孫雷鳴

【摘 要】? 數(shù)字化在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的廣泛應(yīng)用，重要的依然是課堂的教學(xué)本質(zhì)，但教學(xué)方法的變化使得教師可以更便利、直觀、具體地設(shè)置恰當(dāng)教學(xué)情境，有效提高教學(xué)效率，成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式改革的強(qiáng)大助推力。本文主要論述了如何將數(shù)字化教學(xué)手段更高效地結(jié)合到高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，以《空間平面與平面的位置關(guān)系——二面角》為例，在概念課探索性學(xué)習(xí)過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的生成過(guò)程，理解尋找二面角的平面角的本質(zhì)和合理性.在課堂上，加強(qiáng)信息技術(shù)對(duì)課堂效果的影響，以及對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的積極作用.

【關(guān)鍵詞】 立體幾何；二面角；平面角

1? 教學(xué)目標(biāo)與數(shù)字化相結(jié)合

借助多媒體或畫圖軟件，使學(xué)生獲取信息更加便捷，教學(xué)內(nèi)容更加直觀.教學(xué)網(wǎng)站的豐富資源，可以是輔助我們教學(xué)的資料.在設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)時(shí)，我們可以考慮加入數(shù)字化的教學(xué)情境，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)生的參與度，讓學(xué)生參與課堂.在這節(jié)課中，我們可以設(shè)計(jì)以下教學(xué)目標(biāo)：

（1）通過(guò)幾個(gè)引例，使學(xué)生正確理解二面角及其平面角的概念;

（2）引導(dǎo)學(xué)生探索和研究二面角的平面角形成過(guò)程，理解其合理性，并會(huì)求解，理解其平面角大小與棱上點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)，知道二面角大小的取值范圍;

（3）培養(yǎng)學(xué)生把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的解題思想.

2? 教學(xué)過(guò)程

2.1? 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

請(qǐng)學(xué)生觀察生活中的一些模型，如：

背景一? 教師把筆記本電腦緩緩打開到某一位置.

背景二? 地球公轉(zhuǎn)軌道面（黃道平面）與赤道平面所成的角（黃赤交角），地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的黃赤交角約為23°26'。黃赤交角的存在，具有重要的天文和地理意義，它是地球上四季變化和五帶區(qū)分的根本原因.由實(shí)例引入二面角的概念，接著又問(wèn)學(xué)生還能舉出一些類似圖形的實(shí)例嗎？打開筆記本電腦，是否能感覺到筆記本電腦展開的角在逐漸變化？

這些事實(shí)都說(shuō)明了研究?jī)蓚€(gè)平面所成的“角”是十分必要的，我們把這樣的圖形叫二面角，那么如何定義二面角呢？

2.2? 引入概念

設(shè)兩個(gè)平面相交于直線，將分別分割成兩個(gè)半平面，由的半平面及其交線所組成的圖形叫做二面角.記為，其中交線叫做二面角的棱. 兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

2.3? 二面角的平面角

（1）類比

問(wèn)題1? 兩條異面直線以及直線與平面所形成的空間角是如何度量的？

學(xué)生? 直線是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)，分別引直線//和//，我們把相交直線和所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.

我們度量?jī)蓷l異面直線以及直線與平面所形成的空間角，把它轉(zhuǎn)化為平面角，并且直線與平面所形成的空間角的平面角是唯一的.類似地，二面角的大小也可以轉(zhuǎn)化其平面角的大小.

問(wèn)題2? 怎么找出一個(gè)平面角，使其能夠合理反映二面角的大小呢？

分別在兩個(gè)半平面內(nèi)取兩條直線，這兩條直線可能是異面直線，兩條異面直線所成角是空間角，我們尋找平面角來(lái)刻畫二面角的大小.進(jìn)而，在兩個(gè)半平面的交線上找點(diǎn)，即頂點(diǎn)在棱上，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)引射線.

問(wèn)題3? 從二面角的棱上一點(diǎn)出發(fā)，在兩個(gè)半平面內(nèi)引射線，兩條射線與棱的相對(duì)位置如何會(huì)比較合理？

（2）探索實(shí)驗(yàn)

讓學(xué)生們分小組合作，用“墻角模型”探究二面角的平面角.

如圖，“墻角模型”二面角中，在棱上選取一動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)出發(fā)分別在半平面和中引射線和.當(dāng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以看到、以及的變化.

通過(guò)軟件GeoGebra的演示，當(dāng)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)，并不能代表“墻角模型”二面角的大小，不符合我們的直觀感受. 當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別與棱所成的角會(huì)發(fā)生變化，也會(huì)發(fā)生變化.我們繼續(xù)探究從棱上點(diǎn)出發(fā)的兩條射線與棱所成的角，在面內(nèi)，和與棱所成角都為，同樣，和分別與棱所成角都為，這時(shí)也為，.選取哪個(gè)角為二面角的平面角，情況比較繁瑣.

當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，我們發(fā)現(xiàn).此時(shí)，與二面角的大小是一致的，我們觀察到此時(shí)，.此時(shí)，是唯一的，并且比較簡(jiǎn)潔.

總結(jié)? 從二面角的棱上一點(diǎn)出發(fā)，兩條與棱不垂直的射線形成的角不能反映二面角的實(shí)際大小.

通用軟件GeoGebra的演示，學(xué)生們感受到數(shù)值的變化，理解二面角的平面角選擇的合理性.使用畫圖軟件，學(xué)生們能夠更直觀的看到角度的變化.實(shí)物“墻角模型”增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手能力，小組討論，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這也是數(shù)字化轉(zhuǎn)型的一種體現(xiàn)。

（3）提出概念

我們給出二面角的平面角的定義：

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.

（4）概念解析

①平面角的頂點(diǎn)落在在棱;

②平面角的射線落在兩個(gè)半平面內(nèi);

③平面角的射線與棱分別垂直;

④二面角的范圍是，強(qiáng)調(diào)大小為和大小為的含義.當(dāng)平面角為時(shí)，稱平面與平面垂直，記作.

思考? 平面角的大小與頂點(diǎn)的選取有關(guān)么？

根據(jù)二面角的平面角的定義讓學(xué)生在二面角的棱上分別取兩個(gè)不同的點(diǎn)畫出右圖所示的二面角的平面角，并引導(dǎo)學(xué)生觀察這兩個(gè)角的兩組對(duì)邊的平行關(guān)系.根據(jù)上面的作圖和觀察，學(xué)生不難回答是“等角定理”，這樣就加深了學(xué)生對(duì)二面角的平面角的深刻理解。

（5）線面角的關(guān)系

如圖，二面角的棱上選取一點(diǎn)，在內(nèi)作，在內(nèi)作.

為二面角的平面角.

直線是面的一條斜線，我們過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以平面，所以，故平面，我們不難發(fā)現(xiàn)射線與平面所成的角是（二面角為銳二面角）.射線與平面所成的角就是.

實(shí)際上，從以上分析，可以看出我們作出了棱的一個(gè)垂面. 這個(gè)垂面與兩個(gè)半平面所形成的線線角即為二面角的平面角.

2.4? 二面角的平面角的計(jì)算

例1? 已知正方體，求二面角.

變式1? 求二面角.

變式2? 已知長(zhǎng)方體中，，，，求二面角.

例2? 已知直角三角形，斜邊在平面內(nèi)，分別與平面成、角，求所在平面與平面所成的角.

2.5? 思考問(wèn)題

二面角與線面角的大小關(guān)系？

2.6? 課堂總結(jié)

我們學(xué)習(xí)了二面角及二面角的平面角等有關(guān)概念，并學(xué)會(huì)了如何作二面角的平面角．學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是將二面角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為其平面角的問(wèn)題．

3? 數(shù)字化背景下的教學(xué)特點(diǎn)

本文以分組教學(xué)為主線，學(xué)生互動(dòng)為主體，采用小組討論形式貫穿始終.利用畫圖軟件、PPT和教學(xué)模型等數(shù)字化手段參與其中.在教學(xué)中凸顯學(xué)生的課堂主體地位是數(shù)字化教學(xué)的客觀需要，本文總結(jié)了課堂教學(xué)的幾個(gè)特點(diǎn)。

第一，教學(xué)過(guò)程應(yīng)以學(xué)生為主體，學(xué)生的理解與接受程度推動(dòng)課堂.

第二，數(shù)字化教學(xué)可以提高課堂效率，用數(shù)字化教學(xué)手段提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，事半功倍.

第三，多媒體、網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)等數(shù)字化技術(shù)工具的使用增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.本文中采用了GeoGebra畫圖軟件、“墻角”模型等，在課堂上可以創(chuàng)建相應(yīng)情境，吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

以上這些特點(diǎn)決定了教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)必須基于學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律而不是教材，確保教

學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知水平相匹配，降低教學(xué)任務(wù)的難度和復(fù)雜度，提高教學(xué)趣味性，以使學(xué)生積極參與課堂教學(xué).

4? 數(shù)字化背景下的教學(xué)反思

當(dāng)今，信息技術(shù)發(fā)展飛速，數(shù)字化教育必然成為未來(lái)趨勢(shì).在高中數(shù)字化課堂教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，本文不僅發(fā)現(xiàn)了一些優(yōu)勢(shì)，同時(shí)也感受到了數(shù)字化教學(xué)還存在一些問(wèn)題.

首先，數(shù)字化課堂教學(xué)離不開對(duì)硬件設(shè)備的數(shù)量和質(zhì)量的要求，就目前的情況來(lái)看，不同學(xué)校對(duì)數(shù)字化設(shè)備的配備參差不齊.而且，由于數(shù)字化設(shè)備更新很快，因此要及時(shí)滿足大面積的師生使用需求還存在一定的困難.

其次，數(shù)字化課堂教學(xué)對(duì)教師的備課要求更高，在具體的教學(xué)中，教師還要針對(duì)突發(fā)狀況對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)做出相應(yīng)的調(diào)整.同時(shí)，由于教師的講授以及學(xué)生之間的互動(dòng)必須借助數(shù)字化手段，所以教師一定要熟練掌握一些教學(xué)軟件{1}.

最后，對(duì)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)，不是每個(gè)教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)都適合采用數(shù)字化課堂教學(xué)模式展開，所以針對(duì)不同章節(jié)，不同教學(xué)目標(biāo)，因地制宜，數(shù)字化教學(xué)要有選擇的進(jìn)行.

數(shù)字化信息技術(shù)與課堂教學(xué)整合是信息時(shí)代教學(xué)改革的需要，是數(shù)字化時(shí)代人才培養(yǎng)的需要，是提高課堂教學(xué)效率的有效途徑[2].教育工作者需要不斷反思，不斷提高數(shù)字化課堂教學(xué)的可行性和操作的便利性，總結(jié)出符合高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際的數(shù)字化課堂教學(xué)模式.

參考文獻(xiàn)：

[1]余歡. "數(shù)字化"背景下教學(xué)方式的變革[J].科教文匯， 2015（4）：2.

[2]光磊. 高中數(shù)字化課堂教學(xué)實(shí)踐初探[J].中學(xué)教學(xué)參考， 2019（18）：2.