范秉理 孔令臣 高勃

摘 要：線性代數(shù)是非常重要的大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。本文針對線性代數(shù)中矩陣乘法的教學(xué)內(nèi)容，基于日常生活中掃描二維碼的問題，設(shè)計了一個教學(xué)應(yīng)用案例，展示了矩陣乘法在二維碼掃描中的應(yīng)用，并通過具體算例，演示了如何將掃描得到的二維碼通過平移變換、旋轉(zhuǎn)變換等，處理成標(biāo)準(zhǔn)二維碼圖片。

關(guān)鍵詞：矩陣乘法；二維碼；教學(xué)案例

1 案例背景

伴隨著5G時代的到來，人工智能技術(shù)已經(jīng)逐漸進(jìn)入各行各業(yè)，給人們的日常生活帶來極大便利，其中應(yīng)用最普遍、影響力最大的是智能手機(jī)。在日常生活中，人們幾乎每天都要使用智能手機(jī)完成一個操作，那就是掃描二維碼。

提到“掃描二維碼”，首先想到的就是通過手機(jī)掃碼支付，這又被稱為移動支付。通過二維碼，能夠完成在商城、超市購物，在餐廳點餐，可以使用二維碼乘坐公交、地鐵，使用共享單車、共享汽車，以及通過掃描二維碼查詢快遞配送信息等。二維碼在日常生活中被廣泛使用，現(xiàn)在已經(jīng)幾乎是無處不在。

在掃描二維碼的時候，經(jīng)常遇到屏幕長期處于掃描狀態(tài)，或者掃描的二維碼無法識別的情況，這主要是因為掃描中得到的非標(biāo)準(zhǔn)二維碼圖形無法變換為標(biāo)準(zhǔn)二維碼圖形所引起的。本文介紹如何用數(shù)學(xué)方法，將二維碼掃描中得到的非標(biāo)準(zhǔn)圖形變換為標(biāo)準(zhǔn)圖形，為后續(xù)二維碼內(nèi)容識別做好準(zhǔn)備。

2 二維碼結(jié)構(gòu)

二維碼的結(jié)構(gòu)主要由功能圖形區(qū)和編碼區(qū)兩大部分組成，每個部分又包含了不同的模塊，如圖1所示。

空白區(qū)：二維碼圖片四周沒有圖片內(nèi)容的區(qū)域被稱為二維碼的空白區(qū)?？瞻讌^(qū)的寬度為4個像素塊。

位置探測圖形：標(biāo)準(zhǔn)QR碼的左上角、右上角和左下角包含3個形狀、大小均相同的位置探測圖形區(qū)，可以定位二維碼圖形中各個具體部分的位置。

定位圖形：是由黑白相間的模塊單元組成的，為各模塊符號提供坐標(biāo)信息。

校正圖形：形狀與位置探測圖形類似。QR碼的版本信息確定了二維碼中校正圖形的個數(shù)多少，版本越高，校正圖形的個數(shù)就會越多。

格式信息：如圖1所示位于三個位置探測圖形的周邊。它表示二維碼的糾錯級別。

版本信息：如圖1所示有兩個位置，與定位圖形和位置探測圖形分隔符相連，它表示二維碼的規(guī)格。QR碼設(shè)有從1到40共40個版本。

數(shù)據(jù)和糾錯碼字：用來存儲二維碼實際要表達(dá)的信息內(nèi)容和糾錯碼字，當(dāng)二維碼圖片發(fā)生破損時，可以糾正不正確信息。

3 二維碼圖片的數(shù)學(xué)處理方法

在二維碼識別時，首先需要采集一幅圖片，然后對圖片進(jìn)行相關(guān)處理，再對圖片進(jìn)行識別，最后將識別內(nèi)容進(jìn)行輸出。由于手機(jī)掃描二維碼時光線強(qiáng)弱、掃描角度等原因，得到的二維碼圖片各式各樣。

因此，需要對這些采集到的非標(biāo)準(zhǔn)二維碼圖片進(jìn)行降噪、定位、校正等多種處理，獲得了標(biāo)準(zhǔn)清晰的二維碼，才能更好地對其內(nèi)容進(jìn)行識別。對非標(biāo)準(zhǔn)二維碼圖片的處理主要包括以下幾個步驟。

本文著重介紹校正處理階段，平移校正和旋轉(zhuǎn)校正處理中的數(shù)學(xué)方法。

3.1 平移校正

通過邊緣檢測、直線檢測等算法可以找到二維碼的三個位置探測圖形，如果三個位置探測圖形中心點連線能構(gòu)成等腰直角三角形就可以定位出二維碼。如果此直角等腰三角形斜邊的中點，也就是二維碼的中心，不在我們建立的直角坐標(biāo)系的原點，為方便后續(xù)處理，需要將二維碼中心置于直角坐標(biāo)系原點。這個操作可以通過平移校正來實現(xiàn)。如圖4所示，實線矩形表示原始圖片，虛線矩形表示平移校正后的圖片。

圖片平移時，不改變圖片的大小，只是改變了圖片的位置。圖片從一個地方平移到另外一個地方，可以表示為原圖片上的坐標(biāo)點（x，y），移動到了新的坐標(biāo)點（x′，y′），量化平移的距離后，可以得到：

x′=x+Δx

y′=y+Δy（1）

式（1）可以表示為矩陣形式：

［x′y′］=［xy］+［ΔxΔy］（2）

假設(shè)平移校正前，二維碼中心點的坐標(biāo)為（m，n），平移后的坐標(biāo)為（0，0），可以得到Δx=－m，Δy=－n，從而確定了二維碼圖片平移校正的具體計算公式。

3.2 旋轉(zhuǎn)校正

平移校正后的二維碼圖片如果存在一定角度的偏轉(zhuǎn)，還需要對圖片進(jìn)行旋轉(zhuǎn)校正處理。在定位處理中通過邊緣檢測算法，檢測出以位置探測圖形為邊界的四條邊緣直線，由任意一條直線的斜率，即可確定圖片的偏轉(zhuǎn)角度，然后進(jìn)行相應(yīng)角度的旋轉(zhuǎn)，就可以得到校正后的圖片。如右圖所示，實線矩形表示原始圖片，虛線矩形表示旋轉(zhuǎn)校正后的圖片。

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知OA=OA′，設(shè)其長度為l。假設(shè)點A坐標(biāo)為（x，y），點A′坐標(biāo)為（x′，y′），根據(jù)三角函數(shù)可知：

x=lcos

y=lsin（3）

于是：

x′=lcos（－θ）=xcosθ+ysinθ

y′=lsin（－θ）=－xsinθ+ycosθ（4）

式（4）可以表示為矩陣形式：

［x′y′］=［xy］·cosθ－sinθ

sinθcosθ（5）

3.3 校正的齊次坐標(biāo)表示

齊次坐標(biāo)表示法是一種把原本是n維的向量用一個n+1維向量來表示的方法。例如，一個二維平面中的點（x，y）使用齊次坐標(biāo)可以表示為（xh，yh，h），其中h為任意非零值，當(dāng)h為零時表示一個二維向量。

通過齊次坐標(biāo)，可以把二維碼圖片校正中的各種處理用統(tǒng)一的矩陣形式來表示。平移校正式（2）可以表示為：

［x′y′1］=［xy1］·100

010

ΔxΔy1（6）

旋轉(zhuǎn)校正式（4）可以表示為：

［x′y′1］=［xy1］·cosθ－sinθ0

sinθcosθ0

001（7）

于是二維碼圖片先做平移校正，再做旋轉(zhuǎn)校正就可以表示為：

［x′y′1］=［xy1］·100

010

ΔxΔy1·cosθ－sinθ0

sinθcosθ0

001（8）

此外，二維碼圖片做校正處理時，除了上述兩種類型外，常用的還有縮放校正、錯切校正等。圖2中右側(cè)二維碼圖片就需要做錯切校正。這些校正也可以用齊次坐標(biāo)來統(tǒng)一表示?？s放校正表示為：

［x′y′1］=［xy1］·Sx00

0Sy0

001（9）

沿x軸方向?qū)軸的錯切校正表示為：

［x′y′1］=［xy1］·100

c10

001（10）

沿y軸方向?qū)軸的錯切校正表示為：

［x′y′1］=［xy1］·1b0

010

001（11）

4 具體算例

經(jīng)過灰度處理、濾波處理、二值化處理、定位處理后，得到一張如圖6所示的二維碼圖片。下面通過平移變換和旋轉(zhuǎn)編號，將其處理成標(biāo)準(zhǔn)二維碼圖片。

經(jīng)過定位處理后，可以確定四個頂點A、B、C、D的坐標(biāo)。打開二值化以后的二維碼圖片也可以查看四個頂點的坐標(biāo)，其中0表示圖片中該點顯示黑色，1表示圖片中該點顯示白色。

經(jīng)過計算，確定了平移增量和旋轉(zhuǎn)角度后，可以得到二維碼圖片中的點（x，y）先做平移校正，再做旋轉(zhuǎn)校正的具體計算形式為：

［x′y′1］=［xy1］·100

010

-5193511

·cos0.7962-sin0.79620

sin0.7962cos0.79620

001

以四個頂點為例，這四個點經(jīng)過校正后坐標(biāo)對應(yīng)如下表所示。

結(jié)語

從掃描二維碼到最終獲取二維碼信息的過程比較復(fù)雜，本文僅介紹了將得到的非標(biāo)準(zhǔn)二維碼圖片處理成標(biāo)準(zhǔn)二維碼圖片中校正環(huán)節(jié)的一些數(shù)學(xué)處理方法，后面還需要對標(biāo)準(zhǔn)二維碼進(jìn)行解碼、糾錯等操作。這些過程中用到很多數(shù)學(xué)知識，感興趣的讀者可以自行查閱相關(guān)資料學(xué)習(xí)。

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基金：高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心2020年教學(xué)改革項目“大學(xué)數(shù)學(xué)在信息技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用案例設(shè)計研究”（CMC20200302）

作者簡介：范秉理（1977— ），男，漢族，甘肅人，博士，副教授，研究方向：運籌統(tǒng)計分析。