黃昌獻(xiàn)

［摘 要］數(shù)學(xué)教師將數(shù)形結(jié)合思想融入教學(xué)之中，可以將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)換為直觀的圖形，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升課堂教學(xué)效率。文章對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)數(shù)運(yùn)算、整式運(yùn)算、全等三角形、一次函數(shù)、二元一次方程中的應(yīng)用進(jìn)行分析探討。

［關(guān)鍵詞］數(shù)形結(jié)合思想；初中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）05-0017-03

數(shù)學(xué)學(xué)科具有很強(qiáng)的抽象性，致使學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)知識(shí)認(rèn)識(shí)不到位，對(duì)基本的數(shù)學(xué)概念理解不深入，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏興趣，甚至產(chǎn)生厭學(xué)的情緒，導(dǎo)致數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)不理想，這十分不利于學(xué)生的長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展。數(shù)學(xué)教師將數(shù)形結(jié)合思想融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以讓抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升課堂教學(xué)效率。

數(shù)形結(jié)合思想將幾何與代數(shù)進(jìn)行結(jié)合，將抽象思維與形象思維相結(jié)合，以此來增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知。將數(shù)形結(jié)合思想融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去看待數(shù)學(xué)問題，尋找數(shù)學(xué)問題的多種解決方法，從中選擇最佳解決辦法，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的解題能力。

然而在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)不到位，在基本概念知識(shí)的講解過程中未能很好地將數(shù)形結(jié)合思想融入，致使概念教學(xué)的啟發(fā)性不強(qiáng)，學(xué)生很難將基礎(chǔ)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際解題中，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)帶來了困難。除此之外，教師未能將數(shù)形結(jié)合思想與實(shí)際教學(xué)相結(jié)合，對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)不到位，學(xué)生未能深入理解數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵及其應(yīng)用價(jià)值。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教材中的典型例題主要是引導(dǎo)學(xué)生將基礎(chǔ)知識(shí)運(yùn)用到實(shí)際解題當(dāng)中，例題的形式是豐富且多樣的，但其考查的根本知識(shí)點(diǎn)及其方法是沒有變化的。但是，有的教師在教學(xué)中對(duì)于例題的講解并不深入，未能將數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用到例題講解中，最大限度地發(fā)揮例題的價(jià)值，幫助學(xué)生形成良好的解題思路。那么如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想呢？

一、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用案例分析

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用十分廣泛，本文主要介紹數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)數(shù)運(yùn)算、整式運(yùn)算、全等三角形、一次函數(shù)、二元一次方程中的應(yīng)用。

（一）數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)數(shù)運(yùn)算中的應(yīng)用

［例1］如圖1所示，在數(shù)軸上有A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)，其中哪個(gè)點(diǎn)的位置最接近[34-4]？

通過圖形觀察比較直觀，但是需要以“數(shù)”解“形”。對(duì)于多個(gè)圖形，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)維度進(jìn)行分析，進(jìn)而找到其中隱含的等量關(guān)系。對(duì)于例2，利用數(shù)形結(jié)合思想的解題過程如下：

對(duì)于第一個(gè)圖形，其空白部分面積可以表示為大正方形的面積減去小正方形的面積，大正方形的面積為[x2]，小正方形的面積為[y2]，所以第一個(gè)圖形空白部分的面積為[x2-y2] 。第二梯形的面積可利用梯形面積公式進(jìn)行求解，由于梯形的上底是[2y]，下底是[2x]，高為（[x-y]），因此梯形的面積為[S=（2y+2x）×（x-y）÷2=（x+y）（x-y）]。由于兩個(gè)圖形的空白部分面積相等，因此可以得到[x2-y2=（x+y）（x-y）]。上述關(guān)系式的推導(dǎo)過程為平方差公式的推導(dǎo)過程。

（三）數(shù)形結(jié)合思想在全等三角形中的應(yīng)用

［例3］如圖3所示，在三角形ABC中，[AB=AC]，點(diǎn)[E]、[F]在邊[BC]上，連接[AE]、[AF]，[∠BAF=∠CAE]，延長(zhǎng)[AF]到點(diǎn)[D]，使[AD=AC]，連接[CD]。若[∠ACF=30°]，[∠AEB=130°]，求[∠ADC]的度數(shù)。

在解答本題的過程中，需將數(shù)形結(jié)合思想與全等三角形進(jìn)行有機(jī)結(jié)合，進(jìn)而求得[∠ADC]的度數(shù)。具體解題過程如下：

∵[∠BAF=∠CAE]，

∴[∠CAF=∠BAE]，

∵[AB=AC] ，

∴[∠ACF=∠ABE]，

∴[△ABE ]≌[△ACF]，

∴[∠AFC=∠AEB=130°]，

∵[∠ACF=30°]，

∴[∠CAF=180°-130°-30°=20°]，

又∵[AC=AD]，

∴[∠ADC=∠ACD=80°]，

故[∠ADC]的度數(shù)為80°。

（四）數(shù)形結(jié)合思想在一次函數(shù)中的應(yīng)用

（五）數(shù)形結(jié)合思想在一元二次方程中的應(yīng)用

［例5］如圖5所示，在某小區(qū)內(nèi)部有一塊長(zhǎng)方形空地，其長(zhǎng)為18 m，寬為6 m。規(guī)劃在其內(nèi)部修建兩塊相同的長(zhǎng)方形綠地，且它們的面積之和為[60 m2]，在兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道，問人行通道的寬度是多少？

根據(jù)題干可知，本題考查的是一元二次方程，通過列方程的形式來解決此幾何問題，具體解題過程如下：

假設(shè)人行通道的寬度為[x]米，將長(zhǎng)方形內(nèi)部的兩塊綠地進(jìn)行平移得到一個(gè)新的長(zhǎng)方形，則該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（[18-3x]）米，寬為（[6-2x]）米，則可列方程[（18-3x）（6-2x）=60]，化簡(jiǎn)得[x2-9x+8=0]，解得[x1=8]，[x2=1]。當(dāng)[x1=8]時(shí)，人行通道的寬度大于長(zhǎng)方形空地的寬度，不符合題意，舍去，最終可得到人行通道的寬度為1米。

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用反思

（一）以形助數(shù)

初中數(shù)學(xué)教材融合了幾何與代數(shù)基本知識(shí)，教材中的一些概念、定義會(huì)涉及大量的數(shù)學(xué)語言，學(xué)生理解起來有很大難度，致使學(xué)生未能透徹理解，進(jìn)而導(dǎo)致學(xué)生在后期學(xué)習(xí)應(yīng)用中錯(cuò)誤頻出，從而打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。因此，教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為直觀的數(shù)學(xué)圖象，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念知識(shí)的認(rèn)識(shí)與理解。

例如，在講解“函數(shù)”概念時(shí)，教材上有關(guān)函數(shù)的定義為：一般地，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量[x]與[y]，并且對(duì)于[x]的每一個(gè)確定的值，[y]都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說[x]是自變量，[y]是[x]的函數(shù)。此定義學(xué)生理解起來會(huì)很吃力，教師可以將其中的函數(shù)關(guān)系用圖象來表示，以便學(xué)生深入地了解其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自主探索利用數(shù)學(xué)結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的方法，將題干中的代數(shù)信息轉(zhuǎn)化為圖形，結(jié)合圖形特點(diǎn)進(jìn)行求解。通過不斷地訓(xùn)練，提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力。例如，在講解二次函數(shù)時(shí)，教師可利用多媒體將二次函數(shù)的圖象呈現(xiàn)出來。對(duì)于二次函數(shù)增減性的變化、圖象變換等知識(shí)點(diǎn)，教師可通過幾何畫板制成動(dòng)態(tài)圖象，以加深學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解。總之，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)以形助數(shù)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)抽象知識(shí)的理解。

（二）以數(shù)解形

在題目涉及較多幾何圖形時(shí)，學(xué)生在解題過程中往往束手無策。對(duì)此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用代數(shù)思維來理解圖形內(nèi)容，以解決問題。例如，在求解幾何動(dòng)點(diǎn)問題中某圖形的最大面積時(shí)，由于其動(dòng)點(diǎn)變化情況多樣，教師在講解時(shí)可以結(jié)合代數(shù)思維將其進(jìn)行分類，分別求解各種情況下圖形的面積并加以比較。將以數(shù)解形的思想運(yùn)用到幾何動(dòng)點(diǎn)問題中，可以幫助學(xué)生更好地理解題目，找到合適的解題方法，求出正確的答案。在幾何探究中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將圖形放置到平面直角坐標(biāo)系中，將相關(guān)問題的求解轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，使得求解過程更加簡(jiǎn)便，以此增強(qiáng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的認(rèn)知。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生以數(shù)解形的思維，引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜圖形簡(jiǎn)單化，降低學(xué)生的解題難度，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

（三）數(shù)形結(jié)合

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)將數(shù)形結(jié)合思想貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中，加大對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)。在課前預(yù)習(xí)環(huán)節(jié)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想去預(yù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，記錄預(yù)習(xí)中遇到的問題，以便上課時(shí)帶著問題聽講，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。在課上，教師在講解數(shù)學(xué)概念、經(jīng)典例題時(shí)，可將代數(shù)思維與幾何思維進(jìn)行有機(jī)結(jié)合。對(duì)于同一道題，教師可向?qū)W生講解多種解題方法，如只采用幾何方法、只采用代數(shù)方法、代數(shù)方法與幾何方法相結(jié)合等。通過多種解題方法的對(duì)比學(xué)習(xí)，可以強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的掌握。學(xué)生在掌握數(shù)形結(jié)合思想之后，還需不斷地加強(qiáng)訓(xùn)練，真正地將其理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐當(dāng)中。在課下，教師可以給學(xué)生布置適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)練習(xí)題，要求學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合思想來解答。在反復(fù)練習(xí)中，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，進(jìn)而更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

綜上所述，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生充分利用數(shù)形結(jié)合思想來解題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。教師還應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想中以形助數(shù)、以數(shù)解形的作用，將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到教學(xué)全過程，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

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（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）