師可以將課堂重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容預(yù)先錄制成視頻上傳到平臺(tái)；或者將所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)之間的因果關(guān)系以思維導(dǎo)圖的形式呈現(xiàn)出來(lái)供學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固；也可以在學(xué)習(xí)平臺(tái)布置必要的課后練習(xí)，通過(guò)練習(xí)與測(cè)試的方式幫助學(xué)生復(fù)習(xí)鞏固主要知識(shí)點(diǎn)。另外，教師也可以上傳一些拓展性資源，比如課堂知識(shí)產(chǎn)生的背景、所學(xué)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值、相關(guān)數(shù)學(xué)家的研究成果與人生經(jīng)歷等，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。因?yàn)檫@一階段學(xué)習(xí)的側(cè)重點(diǎn)在于知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)與鞏固，而且學(xué)習(xí)環(huán)境、學(xué)習(xí)方式也由教室講授轉(zhuǎn)換為學(xué)生在線復(fù)習(xí)，因此這一階段的課程思政應(yīng)該以數(shù)學(xué)文化的熏陶、數(shù)學(xué)美感的浸染為主。

（一）數(shù)學(xué)文化

線性代數(shù)課程中的數(shù)學(xué)文化需要從線性代數(shù)發(fā)展史中去探尋。線性代數(shù)發(fā)展史融入了一代代著名的數(shù)學(xué)家前仆后繼、繼往開(kāi)來(lái)、刻苦鉆研、勇攀高峰的人生成長(zhǎng)史、奮斗史、勵(lì)志史，通過(guò)對(duì)這些史料典故進(jìn)行辨析梳理，可以勾勒出線性代數(shù)中重要的概念、符號(hào)、公式、命題、定理、方法等知識(shí)與理論產(chǎn)生、演變、發(fā)展的脈絡(luò)。

在課后線上復(fù)習(xí)階段，教師如果能適當(dāng)融入線性代數(shù)發(fā)展史的介紹，比如在學(xué)習(xí)平臺(tái)提供一些視頻、科普讀物等介紹矩陣、行列式等基本概念、符號(hào)的演變由來(lái)，介紹一些數(shù)學(xué)家在線性代數(shù)理論研究方面取得的成果，介紹線性代數(shù)在當(dāng)今計(jì)算機(jī)圖像處理、信號(hào)處理、搜索引擎等方面的應(yīng)用［6］，這樣不僅可以讓學(xué)生較為系統(tǒng)地感受到線性代數(shù)知識(shí)體系的發(fā)生、發(fā)展、成熟、完備的歷史過(guò)程，而且可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)枯燥乏味的數(shù)學(xué)符號(hào)、抽象嚴(yán)密的代數(shù)體系背后竟然隱藏著一段段令人津津樂(lè)道的數(shù)學(xué)軼事，線性代數(shù)在當(dāng)今社會(huì)生活中竟然有著如此廣泛深入的應(yīng)用。

（二）數(shù)學(xué)美感

線性代數(shù)是一門具有統(tǒng)一美的數(shù)學(xué)課程。學(xué)完線性代數(shù)我們便會(huì)發(fā)現(xiàn)，矩陣的初等變換這一思想方法貫穿課程的始終，無(wú)論是求矩陣的逆矩陣、解線性方程組、求矩陣的秩，還是求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，這些都可以利用矩陣的初等變換這一思想方法加以解決，因此一旦掌握了初等變換的思想方法，實(shí)際上就掌握了線性代數(shù)中大多數(shù)問(wèn)題的求解之道?？傊?，線性代數(shù)眾多問(wèn)題的處理思想和方法幾乎都以初等變換為主。因此，在課后線上復(fù)習(xí)階段，教師要培養(yǎng)學(xué)生利用初等變換解決相關(guān)問(wèn)題的能力，對(duì)能夠利用初等變換求解的線性代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生體會(huì)到線性代數(shù)中初等變換這一重要思想方法所具備的統(tǒng)一美。

另外，線性代數(shù)和其他數(shù)學(xué)課程一樣，具備簡(jiǎn)潔美的特征。所謂簡(jiǎn)潔美，指的是透過(guò)復(fù)雜繁亂的事物表象，對(duì)事物的本質(zhì)進(jìn)行總結(jié)、概括與抽象，并用簡(jiǎn)單清晰的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表現(xiàn)出來(lái)的概念、理論、方法，同時(shí)這些又反過(guò)來(lái)解釋、指導(dǎo)更多的客觀現(xiàn)象和事物。比如，線性代數(shù)中矩陣秩的概念、線性空間基與維數(shù)的概念、矩陣的特征值與特征向量的概念、矩陣相似對(duì)角化的理論、二次型理論、矩陣求逆公式、坐標(biāo)變換公式等等，這些概念、理論和公式呈現(xiàn)出“形式的簡(jiǎn)潔性、內(nèi)容的豐富性”就是簡(jiǎn)潔美的重要體現(xiàn)。另外，矩陣、向量等抽象符號(hào)的引入，大大簡(jiǎn)化了行列式、線性方程組、二次型等表達(dá)式的表示形式，人們?cè)谘芯窟@些問(wèn)題時(shí)不再被如何簡(jiǎn)潔描述這些問(wèn)題而困擾，從而能夠集中精力研究問(wèn)題本身。在課后線上復(fù)習(xí)階段，教師不僅要讓學(xué)生欣賞到線性代數(shù)的簡(jiǎn)潔美，而且要身體力行，通過(guò)課后練習(xí)的方式力求讓學(xué)生做到證明過(guò)程要簡(jiǎn)潔、計(jì)算過(guò)程要簡(jiǎn)化、同類項(xiàng)要合并，培養(yǎng)學(xué)生追求簡(jiǎn)潔美的意識(shí)。

四、結(jié)語(yǔ)

線性代數(shù)混合式教學(xué)模式實(shí)現(xiàn)了線上與線下這兩種教學(xué)模式的交替融合，充分發(fā)揮了線上教學(xué)與線下教學(xué)各自的優(yōu)勢(shì)，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，達(dá)到了教學(xué)效果的最大化。而且混合式教學(xué)不僅照顧到大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，而且兼顧到學(xué)生的個(gè)體差異，體現(xiàn)了個(gè)性化、差別化的人才培養(yǎng)要求。同時(shí)，針對(duì)課前線上預(yù)習(xí)、課堂線下學(xué)習(xí)、課后線上復(fù)習(xí)三種不同階段，學(xué)生的學(xué)習(xí)環(huán)境、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)任務(wù)不同，教師要積極探索這些不同階段課程思政的不同內(nèi)涵，將課程思政貫穿到線性代數(shù)混合式教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，實(shí)現(xiàn)了全程、全方位育人的要求，形成了價(jià)值塑造、知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)的協(xié)同育人效應(yīng)。

參考文獻(xiàn)：

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基金項(xiàng)目：江蘇省高?！案哔|(zhì)量公共課教學(xué)改革研究”專項(xiàng)課題“基于OBE理念的線性代數(shù)混合式教學(xué)模式的探究與實(shí)踐”（2022JDKT102），江蘇高?！扒嗨{(lán)工程”資助，泰州學(xué)院教學(xué)改革課題“‘雙減背景下師范專業(yè)人才培養(yǎng)模式的改革與創(chuàng)新”。