孫雷鳴

【摘 要】? 數(shù)字化在高中數(shù)學教學中的廣泛應用，重要的依然是課堂的教學本質，但教學方法的變化使得教師可以更便利、直觀、具體地設置恰當教學情境，有效提高教學效率，成為高中數(shù)學教學模式改革的強大助推力。本文主要論述了如何將數(shù)字化教學手段更高效地結合到高中數(shù)學教學中，以《空間平面與平面的位置關系——二面角》為例，在概念課探索性學習過程中，讓學生體會知識的生成過程，理解尋找二面角的平面角的本質和合理性.在課堂上，加強信息技術對課堂效果的影響，以及對學生學習方式的積極作用.

【關鍵詞】 立體幾何；二面角；平面角

1? 教學目標與數(shù)字化相結合

借助多媒體或畫圖軟件，使學生獲取信息更加便捷，教學內容更加直觀.教學網站的豐富資源，可以是輔助我們教學的資料.在設計教學目標時，我們可以考慮加入數(shù)字化的教學情境，提高學生的學習興趣，增加學生的參與度，讓學生參與課堂.在這節(jié)課中，我們可以設計以下教學目標：

（1）通過幾個引例，使學生正確理解二面角及其平面角的概念;

（2）引導學生探索和研究二面角的平面角形成過程，理解其合理性，并會求解，理解其平面角大小與棱上點的選取無關，知道二面角大小的取值范圍;

（3）培養(yǎng)學生把空間問題轉化為平面問題的解題思想.

2? 教學過程

2.1? 創(chuàng)設情境，導入新課

請學生觀察生活中的一些模型，如：

背景一? 教師把筆記本電腦緩緩打開到某一位置.

背景二? 地球公轉軌道面（黃道平面）與赤道平面所成的角（黃赤交角），地球繞太陽公轉的黃赤交角約為23°26'。黃赤交角的存在，具有重要的天文和地理意義，它是地球上四季變化和五帶區(qū)分的根本原因.由實例引入二面角的概念，接著又問學生還能舉出一些類似圖形的實例嗎？打開筆記本電腦，是否能感覺到筆記本電腦展開的角在逐漸變化？

這些事實都說明了研究兩個平面所成的“角”是十分必要的，我們把這樣的圖形叫二面角，那么如何定義二面角呢？

2.2? 引入概念

設兩個平面相交于直線，將分別分割成兩個半平面，由的半平面及其交線所組成的圖形叫做二面角.記為，其中交線叫做二面角的棱. 兩個半平面叫做二面角的面.

2.3? 二面角的平面角

（1）類比

問題1? 兩條異面直線以及直線與平面所形成的空間角是如何度量的？

學生? 直線是異面直線，經過空間任意一點，分別引直線//和//，我們把相交直線和所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.

我們度量兩條異面直線以及直線與平面所形成的空間角，把它轉化為平面角，并且直線與平面所形成的空間角的平面角是唯一的.類似地，二面角的大小也可以轉化其平面角的大小.

問題2? 怎么找出一個平面角，使其能夠合理反映二面角的大小呢？

分別在兩個半平面內取兩條直線，這兩條直線可能是異面直線，兩條異面直線所成角是空間角，我們尋找平面角來刻畫二面角的大小.進而，在兩個半平面的交線上找點，即頂點在棱上，分別在兩個半平面內引射線.

問題3? 從二面角的棱上一點出發(fā)，在兩個半平面內引射線，兩條射線與棱的相對位置如何會比較合理？

（2）探索實驗

讓學生們分小組合作，用“墻角模型”探究二面角的平面角.

如圖，“墻角模型”二面角中，在棱上選取一動點，由點出發(fā)分別在半平面和中引射線和.當點在運動時，可以看到、以及的變化.

通過軟件GeoGebra的演示，當時，我們發(fā)現(xiàn)，并不能代表“墻角模型”二面角的大小，不符合我們的直觀感受. 當點運動時，分別與棱所成的角會發(fā)生變化，也會發(fā)生變化.我們繼續(xù)探究從棱上點出發(fā)的兩條射線與棱所成的角，在面內，和與棱所成角都為，同樣，和分別與棱所成角都為，這時也為，.選取哪個角為二面角的平面角，情況比較繁瑣.

當點運動到點時，我們發(fā)現(xiàn).此時，與二面角的大小是一致的，我們觀察到此時，.此時，是唯一的，并且比較簡潔.

總結? 從二面角的棱上一點出發(fā)，兩條與棱不垂直的射線形成的角不能反映二面角的實際大小.

通用軟件GeoGebra的演示，學生們感受到數(shù)值的變化，理解二面角的平面角選擇的合理性.使用畫圖軟件，學生們能夠更直觀的看到角度的變化.實物“墻角模型”增強學生的動手能力，小組討論，能夠激發(fā)學生的學習興趣，這也是數(shù)字化轉型的一種體現(xiàn)。

（3）提出概念

我們給出二面角的平面角的定義：

以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.

（4）概念解析

①平面角的頂點落在在棱;

②平面角的射線落在兩個半平面內;

③平面角的射線與棱分別垂直;

④二面角的范圍是，強調大小為和大小為的含義.當平面角為時，稱平面與平面垂直，記作.

思考? 平面角的大小與頂點的選取有關么？

根據二面角的平面角的定義讓學生在二面角的棱上分別取兩個不同的點畫出右圖所示的二面角的平面角，并引導學生觀察這兩個角的兩組對邊的平行關系.根據上面的作圖和觀察，學生不難回答是“等角定理”，這樣就加深了學生對二面角的平面角的深刻理解。

（5）線面角的關系

如圖，二面角的棱上選取一點，在內作，在內作.

為二面角的平面角.

直線是面的一條斜線，我們過點作于點，因為，，所以平面，所以，故平面，我們不難發(fā)現(xiàn)射線與平面所成的角是（二面角為銳二面角）.射線與平面所成的角就是.

實際上，從以上分析，可以看出我們作出了棱的一個垂面. 這個垂面與兩個半平面所形成的線線角即為二面角的平面角.

2.4? 二面角的平面角的計算

例1? 已知正方體，求二面角.

變式1? 求二面角.

變式2? 已知長方體中，，，，求二面角.

例2? 已知直角三角形，斜邊在平面內，分別與平面成、角，求所在平面與平面所成的角.

2.5? 思考問題

二面角與線面角的大小關系？

2.6? 課堂總結

我們學習了二面角及二面角的平面角等有關概念，并學會了如何作二面角的平面角．學習的關鍵是將二面角的問題轉化為其平面角的問題．

3? 數(shù)字化背景下的教學特點

本文以分組教學為主線，學生互動為主體，采用小組討論形式貫穿始終.利用畫圖軟件、PPT和教學模型等數(shù)字化手段參與其中.在教學中凸顯學生的課堂主體地位是數(shù)字化教學的客觀需要，本文總結了課堂教學的幾個特點。

第一，教學過程應以學生為主體，學生的理解與接受程度推動課堂.

第二，數(shù)字化教學可以提高課堂效率，用數(shù)字化教學手段提高學生的學習效率，事半功倍.

第三，多媒體、網絡平臺等數(shù)字化技術工具的使用增加了學生的學習興趣.本文中采用了GeoGebra畫圖軟件、“墻角”模型等，在課堂上可以創(chuàng)建相應情境，吸引學生的學習興趣.

以上這些特點決定了教師在設計教學時必須基于學生的認知規(guī)律而不是教材，確保教

學內容與學生的認知水平相匹配，降低教學任務的難度和復雜度，提高教學趣味性，以使學生積極參與課堂教學.

4? 數(shù)字化背景下的教學反思

當今，信息技術發(fā)展飛速，數(shù)字化教育必然成為未來趨勢.在高中數(shù)字化課堂教學實踐過程中，本文不僅發(fā)現(xiàn)了一些優(yōu)勢，同時也感受到了數(shù)字化教學還存在一些問題.

首先，數(shù)字化課堂教學離不開對硬件設備的數(shù)量和質量的要求，就目前的情況來看，不同學校對數(shù)字化設備的配備參差不齊.而且，由于數(shù)字化設備更新很快，因此要及時滿足大面積的師生使用需求還存在一定的困難.

其次，數(shù)字化課堂教學對教師的備課要求更高，在具體的教學中，教師還要針對突發(fā)狀況對教學設計做出相應的調整.同時，由于教師的講授以及學生之間的互動必須借助數(shù)字化手段，所以教師一定要熟練掌握一些教學軟件{1}.

最后，對于高中數(shù)學教學，不是每個教學內容的教學都適合采用數(shù)字化課堂教學模式展開，所以針對不同章節(jié)，不同教學目標，因地制宜，數(shù)字化教學要有選擇的進行.

數(shù)字化信息技術與課堂教學整合是信息時代教學改革的需要，是數(shù)字化時代人才培養(yǎng)的需要，是提高課堂教學效率的有效途徑[2].教育工作者需要不斷反思，不斷提高數(shù)字化課堂教學的可行性和操作的便利性，總結出符合高中數(shù)學教學實際的數(shù)字化課堂教學模式.

參考文獻：

[1]余歡. "數(shù)字化"背景下教學方式的變革[J].科教文匯， 2015（4）：2.

[2]光磊. 高中數(shù)字化課堂教學實踐初探[J].中學教學參考， 2019（18）：2.